Tópico 15

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Tópico 15 – Modelos de Cortes 
Transversais ao Longo do 
Tempo Método Simples de 
Dados em Painel
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 13).
Modelos de Efeitos Fixos
Como 𝑎𝑖 é constante em 𝑡, podemos tirar a diferença dos dados entre os dois 
anos:
𝑦𝑖1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖1 𝑡 = 1
𝑦𝑖2 = 𝛽0 + 𝛿0 + 𝛽1𝑥𝑖2 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖2 𝑡 = 2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
𝑦𝑖2 − 𝑦𝑖1 = 𝛿0 + 𝛽1 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖1 + 𝑢𝑖2 − 𝑢𝑖1
Ou
∆𝑦𝑖 = 𝛿0 + 𝛽1∆𝑥𝑖 + ∆𝑢𝑖
O efeito não observado, 𝑎𝑖, foi “descartado pela diferenciação”.
O intercepto é, na realidade a mudança no intercepto de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2.
Equação em primeiras diferenças: 𝐶𝑜𝑣 ∆𝑥𝑖 , ∆𝑢𝑖 = 0 em ambos os períodos 
𝑡 = 1 e 𝑡 = 2.
Exogneidade estrita.
𝛽1 é o estimador em primeiras diferenças.
Modelos de Efeitos Fixos
Equação de Primeiras Diferenças:
∆𝑦𝑖 = 𝛿0 + 𝛽1∆𝑥𝑖 + ∆𝑢𝑖
Onde ∆ representa a mudança de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2. O efeito
não observado 𝑎𝑖 não aparece nesta equação, ele foi
“descartado pela diferenciação”. Além disso, o intercepto passa
a ser a mudança no intercepto de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2.
Esta equação chamamos de Equação de Primeiras
Diferenças. Ela é apenas uma equação única de corte
transversal, mas cada variável é diferencia ao longo do tempo.
Modelos de Efeitos Fixos
Os pressupostos mais importantes são:
 Primeiro: ∆𝑢𝑖 não está correlacionada com a variável
explicativa (∆𝑥𝑖) em ambos os períodos de tempo.
Segundo: ∆𝑥𝑖 deve ter alguma variação ao longo de i.
Terceira: satisfazer a hipótese de homocedasticidade.
Modelos de Efeitos Fixos
Custos em utilizar dados em painel:
Primeiro: os conjuntos de dados em painel são mais difíceis
de coletar do que um corte transversal, especialmente de
indivíduos.
Segundo: mesmo que tenhamos coletado um conjunto de
dados em painel, a diferenciação utilizada para eliminar 𝑎𝑖
pode reduzir bastante a variação nas variável explicativas.
Embora 𝑥𝑖𝑡 frequentemente tenha variação substancial no
corte transversal para cada 𝑡 , ∆𝑥𝑖 pode não ter muita
variação.
Pequenas variações em ∆𝑥𝑖 podem levar a grande erros-
padrão de መ𝛽1 quando estimamos pela equação de primeira
diferenças por MQO.
Diferenciação com mais de dois períodos de 
tempo
Também podemos usar a diferenciação com mais de dois períodos de
tempo. Suponha que temos 𝑁 indivíduos e 𝑇 = 3 períodos de tempo
para cada indivíduo. Um modelo genérico de efeitos fixos é:
𝑦𝑖𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2𝑑2𝑡 + 𝛿3𝑑3𝑡 + 𝛽1 𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑡𝑘 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡
𝑡 = 1,2,3 (o número de observações é portanto 3𝑁. )
O intercepto do primeiro período é 𝛿1, do segundo período é 𝛿1 +
𝛿2, e assim por diante.
Se o efeito não observado 𝑎𝑖 for correlacionado com qualquer
das variáveis explicativas, o uso do MQO agrupado nos três anos
de dados resultará em estimativas viesadas e inconsistentes.
Hipótese crucial: 𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖𝑡𝑗 , 𝑢𝑖𝑠 = 0, ∀𝑡, 𝑠 𝑒 𝑗 → Variáveis
explicativas são estritamente exógenas após retirarmos o efeito não
observado 𝑎𝑖.
Tópico 15 – Métodos 
avançados de Dados em
Painel
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 14).
Dados em Painel
Método para controle de alguns tipos de variáveis omitidas sem
observá-las de fato.
Controle da regressão por características não observáveis, isto é, a
heterogeneidade dos indivíduos é controlada.
Exemplo: quais são os efeitos dos impostos sobre bebidas alcoólicas
e das leis que punem os motoristas embriagados pelas mortes no
trânsito?
A base de dados de painel nos permite controlar variáveis não
observadas que diferem de um Estado para o outro, tais como
atitudes culturais predominantes quanto a beber e dirigir, mas
que não variam ao longo do tempo.
Ela também permite controlar variáveis que se alteram ao longo do
tempo, como melhorias na segurança de carros novos, mas que não
variam entre os estados.
Métodos avançados de Dados em
Painel
Efeitos fixos: de modo semelhante ao método de primeiras
diferenças, seu estimador é obtido por uma transformação que
remove o efeito não observado 𝑎𝑖.
Efeitos aleatórios: o estimador é usado quando o efeito não
observado não é correlacionado com todas as variáveis
explicativas.
Em ambos, pode-se pensar em uma especificação estática ou
dinâmica.
O modelo de regressão com efeitos fixos
Embora o intercepto possa diferir entre os indivíduos, o intercepto de cada
indivíduo não varia com o tempo (ele é invariante no tempo).
A primeira diferença é apenas uma de muitas maneiras de eliminar o
efeito fixo, 𝑎𝑖 .
Um método alternativo que funciona melhor sob certas hipóteses é
chamado transformação de efeitos fixos.
A regressão com efeitos fixos é um método para controlar variáveis
omitidas em dados de painel quando elas variam entre entidades
(estados), mas não ao longo do tempo.
Estimação de Efeitos Fixos
Efeitos Fixos:
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1𝑥𝑖𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 , 𝑡 = 1,2,… , 𝑇 (1)
Onde 𝑎i é uma variável não observada que varia entre os
Estados, mas não ao longo do tempo.
Para cada 𝑖, calcule a média desta equação em 𝑡:
ഥ𝑦𝑖 = 𝛽1 ҧ𝑥𝑖 + 𝑎𝑖 + ത𝑢𝑖 𝑡 = 1,2,… , 𝑇 (2)
Como 𝑎𝑖 é fixo ao longo do tempo, ele aparece nas duas
equações.
Estimação de Efeitos Fixos
Subtraindo a segunda equação da primeira, para cada 𝑡 ,
ficamos com:
𝑦𝑖𝑡 − ത𝑦𝑖 = 𝛽1 𝑥𝑖𝑡 − ҧ𝑥𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 − ത𝑢𝑖, 𝑡 = 1,2,… , 𝑇 (3)
Ou:
ሷ𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1 ሷ𝑥𝑖𝑡 + ሷ𝑢𝑖𝑡 , 𝑡 = 1, 2, . . 𝑇
Os dados em (3) são os dados centrados na média. A
transformação de efeitos fixos também é chamada de
transformação intragrupo.
Devemos estimar (3) pelo MQO agrupado. Um estimador
MQO agrupado que seja baseado em variáveis temporais
reduzidas é chamado de estimador de efeitos fixos ou
estimador intragrupo.
Estimação de Efeitos Fixos
A adição de mais variáveis explicativas à equação pode ser
representado como:
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑡𝑘 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡, 𝑡 = 1, 2, . . 𝑇 (4)
O modelo:
ത𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1 ҧ𝑥𝑖1 +⋯+ 𝛽𝑘 ҧ𝑥𝑖𝑘 + 𝑎𝑖 + ഥ𝑢𝑖 , 𝑡 = 1, 2, . . 𝑇 (5)
Simplesmente usamos a centralização na média de cada
variável explicativa.
Em seguida, fazemos uma regressão pelo MQO agrupado
utilizando todas as variáveis que sofreram centralização na
média.
Comando no Stata: xtreg
Estimação de Efeitos Fixos
A equação de centralização na média geral para cada 𝑖 é:
ሷ𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1 ሷ𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘 ሷ𝑥𝑖𝑡𝑘 + ሷ𝑢𝑖𝑡 𝑡 = 1, 2, . . 𝑇 (6)
Sob uma hipótese de exogeneidade estrita das variáveis
explicativas, o estimador de efeitos fixos é não viesado: de
certa forma, o erro idiossincrático 𝑢𝑖𝑡 deve ser não
correlacionado com cada variável explicativa ao longo de
todos os períodos de tempo.
Efeitos Fixos com painéis não balanceados
Painel não balanceado: alguns anos não são observados para
pelo menos uma das cross-sections.
São aplicáveis a painéis não balanceados, mas temos de
assumir que:
As razões pelas quais alguns períodos de tempo são missing não
são sistematicamente relacionada aos erros idiossincráticos (usado
para descrever erro de dados em painel que ambas as mudanças ao
longo do tempo e/ou em todas as unidades - indivíduos, empresas,
cidades, etc. - podem ocorrer.
Efeitos Aleatórios
A especificação do modelo de efeitos aleatórios trata os efeitos
específico individuais como variáveis aleatórias.
Se requisito não é atendido, resultados são enviesados.
Propõe diferentes termos de intercepto para cada observação,
contudo, interceptos fixos ao longo do tempo
Neste modelo,supõe-se que não há correlação entre os
efeitos individuais e as demais variáveis aleatórias. A sua
estimação se daria através da utilização dos mínimos quadrados
generalizados (GLS).
Efeitos Aleatórios
Modelos de efeitos aleatórios
O modelo:
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑡𝑘 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 𝑡 = 1, 2, . . 𝑇 (7)
Em que, o efeito não observado 𝑎𝑖 está não correlacionado
com cada regressor em qualquer período de tempo.
𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖𝑗 , 𝑎𝑖 = 0, 𝑡 = 1,2,… , 𝑇; 𝑗 = 1,2,… , 𝑘 (8)
Temos então o modelo de efeitos aleatórios, que requer todas
as hipóteses de efeitos fixos, além de que 𝑎𝑖 deve ser
independente de todas as variáveis explicativas em todos os
períodos.
Efeitos Aleatórios
Como estimar 𝛽?
𝛽 pode ser estimado de forma consistente, utilizando uma única
secção transversal.
Mas isso ignora muita informação útil para os outros períodos
de tempo. Se corremos ao MQO utilizando um MQO
agrupado (pooled), também pode obter estimadores
consistentes. Mas ignora uma característica fundamental do o
modelo: o termo de erro composto é correlacionados em
série (𝑣𝑖𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡).
Portanto, a melhor maneira é usar MQG.
Efeitos Fixo e Aleatórios
Algumas hipóteses:
Para cada 𝑡, o valor esperado do erro idiossincrático, dadas as variáveis
explicativas em todos os períodos de tempo e o efeito não observado, é zero:
𝐸 𝑢𝑖𝑡 𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 0 → exogeneidade estrita.
Como estamos subtraindo somente uma fração das médias temporais, agora
podemos permitir variáveis explicativas constantes no tempo.
𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖𝑡|𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖𝑡 = 𝜎𝑢
2 para todo 𝑡 = 1,… , 𝑇.
Valor esperado de 𝑎𝑖dadas todas as variáveis explicativas, é constante :
𝐸 𝑎𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽0. Essa hipótese que elimina a correlação entre efeito não
observado e as variáveis explicativas, e é a principal distinção entre os
efeitos fixos e efeitos aleatórios.
Efeitos Aleatórios
Portanto, a melhor maneira é usar MQG:
𝜆 = 1 −
𝜎𝑢
2
𝜎𝑢
2 + 𝑇𝜎𝑎
2
1
2
A equação é transformada:
𝑦𝑖𝑡 − 𝜆ത𝑦𝑖
= 𝛽0 1 − 𝜆 + 𝛽1 𝑥𝑖𝑡1 − 𝜆 ҧ𝑥𝑖𝑡 +⋯+ 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑡𝑘 − 𝜆 ҧ𝑥𝑖𝑘 + (𝑣𝑖𝑡 − 𝜆 ҧ𝑣𝑖)
 Trata-se de dados de corte na média em cada variável.  Permite
variáveis explicativa que são constantes ao longo do tempo.
A transformação de EA subtrai uma fração da média temporal e do
número de períodos T (envolve dados quase reduzidos em cada
variável).
Qual modelo usar?
Teste de Hausman: Ferramenta para avaliar qual o modelo mais
apropriado de efeitos não observados (efeitos fixos ou aleatórios).
Modelos de efeitos fixos e aleatórios são
consistentes se são especificados corretamente.
Porém, algumas violações causam inconsistência
nos modelos de efeitos aleatórios:
– Se variáveis X’s estão correlacionadas com erro aleatório.
A diferença entre o modelo de efeitos fixos e o de efeitos aleatórios é
que no primeiro a correlação entre os regressores e os efeitos
específicos (heterogeneidades individuais) é diferente de zero,
enquanto que no segundo é igual a zero.
Teste de Hausman
Teste de Hausman:
𝐻0: 𝐶𝑜𝑟 𝑋𝑖𝑡 , 𝑎𝑖 = 0 → Efeito aleatório
𝐻1: 𝐶𝑜𝑟 𝑋𝑖𝑡 , 𝑎𝑖 ≠ 0 → Efeito fixo
𝐻0 → significa que as estimativas de ambos modelos são
iguais, porém o modelo de efeitos aleatórios produz estimativas
mais eficientes dado que utiliza o método de MQG.
 𝐻1 → significa que o modelo de efeitos aleatórios é
inconsistente e o de efeitos fixos é consistente.
Se a hipótese nula for rejeitada → os efeitos aleatórios
provavelmente estão correlacionados com um ou mais
regressores. Nesse caso, o modelo de efeitos fixos é preferível
aos de efeitos aleatórios.
Teste BP e Chow
Teste BP (Breusch-Pagan): examinar se os efeitos não
observados são relevantes ao modelo.
𝐻0: ausência de efeito não observado.
𝐻1:presença de efeito não observado.
Teste de Chow no sentido de corroborar a escolha entre os
modelo de efeitos fixos e o modelo pooled.
Teste para escolher entre efeito fixo e pooled
𝐻𝑜: modelo pooled.
𝐻1: modelo de efeitos fixos.
Exercícios
1. Qual a diferença da estimação de Mínimos Quadrados
Agrupados para a estimação de Efeitos Fixos? E de Efeitos
aleatórios? Explique e mostre as hipóteses de identificação
necessárias.
2. Dê um exemplo utilizando métodos de análise em painel para a
avaliação de políticas públicas. Explique.
Diferenciação com mais de dois períodos de 
tempo
Hipótese do MQO agrupado usando Primeiras Diferenças:
Hipótese PD.1: modelo linear.
Para cada 𝑖 , o modelo é: 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑡𝑘 + 𝑎𝑖 +
𝑢𝑖𝑡, 𝑡 = 1,… , 𝑇.
Em que os𝛽𝑗 são os parâmetros s serem estimados e 𝑎𝑖 é o efeito
não observado.
Hipótese PD.2: temos uma amostra aleatória do corte
transversal.
Hipótese PD.3: cada variável explicativa muda ao longo do
tempo (para pelo menos algum 𝑖), e não existem relações
lineares perfeitas entre as variáveis explicativas.
Diferenciação com mais de dois períodos de 
tempo
Hipótese PD.4: Para cada 𝑡 , o valor esperado do erro
idiossincrático, dadas as variáveis explicativas em todos os
períodos de tempos e os efeitos não observados é zero:
𝐸 𝑢𝑖𝑡 𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 0
Isso equivale, muitas vezes dizemos que a 𝑥𝑖𝑡𝑗 são estritamente
exógena condicionada ao efeito não observado.
Hipótese PD.5: a variância dos erros diferenciados,
condicional a todas as variáveis explicativas é constante:
𝑉𝑎𝑟 ∆𝑢𝑖𝑡 𝑋𝑖) = 𝜎
2, t = 2,… , T (homocedasticidade)
Diferenciação com mais de dois períodos de 
tempo
Hipótese PD.6: Para todo 𝑡 ≠ 𝑠 , as diferenças nos erros
idiossincráticos são não correlacionadas (condicionais a todas
as variáveis explicativas): 𝐶𝑜𝑣 ∆𝑢𝑖𝑡 ∆𝑢𝑖𝑠 𝑋𝑖 = 0, 𝑡 ≠ 𝑠.
Sob PD.1-6 → estimadores PD são os melhores estimadores
lineares.
Hipótese PD.7: condicional a 𝑋𝑖 , o ∆𝑢𝑖𝑡 são variáveis
aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas.
Sob PD.1-7 → estimadores PD são normalmente distribuídos, e
as estatísticas 𝑡 e F do MQO agrupado das diferenças têm
distribuições 𝑡 e 𝐹 exatas.
Sem PD7 → pode-se recorrer às aproximações assintóticas
habituais.
Hipóteses para Efeitos Fixos
Hipóteses para Efeitos Fixos:
EF.1: Para cada 𝑖, o modelo é: 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽1𝑥𝑖𝑡1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑡𝑘 +
𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 , 𝑡 = 1,… , 𝑇.
Em que os𝛽𝑗 são os parâmetros s serem estimados e 𝒂𝒊 é o efeito
não observado.
EF.2 : Temos uma amostra aleatória na dimensão corte
transversal.
EF.3: Cada variável explicativa muda ao longo do tempo (para
ao menos algum 𝑖), e não há relações lineares perfeitas entre as
variáveis explicativas.
EF.4: Para cada 𝑡, o valor esperado do erro idiossincrático,
dadas as variáveis explicativas em todos os períodos de tempo
e o efeito não observado, é zero: 𝐸 𝑢𝑖𝑡 𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 0
Hipóteses para Efeitos Fixos
EF.5: 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖𝑡|𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖𝑡 = 𝜎𝑢
2 para todo 𝑡 =
1,… , 𝑇.
EF.6: 𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖𝑡 𝑢𝑖𝑠 𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 = 0
Sob as Hipóteses EF.1 a EF.6, o estimador de efeitos fixos dos
𝛽𝑗 é o melhor estimador linear não viesado.
EF.7: 𝑢| 𝑋𝑖 , 𝑎𝑖 → 𝑁(0, 𝜎𝑢
2) - condicional a 𝑋𝑖 , o 𝑢𝑖𝑡 são
variáveis aleatórias normais independentes e identicamente
distribuídas.
Hipótese para Efeitos Aleatórios
Hipótese para Efeitos Aleatórios
As hipóteses ideais do efeitos aleatório são: EF.1, EF.2, EF.4,
EF.5 e EF.6.
Como estamos subtraindo somente uma fração das médias
temporais, agora podemos permitir variáveis explicativas
constantes no tempo. Portanto, o EF.3 é substituído por :
EA.3: Não existem relações lineares perfeitos entre as variáveis
explicativas.
EA.4: Em adição ao EF.4, o valor esperado de 𝑎𝑖dadas todas as
variáveis explicativas, é constante : 𝐸 𝑎𝑖 𝑋𝑖 =𝛽0 . Essa
hipótese que elimina a correlação entre efeito não observado e
as variáveis explicativas, e é a principal distinção entre os
efeitos fixos e efeitos aleatórios.