Questões sobre Estimadores e Instrumentos

Prévia do material em texto

1. Considere o seguinte modelo: 𝑦 = 𝛼 + 𝛽x + 𝑒. Suponha que x é medido com erro, de 
modo que você so observa x = x* + u. Além disso u tem variância dada por 𝜎u
2. 
a. Suponha que esse erro é aleatório e não está correlacionado com x. Derive o viés 
do estimador de MQO de 𝛽. O viés é para baixo, para cima ou indeterminado? 
Mostre o porque? 
b. Qual a consequência em termos de precisão da questão do ponto (a). Mostre 
algebricamente. 
c. Suponha que esse erro é aleatório e está correlacionado com x, com covariância 
dada por 𝜎ux. Derive o viés do estimador de MQO de 𝛽. O viés é para baixo, para 
cima ou indeterminado? Mostre o porque? 
d. Agora suponha que o x não é medido com erro e que y é medido com erro, de 
modo que y = y* + 𝜃. Suponha que esse erro é correlacionado com x, com 
covariância dada por 𝜎𝜃x. Derive o viés do estimador de MQO de 𝛽. O viés é para 
baixo, para cima ou indeterminado? Mostre o porque? 
2. Quais são os pressupostos chaves do estimador de variáveis instrumentais? 
3. Derive a distribuição assimptótica do estimador de variáveis instrumentais de Wald 
(modelo exatamente identificado). 
4. Prove que o estimador de MQ2E é viessado. 
5. Prove que o estimador de MQ2E é consistente. 
6. Derive a formula do estimador de variável instrumental quando o numero de 
instrumentos é igual ao número de variáveis endógenas. (Formula geral de Wald) 
7. Derive a formula da variância do estimador de variável instrumental quando o número 
de instrumentos é igual ao número de variáveis endógenas. 
8. Derive a formula geral do estimador de MQ2E. 
9. Derive a formula da variância do estimador de MQ2E. 
10. Mostre que o estimador de MQ2E é idêntico ao estimador de Wald quando o modelo 
é exatamente identificado. 
11. Mostre o que acontece com o estimador de variáveis instrumentais quando o 
instrumento é fraco. (Dica: use a formula do plim B). 
12. Mostre que a variância do estimador de variáveis instrumentais cresce 
indefinidamente quanto mais fraco for o instrumento. 
13. Considere um modelo exatamente identificado. Suponha que o instrumento é binário. 
Mostre que o estimador de Wald vira: 
y̅1-y̅0
x1-x0
. 
14. Considere o modelo Y=XB+U, e considere que Z é uma matriz de instrumentos para X. 
a. Especifique o problema de minimização do estimador de GMM 
b. Qual o estimador de GMM? 
c. Qual a formula do estimador GMM sob heterocedasticidade? Descreva o 
procedimento em dois estágios para obter o estimador. 
d. Qual a formula do estimador GMM sob homocedasticidade? Descreva o 
procedimento em dois estágios para obter o estimador. 
e. Calcule a variância GERAL do estimador de GMM. 
f. Calcule a variância do estimador de GMM, supondo homocedasticidade. 
g. Mostre que se o número de instrumentos é igual ao numero de instrumentos, o 
estimador de GMM é igual ao estimador de mínimos quadrados em dois estágios. 
h. Prove que o estimador de GMM é consistente. 
15. Algumas questões praticas discutidas em aula. 
a. Imagine um modelo de regressão múltipla. Uma variável é medida com erro e esse 
é o tipo de erro clássico. Os estimadores das outras variáveis serão viessados 
também? Se viessado, qual a direção do viés? 
b. Imagine um modelo com instrumento valido. Os pressupostos são satisfeitos. O 
que acontece com o valor do estimador se você incluir variáveis exógenas 
adicionais como controle? 
c. Imagine um modelo de variáveis instrumentais. Suponha que existe 
heterocedasticidade. Qual estimador é preferível, GMM ou MQ2E? Por que? 
d. Imagine um modelo de variáveis instrumentais. Suponha que existe 
homocedasticidade. Qual estimador é preferível, GMM ou MQ2E? Por que? 
 
 
NOTA: outras questões praticas discutidas em sala de aula podem cair na prova.