1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

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PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
1. Sejam as matrizes: 
 
1
1 2 3 2 0 1
, , 2 2 1
2 1 1 3 0 1
4
A B C e D
 
                    
 
Se possível, determine: 
a) A+B; b)A·C; c)B·C; d)C·D; e)D·A; f)D·B; g)─3A+2B; 
 
2. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, 
tente consertá-la para que se torne verdadeira. 
a) (-A)t = - (At) 
b) (A + B)t = Bt + At 
c) (-A)(-B)= -(AB) 
 
3. Seja 22
2 1 0
x
A
x
 
  
 
, calcule o valor de x para que A = A
T
. 
4. Uma matriz quadrada é A é simétrica se A=AT. Assim se a matriz 













234
10
212
zx
y
A
é 
simétrica, calcular x+y+z. 
 
5. Se B é uma matriz simétrica, mostre que B – BT é uma matriz nula. 
 
 
6. Se A é uma matriz quadrada, então A2 = A·A. Assumindo que esta sentença é verdadeira, 
calcule 22 1
3 2
 
 
 
. 
 
7. Se 
3 2
4 3
A
 
   
, ache uma matriz B de modo que B² = A. 
 
 
8. Sejam as matrizes A, B e C: 
3 7 9 5 6 4 7 1 1
0 4 3 4 5 3 4 3 0
3 4 2 4 4 1 5 2 8
A B C
       
     
        
           
 
 
 
a) Use a Regra de Sarrus para calcular os determinantes de A, B e C; 
b) Agora use a Regra de Laplace para calcular os determinantes de A, B e C. 
 
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9. Encontre o determinante de cada matriz 
a) 
0140
3121
5340
2132


 
 
b) 
1402
1643
4121
3000


 
 
10. Seja a matriz 
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
 
 
  
 
 
, calcule o valor de x para que a seguinte expressão seja 
verdadeira: 
det 240A
. 
 
11. Sejam as matrizes:
2 0 1 1 0
1 1 0
 0 1 3 4 0
0 3 2
1 0 2 5 2
A B C
   
             
         
. 
 
Calcule: a) AxB b) B
T
 c) B+B
T 
 
 
12. Sabe-se que e que o valor do determinante da matriz [
 
 
 
 
] é igual a 
15. Determine o valor de x e y. 
 
13. Resolva a seguinte equação: 
 
-2 -4 3 2
1 5 6det det
1 0 2 -8
 x + = det 0 2 4
3 1 3 5
det det 3 7 1
4 2 1 2
    
     
                    
     
 
14. Seja [
 
 
 
], ache se possível, pelo método da matriz inversa. 
 
 
15. Quais os valores de X, Y, Z e W se 
2 3 1 0
3 4 0 1
X Y
Z W
     
      
     
? 
 
 
 
 
 
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16. Resolva os seguintes sistemas pelo método Gauss-Jordan. 
 
a) {
 
 
 
 
 
b) {
 
 
 
 
 
17. Seja o sistema de equações lineares abaixo, escreva este sistema na forma matricial. Resolva 
pelo método do escalonamento: 
2 3 11
4 3 2 0
6 
3 4 
x y z
x y z
x y z
x y z
  
   

  
    
 
18. Usando a regra de Cramer, resolva o sistema abaixo. 
 {
 
 
 
 
 
19. Dado o sistema: 
3 5 1
2 3
5 0
x y
x z
x y z
 

 
   
 
Escreva a matriz ampliada do sistema e a reduza à forma escalonada. Calcule o seu posto e o seu 
grau de liberdade. Após classificar o sistema, apresente a solução caso o sistema seja possível. 
 
20. Determine o valor de k para que o sistema seja possível:
 
4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
  

 
  
 
 
21. Quais dos sistemas homogêneos a seguir têm solução não trivial? 
a) {
 
 
 
 
 
 
b) {
 
 
 
 
 
 
c) {
 
 
 
 
 
 
 
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22. INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA. 
Várias técnicas de aproximação em ciências e engenharia usam uma parábola que passam por 
três pontos dados {( ) ( ) ( )}, onde para . Chamamos estes de 
pontos distintos, uma vez que as coordenadas x são todas diferentes. O gráfico de um 
polinômio quadrático ( ) é uma parábola, e usamos os pontos dados para 
determinar os coeficientes e como mostrado a seguir. Impondo que ( ) , , 
obtemos três equações lineares com incógnitas e : 
 
 ( ) ou 
 
 ( ) ou 
 (3) 
 ( ) ou 
 . 
Seja 
 [
 
 
 
 
 
 
] 
A matriz dos coeficientes, [
 
 
 
] e [
 
 
 
], então (3) pode ser escrita na forma de equação 
matricial cuja matriz aumentada 
[ ] [
 
 
 
 
 
 
] 
 
Resolvemos o sistema por eliminação gaussiana ou redução de Gauss-Jordan, obtendo os 
valores para e . Pode ser mostrado que há uma única solução para esse sistema linear se e 
somente se os pontos são distintos. A construção da parábola que contém os pontos do conjunto 
de dados é chamado de interpolação quadrática, e a parábola é chamada de interpoladora 
quadrática. Esse processo pode ser generalizado para conjunto de dados diferentes com 
pontos e polinômios de grau . 
 
Com as informações acima, encontre a interpolante quadrática para os três pontos distintos 
{( ) ( ) ( )}. 
 
23. Uma indústria produz três tipos e insumos X, Y, e Z, utilizado dois tipos de insumo, A e B. 
Para manufatura de cada kg de X são utilizados 1g do insumo A e 2g do insumo B; para cada 
kg de Y, 1g do insumo A e 1g do insumo B e, para cada kg de Z, 1g do A e 4g do B. o preço de 
venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00 respectivamente. 
Com a venda de toda a produção de X, Y e Z, manufaturada com 1kg de A e 2 kg de B, essa 
indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z 
foram vendidos. 
 
24. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. 
Sabe-se que o quilo do amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o 
quilo de castanha-do-pará , R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo 
total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de 
caju de cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. 
 
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. 
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente 
por lata. 
 
 
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25. Considere os vetores ( ), ( ), ( ) e ( ). 
a) Escrever, se possível, o vetor como combinação linear de , e . 
b) Escrever, se possível, o vetor como combinação linear de e . 
 
26. Verificar a dependência linear dos vetores abaixo: 
a) ( ), ( ) e ( ). 
b) ( ), ( ) e ( ). 
 
27. Seja u e v vetores linearmente independentes no espaço vetorial real E. Determine o escalar 
 para qual os vetores e são linearmente dependentes. 
 
28. Sejam os vetores 
     1 2 32,0,0,1 , 0,0,1,1 e ,0,1,2v v v   . Qual o único valor de α que 
tornam estes vetores L.D.? 
 
GABARITO 
 
1. a) [
 
 
] b) [
 
 
] c) [
 
 
] d) [
 
 
 
] e) [ ] f) impossível g) [
 
 
] 
2. asdfas 
3. 
4. 5 
5. Dsaf 
6. [
 
 
] 
7. Sdaf 
8. 
9. a) b) 
10. 
11. a) [
 
 
] 
12. 
13. 
14. [] 
15. Saadf 
16. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 
17. ( ) ( ) 
18. ( ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
19. Adfsas 
20. 
21. Sdfa 
22. ( ) 
23. 
24. 
25. Das 
26. Das 
27. Dsaf 
28. Asfd