7 - Trigonometria

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Professora Luciane Zickuhr Tomelin, Jonathan Gil Muller e Simone Schwertl – Departamento de Matemática - 
FURB 
 
CAPÍTULO 7: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A trigonometria é uma palavra composta por 3 radicais gregos: 
“tri”  três 
“gonos”  ângulos 
“metron”  medir 
Trigonometria é o estudo das relações entre ângulos e lados de um triângulo. Os 
triângulos retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto. 
 
COMPOSIÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
O triângulo retângulo é formado: 
 Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São 
classificados em: cateto adjacente e cateto oposto. 
 Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado 
do triângulo retângulo. 
 
 
 
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Fnd2 
ou 
Shift 
Exemplos: 
1) No triângulo retângulo abaixo, calcular as razões trigonométricas do ângulo 
agudo β. 
 
...333,1
3
4
adjacente cateto
oposto cateto
β
8,0
5
4
hipotenusa
oposto cateto
β
6,0
5
3
hipotenusa
adjacente cateto
βcos



CA
CO
tg
Hip
CO
sen
Hip
CA
 
 
No triângulo do exemplo 1, não conhecemos o ângulo β. No entanto, agora que 
conhecemos as relações trigonométricas do triângulo dado, podemos obtê-lo 
usando a calculadora. 
 
Podemos usar qualquer uma das razões: 
 
1ª opção: usando o cosseno 
 
Temos que 
5
3
βcos  , sabemos então que β é o ângulo cujo cosseno vale 3/5, a 
matemática tem uma linguagem própria para escrever esta afirmação: 
5
3
 cos β arc , lê-se β é ângulo cujo cosseno vale 3/5. 
 
No entanto esta notação não nos dá ideia da medida do ângulo β em graus. Para 
obtermos este valor, recorremos à calculadora da seguinte forma: 
 
...6,053  
1cos
cos

 
 
 
 
Na calculadora aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β  53,13º 
(Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
4 
3 
. β 
3 
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Fnd2 
ou 
Shift 
Obs.1: Para calcular o ângulo conhecendo as relações seno, cosseno e tangente, temos 
que usar as teclas 1sen , 1cos e 1tan respectivamente. Por isso, antes de acionar por 
exemplo o cosseno temos que apertar a tecla ou Shift que significa 2ª função, 
pois 1cos é a 2ª função da tecla cos . 
Obs.2: No visor de sua máquina de calcular, aparece em letras bem pequenas: “DEG” ou 
“RAD” ou “GRAD”. Quando queremos obter a medida do ângulo em graus, usamos a 
máquina no modo “DEG”. 
Obs.3: Das propriedades de potenciação aprendemos que quando temos expoente 
negativo na base de uma potência, para eliminá-lo basta inverter a base. Isto nos permite 
colocar que 
cos
1
cos 1  , mas cuidado!!! A máquina de calcular usa essa notação para 
obter o ângulo que possui o cosseno indicado. 
 
 
2ª opção: usando o seno 
5
4
β sen 
Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: 
5
4
β senarc lê-se β é o ângulo cujo seno é 
5
4
 
Como vimos, para obter o valor em graus de β, utilizaremos a calculadora da 
seguinte forma: 
 
8,054  
1sen
sen

 
 
No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β  53,13º. 
(Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”) 
 
3ª opção: usando a tangente 
3
4
β tg 
 Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: 






3
4
β arctg lê-se β é o ângulo cuja tangente vale 
3
4
 
 
Fnd2
4 
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Fnd2 
ou 
Shift 
Novamente para obter o valor de β na calculadora, faremos: 
 
...333,134  
1tan
tan

 
 
No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β  53,13º. 
(Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”) 
Como vimos, obtemos o valor de β em graus, com o auxílio da calculadora, usando 
qualquer uma das razões seno, cosseno ou tangente de β. 
Exemplo 2: Agora faremos um exemplo bem mais simples. Determinar usando a 
calculadora os valores de sen 40º, cos 40º e tg 40º. 
Resolução: 
a) Calculando sen 40º. 
Tecle 40 sen . Aparecerá no visor 0,64278, o que nos permite escrever que 
64,0º40 sen . 
 
b) Calculando cos 40º. 
Tecle 40 cos . Aparecerá no visor 0,76604, o que nos permite escrever que 
77,0º40cos  . 
 
c) Calculando tg 40º. 
Tecle 40 tg . Aparecerá no visor 0,83910, o que nos permite escrever que 
84,0º40 tg . 
Exemplo 3: As razões trigonométricas são muito usadas na vida prática. A seguir, 
apresentaremos um exemplo bastante simples. 
 
Uma pessoa está distante 100m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do 
prédio sob um ângulo de 20º em relação à horizontal conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
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Pergunta-se: Qual é a altura do prédio? 
Como o prédio forma um ângulo de 90º com o solo, temos um triângulo retângulo, 
o que nos permite usar as relações trigonométricas seno, cosseno ou tangente. 
No triângulo retângulo formado na figura dada, a altura do prédio é o cateto oposto 
ao ângulo de 20º e a distância da pessoa ao prédio é o cateto adjacente. 
A razão trigonométrica que envolve os catetos é a tangente, assim teremos: 
metros 4,36prédio do altura
36397,0100prédio do altura
20º tgdistância prédio do altura
distância
prédio do altura
º20
adjacente cateto
oposto cateto
º20





tg
tg
 
EXERCÍCIOS 
1.Determinar ααcos,α tgesen nos triângulos abaixo: 
 
2.Determinar a medida do ângulo β nos triângulos abaixo: 
 
 
20º . 
100m 
usando a 
calculadora para 
calcular tg20º 
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3.Um avião levanta vôo no ponto B, conforme figura abaixo, fazendo um ângulo constante 
de 20º com o solo. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar por uma 
pessoa que se encontra a 1500m do ponto de partida? 
 
4.Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está a 30° 
acima do horizonte? 
 
 
5.Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. 
Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente quantos metros? 
 
6. Determine os valores de x e y no triângulo a seguir. 
 
 
 
7. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º após percorrer 2000 
metros em linha reta. De quanto aproximadamente, será a altura atingida pelo 
avião? 
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8.Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um lançamento para o jogador 2 
com um ângulo de 48°. Qual a distância que a bola deverá percorrer até chegar ao 
jogador 2?