26 - EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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<p>Exercícios de trigonometria no triângulo</p><p>retângulo</p><p>A trigonometria é um importante tema na Matemática que possibilita</p><p>conhecer lados e ângulos em um triângulo retângulo, através do seno,</p><p>cosseno e tangente, além de outras funções trigonométricas.</p><p>Exercício 1</p><p>Observando pela manhã a sombra de um prédio no chão, uma pessoa</p><p>verificou que essa media 63 metros quando os raios de Sol faziam um ângulo</p><p>de 30° com a superfície. Baseado nessas informações, calcule a altura do</p><p>prédio.</p><p>Resposta correta: Aproximadamente 36,37 m.</p><p>O prédio, a sombra e o raio de Sol, determinam um triângulo retângulo.</p><p>Utilizando o ângulo de 30° e a tangente, podemos determinar a altura do</p><p>prédio.</p><p>Sendo h a altura do prédio, temos:</p><p>Exercício 2</p><p>Em uma circunferência de diâmetro igual a 3, um segmento AC, chamado de</p><p>corda, forma um ângulo de 90° com outra corda CB, de mesmo comprimento.</p><p>Qual é a medida das cordas?</p><p>Resposta correta: O comprimento da corda é 2,12 cm.</p><p>Como os segmentos AC e CB formam um ângulo de 90° e possuem o mesmo</p><p>comprimento, o triângulo formado é isósceles e os ângulos da base são</p><p>iguais.</p><p>Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º e, já temos</p><p>um ângulo de 90°, sobram outros 90° para serem divididos igualmente entre</p><p>os dois ângulos da base. Assim, o valor desses é igual 45º cada.</p><p>Sendo o diâmetro igual a 3 cm, o raio vale 1,5 cm e podemos utilizar o</p><p>cosseno de 45° para determinar o comprimento da corda.</p><p>Exercício 3</p><p>Uma ciclista participando de um campeonato se aproxima da linha de</p><p>chegada que se encontra no alto de uma ladeira. O comprimento total dessa</p><p>última parte da prova é de 60 m e o ângulo formado entre a rampa e a</p><p>horizontal é de 30°. Sabendo disso, calcule a altura vertical que a ciclista</p><p>precisa subir.</p><p>Resposta correta: A altura será de 30 m.</p><p>Chamando a altura de h, temos:</p><p>Exercício 4</p><p>A seguinte figura é formada por três triângulos onde a altura h determina dois</p><p>ângulos retos. Os valores dos elementos são:</p><p>α = 30°</p><p>β = 60°</p><p>h = 21</p><p>Determine o valor de a+b.</p><p>Resposta correta:</p><p>Podemos determinar as medidas dos segmentos a e b, utilizando as</p><p>tangentes dos ângulos fornecidos.</p><p>Cálculo de a:</p><p>Cálculo de b:</p><p>Assim,</p><p>Exercício 5</p><p>Um avião decolou da cidade A e voou 50 km em linha reta até pousar na</p><p>cidade B. Após, voou mais 40 km, dessa vez indo na direção da cidade D.</p><p>Essas duas rotas fazem um ângulo de 90° entre si. No entanto, devido às</p><p>condições climáticas desfavoráveis, o piloto recebeu um comunicado da torre</p><p>de comando informando que não poderia pousar na cidade D e, que deveria</p><p>voltar para a cidade A.</p><p>Para que fizesse o retorno a partir do ponto C, o piloto deveria fazer uma</p><p>curva de quantos graus à direita?</p><p>Considere:</p><p>sen 51° = 0,77</p><p>cos 51° = 0,63</p><p>tan 51° = 1,25</p><p>Resposta correta: O piloto deve realizar uma curva de 129° à direita.</p><p>Analisando a figura vemos que o trajeto forma um triângulo retângulo.</p><p>Vamos chamar o ângulo que estamos procurando de W. Os ângulos W e Z</p><p>são suplementares, ou seja, formam um ângulo raso, de 180°.</p><p>Assim, W + Z = 180°.</p><p>W = 180 - Z (equação 1)</p><p>Nossa tarefa agora é determinar o ângulo Z e, para isso, vamos utilizar a sua</p><p>tangente.</p><p>Devemos nos perguntar: Qual é o ângulo cuja tangente é 1,25?</p><p>O problema nos fornece esse dado, tan 51° = 1,25.</p><p>Esse valor também pode ser encontrado em uma tabela trigonométrica ou</p><p>com uma calculadora científica, utilizando a função:</p><p>Substituindo o valor de Z na equação 1, temos:</p><p>W = 180° - 51° = 129°</p><p>Exercício 6</p><p>Um raio de luz monocromática ao passar de um meio para outro, sofre um</p><p>desvio em sua direção. Essa mudança na sua propagação está relacionada</p><p>aos índices de refração dos meios, conforme a seguinte relação:</p><p>Lei de Snell - Descartes</p><p>Sendo i e r os ângulos de incidência e refração e, n1 e n2, os índices de</p><p>refração dos meios 1 e 2.</p><p>Ao incidir na superfície de separação entre o ar e o vidro, um raio de luz altera</p><p>sua direção, como mostra a figura. Qual o índice de refração do vidro?</p><p>Dado: Índice de refração do ar igual a 1.</p><p>Resposta correta: O índice de refração do vidro é igual a .</p><p>Substituindo os valores temos:</p><p>Exercício 7</p><p>Para arrastar uma tora de madeira até sua oficina, um serralheiro amarrou</p><p>uma corda a tora e a puxou por três metros através de uma superfície</p><p>horizontal. Uma força de 40 N através da corda fez um ângulo de 45° com o</p><p>sentido do deslocamento. Calcule o trabalho da força aplicada.</p><p>Resposta correta: O trabalho realizado é de, aproximadamente, 84,85 J.</p><p>O trabalho é uma grandeza escalar obtida pelo produto entre a força e o</p><p>deslocamento. Se a força não possui a mesma direção do deslocamento,</p><p>devemos decompor está força e considerar apenas a componente nesta</p><p>direção.</p><p>Nesse caso, devemos multiplicar o módulo da força pelo cosseno do ângulo.</p><p>Assim temos:</p>