27 - EXERCÍCIOS SOBRE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

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<p>Exercícios sobre razões trigonométricas</p><p>As razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente, são relações entre os</p><p>lados de um triângulo retângulo. Com o uso destas razões é possível</p><p>determinar valores desconhecidos de ângulos e medidas de lados.</p><p>Questões sobre seno</p><p>Questão 1</p><p>Sendo o ângulo igual a 30° e a hipotenusa 47 m, calcule a medida da altura</p><p>a do triângulo.</p><p>RESPOSTA</p><p>A razão trigonométrica seno é o quociente entre as medidas do cateto oposto</p><p>ao ângulo, e a hipotenusa.</p><p>Isolando a de um lado da igualdade, temos:</p><p>A partir de uma tabela trigonométrica, temos que seno de 30° é igual a ,</p><p>substituindo na equação:</p><p>Portanto, a altura do triângulo é de 23,50 m.</p><p>Questão 2</p><p>A vista superior de um parque mostra dois caminhos para se chegar ao ponto</p><p>C, a partir do ponto A. Uma das opções é ir para B, onde há bebedouros e</p><p>lugares de descanso e, depois ir para C. Caso um visitante do parque queira ir</p><p>direto para C, quantos metros ele terá caminhado a menos do que a primeira</p><p>opção?</p><p>Considerar as aproximações:</p><p>sen 58° = 0,85</p><p>cos 58° = 0,53</p><p>tan 58° = 1,60</p><p>Resposta: saindo de A e indo direto para C, a caminhada é 7,54 m mais</p><p>curta.</p><p>Passo 1: calcular h</p><p>Passo 2: determinar a distância .</p><p>Passo 3: determinar a distância .</p><p>Passo 4: determinar a diferença entre os dois caminhos.</p><p>Questão 3</p><p>Um teleférico foi instalado ligando uma base ao cume de uma montanha.</p><p>Para a instalação, foram utilizados 1358 m de cabos, dispostos a uma</p><p>angulação de 30° em relação ao solo. Qual a altura da montanha?</p><p>Resposta correta: a altura da montanha é de 679 m.</p><p>Podemos usar a razão trigonométrica seno para determinar a altura da</p><p>montanha.</p><p>De uma tabela trigonométrica, temos que sen 30° = 0,5. Como o seno é a</p><p>razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, determinamos a altura.</p><p>Questão 4</p><p>(CBM-SC, soldado-2010) Para socorrer uma pessoa num apartamento durante</p><p>um incêndio, os bombeiros utilizarão uma escada de 30m, que será colocada</p><p>conforme a figura a seguir formando com o solo um ângulo de 60º. Qual a</p><p>distância do apartamento ao chão? (Utilize sen60º=0,87; cos60º=0,5 e tg60º=</p><p>1,73)</p><p>a) 15 m.</p><p>b) 26,1 m.</p><p>c) 34,48 m.</p><p>d) 51,9 m.</p><p>Resposta correta: b) 26,1 m.</p><p>Para determinar a altura, utilizaremos o seno de 60°. Chamando a altura de h</p><p>e utilizando seno de 60° igual a 0,87.</p><p>Questões sobre cosseno</p><p>Questão 5</p><p>Cosseno é a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a medida da</p><p>hipotenusa. Sendo igual a 45°, calcule a medida do cateto adjacente ao</p><p>ângulo alpha, no triângulo da figura.</p><p>Considere</p><p>RESPOSTA</p><p>Aproximando o valor da raiz quadra de 2:</p><p>A medida do cateto adjacente é de, aproximadamente, 19,74 m.</p><p>Questão 6</p><p>Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um lançamento para o</p><p>jogador 2 com um ângulo de 48°. Qual a distância que a bola deverá percorrer</p><p>até chegar ao jogador 2?</p><p>Considere:</p><p>sen 48° = 0,74</p><p>cos 48° = 0,66</p><p>tan 48° = 1,11</p><p>Resposta correta: A bola deverá percorrer uma distância de 54,54 m.</p><p>A medida entre o jogador 1 e o jogador 2 é a hipotenusa do triângulo</p><p>retângulo.</p><p>O cosseno do ângulo de 48° é a razão entre seu cateto adjacente e a</p><p>hipotenusa, onde, o cateto adjacente é a distância entre o meio de campo e a</p><p>grande área.</p><p>52,5 - 16,5 = 36 m</p><p>Fazendo o cálculo do cosseno, sendo h a hipotenusa.</p><p>Questão 7</p><p>Um telhado é tido como de duas águas quando há dois caimentos. Em uma</p><p>obra está sendo construído um telhado onde, o encontro de suas duas águas</p><p>esteja exatamente no meio da lage. O ângulo de inclinação de cada água em</p><p>relação a lage é de 30°. A lage possui 24 m de comprimento. Para</p><p>encomendar as telhas antes mesmo da estrutura que irá sustentar o telhado</p><p>estar concluída, é preciso conhecer o comprimento de cada água, que será</p><p>de:</p><p>RESPOSTA</p><p>Como a lage possui 24 m de comprimento, cada lado terá 12 m.</p><p>Chamando o comprimento de cada água do telhado de L, temos:</p><p>Racionalizando a fração para tirar o número irracional do denominador.</p><p>Fazendo,</p><p>Portanto, o comprimento de cada água do telhado será de, aproximadamente,</p><p>13,6 m.</p><p>Questões sobre tangente</p><p>Questão 8</p><p>Tangente é a razão entre o cateto oposto a um ângulo, e seu cateto adjacente.</p><p>Sendo o ângulo igual a 60°, calcule a altura do triângulo.</p><p>RESPOSTA</p><p>Questão 9</p><p>Uma pessoa quer conhecer a largura de um rio antes de atravessá-lo. Para</p><p>isso, ela fixa um ponto de referência na outra margem, como uma árvore, por</p><p>exemplo (ponto C). Na posição em que se encontra (ponto B), caminha 10</p><p>metros para a esquerda, até se forme um ângulo de 30° entre o ponto A e o</p><p>ponto C. Calcule a largura do rio.</p><p>Considere .</p><p>RESPOSTA</p><p>Para calcular a largura do rio que chamaremos de L, utilizaremos a tangente</p><p>do ângulo .</p><p>Questão 10</p><p>(Enem 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada</p><p>por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para</p><p>pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz,</p><p>dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais,</p><p>postas paralelas e perfeitamente</p><p>em fila, como ilustra a figura.</p><p>Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre</p><p>suas vigas, de modo que, no</p><p>solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano</p><p>perpendicular à direção das</p><p>vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a</p><p>posição a pino, gere a metade</p><p>da luz que passa no pergolado ao meio-dia.</p><p>Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do</p><p>pergolado devem ser</p><p>construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima</p><p>possível de</p><p>a) 9.</p><p>b) 15.</p><p>c) 26.</p><p>d) 52.</p><p>e) 60.</p><p>Resposta correta: c) 26.</p><p>Para compreender a situação, faremos um esboço.</p><p>A imagem da esquerda mostra a incidência de luz solar ao meio de dia, com</p><p>100%. A imagem da direita é que nos interessa. Ela permite que apenas 50%</p><p>dos raios solares passem pelo pergolado, com a inclinação de 30%.</p><p>Utilizamos a razão trigonométrica tangente. A tangente de um ângulo é a</p><p>razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.</p><p>Chamando a altura da peça do pergolado de h, temos:</p><p>Fazendo tangente de 30° =</p><p>Vamos racionalizar a última fração para não deixar a raiz de três, um número</p><p>irracional, no denominador.</p><p>Fazendo,</p><p>Das opções disponíveis pela questão, a que mais se aproxima é a letra c, a</p><p>altura das vigas devem possuir, aproximadamente, 26cm.</p>