Matemática - Aula 7

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A trigonometria tem origem grega e seu significado está relacionado às 
medidas de um triângulo (trígonos, triângulo; metrein, medidas). É a área da 
matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. 
É a área da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos de 
um triângulo. 
Uma das razões para o surgimento deste estudo foi a 
necessidade de usá-lo na astronomia para calcular o tempo, e seu 
desenvolvimento ocorreu na geografia e na navegação. O teorema de Pitágoras 
é bastante conhecido e desempenha um papel importante no desenvolvimento 
de estudos trigonométricos, pois através dele desenvolvemos fórmulas teóricas 
comumente utilizadas em cálculos relacionados a situações práticas do dia a 
dia. 
Neste capítulo, definiremos as relações trigonométricas seno, cosseno 
e tangente no triângulo retângulo e suas relações no círculo unitário. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 07 - 
TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Identificar as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente no 
triângulo retângulo; 
 Definir as funções trigonométricas e suas relações no círculo unitário. 
 
 
 
 
 
 
1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E TANGENTE NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
O triângulo é a figura geométrica mais simples, mas, simultaneamente, uma 
das mais importantes. Possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de 
seus lados e a medida de seus ângulos internos, classificado como acutângulo, 
obtusângulo e retângulo. 
Todo triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois agudos. O triângulo ABC, 
mostrado na Figura 1, é um retângulo em C. 
Figura 1 - Triângulo retângulo 
 
Usaremos as letras maiúsculas dos vértices para indicar também os ângulos 
internos correspondentes, e as letras minúsculas a, b, c para indicar 
respectivamente os lados opostos aos ângulos A, B e C, bem como as medidas dos 
lados. Então temos C = 90° e A + B = 90°, pois a soma das medidas dos ângulos 
internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Os nomes cateto e hipotenusa 
são usados apenas em triângulos retângulos. No nosso caso, a hipotenusa é a (o 
lado oposto ao ângulo reto), e os outros lados b e c são chamados catetos. 
Aplica-se aos triângulos retângulos o importante teorema de Pitágoras, que 
define: "Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos: a² = b² + c²" (COSTA; GUERRA ,2009). O teorema de 
Pitágoras é um caso especial da Lei dos Cossenos usada em todo triângulo. Para um 
ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as razões importantes de seno, 
cosseno e tangente. 
 
 
Saiba mais: 
 
As seis razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cossecante, secante 
e cotangente) não dependem do "tamanho do triângulo retângulo", apenas da medida 
do ângulo. De fato, dois triângulos retângulos, com um ângulo agudo de mesma 
medida, são semelhantes (Figura 2). 
Figura 2 -Triângulo retângulo ABC e A’B’C 
 
Podemos verificar que, conforme a Figura 2, temos por semelhança as 
expressões: 
 
 
 
e 
 
 
Portanto, concluímos que os valores de tangente, cotangente, secante e 
cossecante dependem apenas da medida α do ângulo. Na Figura 2 podemos 
observar que: 
 
O que justifica os nomes das razões (o cosseno de α é o seno 
complementar de α). 
A seguir, veremos que essa relação é de fato verdadeira para qualquer ângulo 
agudo α e, posteriormente, a estenderemos para qualquer ângulo. Considere o 
triângulo retângulo ABC (Figura 3). 
Figura 3 -Triângulo retângulo ABC 
 
De fato, pelo teorema de Pitágoras sabemos que a2 = b2 + c2, temos sen α = 
c/a e cosα = b/a, temos: 
c = a senα e b = a cosα 
 
 
Logo: 
a² = (acosα²) = (asenα)² → a² = a²cos²α + a²sen²α → cos²α + sen²α = 1 
Assim, temos a identidade trigonométrica fundamental: 
cos²α + sen²α = 1 
Ângulos notáveis 
45º 
Veja a figura: 
Figura 4 -Triângulo retângulo ABC 
 
No triângulo retângulo isósceles, os catetos medem 1, a hipotenusa e os 
ângulos agudos 45º. 
Logo: 
 
30o e 60o 
Veja a figura: 
 
 
Figura 5 -Triângulo com ângulos de 30º e 60º 
 
 
Dividimos o triângulo equilátero pelo lado 1, tomamos a altura BH (que 
também é a bissetriz de B) e formamos um triângulo retângulo, cujos ângulos 
agudos medem 30º e 60º, conforme mostra a Figura 5. De acordo com o triângulo 
retângulo HBC, temos: 
 
Esses valores são precisos. Para os outros ângulos, uma identidade 
trigonométrica pode ser usada para calcular as razões trigonométricas, ou podemos 
até aproximar esses valores usando ferramentas matemáticas mais sofisticadas. As 
calculadoras científicas geralmente nos fornecem valores aproximados para essas 
razões, que serão nosso objeto de estudo neste tema. 
 
 
 
1.1 Funções trigonométricas e suas relações no círculo unitário 
Funções seno e cosseno 
Considere a circunferência de raio unitário e o centro na origem do sistema 
ortogonal de coordenadas, chamado de círculo trigonométrico. Convencionaremos o 
seguinte: o ponto A é a origem dos arcos sobre a circunferência, e o comprimento x 
de um arco é positivo quando obtido a partir de A, deslocando-se no sentido anti-
horário, e negativo, se no sentido horário. 
Chama-se função seno a função ƒ: R → R, indicada como ƒ (x) = sen x, que 
associa a cada número real x, entendido como o comprimento de um arco AB da 
circunferência, a ordenada do ponto B no eixo OY (COSTA; GUERRA ,2009). 
Em uma circunferência de raio r, o comprimento x de um arco e o ângulo θ 
subentendido estão relacionados pela fórmula x = θ ∙ r. 
Se r = 1, tem-se x = θ e, nesse caso, podemos interpretar sen x como sendo o 
seno do ângulo, cuja medida, em radianos, é x. Lembre-se de que a medida de um 
arco é 1 radiano quando o comprimento do arco é igual ao raio da circunferência. 
A conversão para graus é dada de acordo com a Figura 6. 
Figura 6 - Funções seno e cosseno 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line).
 
 
 
A função cosseno é a função ƒ: R → R indicada por ƒ (x) = cos x, que associa 
a cada número real x, entendido aqui também como o comprimento de um arco AB 
da circunferência unitária, a abcissa do ponto B no eixo OX. Vejamos as propriedades 
das funções seno e cosseno (Figuras 7 e 8). 
 
Figura 7 - Gráfico da função seno 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
Figura 8 - Gráfico da função cosseno 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
Ambas as funções têm por conjunto imagem o intervalo [-1, 1]. Para todos os 
valores de x ∈ R, tem-se que -1 ≤ sen x ≤ 1 e -1 ≤ cos x ≤ 1. 
Sendo x o comprimento de um arco AB circunferência unitária, a ordenada e a 
abcissa de B, sen x e cos x são, no máximo, 1 e, no mínimo, -1, qualquer que seja x, 
como se constata examinando-se a Figura 9. (As funções seno e cosseno são 
exemplos importantes de funções periódicas.) 
 
 
Uma função ƒ(x) é chamada de periódica quando satisfaz, para algum p, a 
relação ƒ (x) = ƒ (x + p), qualquer que seja x ∈ Domƒ. O menor valor de p para o qual 
se tem ƒ (x + p) = ƒ (x) para qualquer x ∈ R é chamado de período da função ƒ. As 
funções seno e cosseno são funções periódicas com período 2𝝅. Isso significa que, 
para todo x ∈ R, sen = (x + 2𝝅) = sen x, cos (x + 2𝝅) = cos x. Essa propriedade segue 
da interpretação geométrica dessas funções. Examinandoo círculo trigonométrico, 
conclui-se que a extremidade C de um arco AC de comprimento x + 2𝝅 coincide com 
o ponto B do arco AB, portanto, B e C têm as mesmas coordenadas. A função cosseno 
é uma função par. De fato, considere o arco AB de comprimento x > 0, como indica a 
Figura 9, e o arco AC, medido no sentido anti-horário, cujo comprimento é também -x 
(isto é, AC arco -x). Os pontos B e C, portanto, têm a mesma abcissa, de modo que 
cos(-x) = cos x (COSTA; GUERRA ,2009). 
Figura 9 - Gráfico da função círculo unitário 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line) 
A função seno é uma função ímpar, isto é, sen(-x) = (-1) sen(x). As funções sen 
x e cos x satisfazem algumas relações, chamadas de relações trigonométricas. Em 
particular, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo Q0B (Figura 10), 
obtém-se a relação: 
 
cos² x + sen² x = 1 
 
 
 
 
 
Figura 10 - Gráfico da função círculo unitário sen e cos 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
Função tangente 
A função ƒ: A → R, f(x) = tg x, definida por tg x = sen x / cos x, em que A = {x ∈ 
R| cos x ≠ 0}, é chamada de cos x função tangente. A função tangente tem uma 
interpretação geométrica que é a seguinte: na circunferência unitária, a reta é tangente 
à circunferência no ponto A, chamada eixo das tangentes, como indica a Figura 11, 
na reta E. 
Figura 11 - Gráfico da função círculo unitário tangente 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
A função tangente se associa a cada número real x, interpretado como a 
medida de um arco AB e a medida do segmento AC, como mostrado na Figura 11. Os 
valores da função tangente são positivos quando no semieixo acima de A, e negativos 
quando abaixo de A. 
 
 
A função tangente é periódica (Figura 12). Seu período é 𝝅. 
Figura 12 - Gráfico da função tangente 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
Função secante 
É a função ƒ: A → R, indicada por f(x) = sec x, em que sec x = 
1
𝐶𝑂𝑆 𝑋
 e A = {x ∈ 
R | cos x ≠ 0} (Figura 13). 
Figura 13 - Gráfico da função secante 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
A função secante é uma função par e periódica com período 2 𝝅. Seu conjunto 
imagem é Im (sec x) = (-∞, -1] ∪ [1, + ∞). 
Função cossecante 
É a função f: A → R, em que A é o conjunto dos números reais x, tais que sen 
x ≠ 0, dada por f(x) = cossec x 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
. 
 
 
Vejamos agora o gráfico da função cossecante na Figura 14: 
Figura 14 - Gráfico da função cossecante 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
A função cossec x é uma função ímpar, periódica com período 2 𝝅. Seu conjunto 
imagem é o conjunto: Im (cos sec x) = (-∞, -1] ∪ [1, ∞). 
 
Função cotangente 
A função ƒ: A → R, dada por f(x) = cotg x = cos x / sen x, em que A é o conjunto 
dos números reais x, tais que sen x ≠ 0, é chamada de função cotangente (Figura 15). 
Figura 15 - Gráfico da função cotangente 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
A função cotangente é uma função ímpar, periódica de período 𝝅 e Im (cotg x) = R. 
Saiba mais: As razões trigonométricas são usadas principalmente para determinar 
distâncias inacessíveis. Por exemplo, para calcular a altura de uma montanha ou a 
distância entre as margens de um rio, um instrumento de precisão para medir ângulos 
chamado teodolito, é usado e as relações trigonométricas são aplicadas.3 
 
 
2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
COSTA, G.; GUERRA, F. Cálculo I. Florianópolis: UFSC, 2009. 
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: Trigonometria. 9 ed. v.3. São 
Paulo: Atual, 2013. 
MARQUES, G. C. Trigonometria no triângulo retângulo. São Paulo: USP/Univesp, 
2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
	1.1 Funções trigonométricas e suas relações no círculo unitário
	2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS