Trigonometria e Números Complexos

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TrigonomeTria e números 
Complexos
2012
Prof.ª Grazielle Jenske
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof.ª Grazielle Jenske
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
 516.24
S237tJenske, Grazielle.
 Trigonometria e números complexos / GrazielleJenske. Centro 
 Universitário Leonardo da Vinci – Indaial : Grupo 
 UNIASSELVI, 2012.x ; 
 242 p.: il
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830- 332-7
 1. Trigonometria 2. Matemática 3. Números complexos 
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
 II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título
 
Impresso por:
III
apresenTação
Ao(à) acadêmico(a):
É com muito carinho que o(a) convido a entrar na nave trigonométrica, 
que nos levará até o complexo mundo matemático.
Nesta viagem conheceremos as belezas da trigonometria, com seus 
triângulos, suas razões (seno, cosseno e tangente), bem como toda a magia do 
círculo trigonométrico. Posteriormente iremos até o conjunto dos números 
complexos, onde descobriremos os segredos de um novo conjunto numérico, 
muito diferente daqueles que você já conhece.
Espero que ao término deste Caderno de Estudos do curso de 
Licenciatura em Matemática você esteja dominando os diversos conceitos 
deste importante direcionamento da matemática, bem como possua criticidade 
sobre os temas e tenha desenvolvido o olhar pedagógico necessário para o 
ensino da Matemática.
Seja muito bem-vindo(a) à disciplina de Trigonometria e Números 
Complexos e tenha um ótimo estudo.
Prof.a Grazielle Jenske
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – TRIGONOMETRIA: PARTE I ................................................................................... 1
TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .................................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS ................................................................... 4
3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................................... 7
4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS .......................................... 13
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 19
TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................... 21
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 21
2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................... 21
2.1 SENO ................................................................................................................................................ 24
2.2 COSSENO ........................................................................................................................................ 28
2.3 TANGENTE ..................................................................................................................................... 31
3 ÂNGULOS NOTÁVEIS ..................................................................................................................... 35
4 TABELA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 40
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 44
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 45
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER ..................................... 47
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 47
2 LEI DOS SENOS .................................................................................................................................. 47
3 LEI DOS COSSENOS ......................................................................................................................... 52
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 56
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 57
TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................... 59
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 59
2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA ....................................................................... 59
2.1 ARCOS E ÂNGULOS ..................................................................................................................... 59
2.1.1 Arcos ........................................................................................................................................ 59
2.1.2 Ângulo central ........................................................................................................................ 61
2.2 GRAU E RADIANO ....................................................................................................................... 61
2.2.1 Grau ......................................................................................................................................... 61
2.2.2Radiano ................................................................................................................................... 62
2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano .......................................................................... 65
3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ................................................................................... 66
3.1 ARCOS CONGRUENTES .............................................................................................................. 68
3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO ........................................................................ 70
3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ............. 71
sumário
VIII
3.3.1 Seno .......................................................................................................................................... 71
3.3.2 Cosseno ................................................................................................................................... 75
3.3.3 Tangente .................................................................................................................................. 79
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 83
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 88
UNIDADE 2 – TRIGONOMETRIA: PARTE II ................................................................................. 91
TÓPICO 1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS ........................................ 93
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 93
2 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO ......................................................................................................... 93
3 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO ................................................................................................. 97
4 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE .............................................................................................. 101
5 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 105
5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE ........................................................... 106
5.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE .................................................................................... 109
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 113
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 114
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 117
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 117
2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 117
2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: sen x = sen a, com a є [0, 2π] ............................. 118
2.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: cos x = cos a, com a є [0, 2π] ............................ 120
2.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: tg x = tg a, com a є [0, 2π] ................................ 121
3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................................... 123
3.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS .............................................................................................. 123
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 136
TÓPICO 3 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................ 137
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 137
2 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 137
3 RELAÇÕES DERIVADAS .................................................................................................................. 138
4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 144
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 148
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 149
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................... 151
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 151
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS ............................................................................................ 151
3 ARCO DUPLO E ARCO METADE ................................................................................................... 157
4 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO ............................................................... 163
5 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIA ............................................. 166
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 172
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 173
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 175
UNIDADE 3 – NÚMEROS COMPLEXOS ......................................................................................... 177
TÓPICO 1: CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................ 179
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 179
IX
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................. 180
2.1 A UNIDADE IMAGINÁRIA ......................................................................................................... 182
3 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................. 182
4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................ 185
5 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO ..................................................................................... 186
6 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO ........................................................................... 186
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 187
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 188
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA 
 ALGÉBRICA .....................................................................................................................191
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 191
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................... 191
3 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................... 193
4 DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO .................................................................................... 196
5 INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 198
6 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO COM EXPOENTES INTEIROS ............. 199
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 203
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 204
TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ................ 207
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 207
2 PLANO DE ARGAND-GAUSS ........................................................................................................ 208
3 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 209
4 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO .......................................................................... 211
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 216
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 217
TÓPICO 4 – FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ......................... 219
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 219
2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ....................... 219
3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA 
 FORMA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 221
4 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA 
 TRIGONOMÉTRICA .......................................................................................................................... 224
5 RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ......... 227
6 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS .................................. 231
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 234
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 237
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 238
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................... 241
X
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS NESTE CADERNO DE ESTUDOS
SÍMBOLO SIGNIFICADO
> Maior
< Menor
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
≠ Diferente de
≅ Aproximadamente igual a
⇔ Se, e somente se
⇒ Se... então...
∀ Para todo e qualquer
∞ Infinito
π Número pi
є Pertence
∉ Não pertence
∃ Existe
 Não existe
| Tal que
∆ Triângulo
AB Segmento de A até B
A
∧ Ângulo formado no ponto A
A D
∧ ∧
≡ O ângulo A é congruente ao ângulo D
∆ABC ~ ∆DEF O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF
: x yf → Função de X para Y
N Conjunto dos números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
R Conjunto dos números reais
C Conjunto dos números complexos
1
UNIDADE 1
TRIGONOMETRIA: PARTE I
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• identificar, calcular e aplicar razões trigonométricas em um triângulo re-
tângulo e em um triângulo qualquer;
• identificar as medidas de arcos, a relação entre as unidades de medidas 
(graus e radianos) e o comprimento do arco;
• reconhecer a ampliação dos conceitos da trigonometria aplicada no triân-
gulo retângulo para trigonometria aplicada no círculo.
Nesta unidade de ensino, a abordagem da trigonometria está dividida 
em quatro tópicos, nos quais se apresentam a trigonometria no triângulo 
retângulo, sua extensão para um triângulo qualquer e a ampliação desses 
conceitos à circunferência. Cada tópico oferecerá subsídios que o(a) auxiliarão 
na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.
TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
 RETÂNGULO 
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
 
TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 INTRODUÇÃO
A trigonometria se originou antes da era cristã, quando os astrônomos 
queriam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a 
medida do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol.
 
Inicialmente usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes 
para o cálculo dessas distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma 
extensão natural da geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, 
sendo trigonometria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri = 
três, gonos = ângulos e metron = medir.
 Apesar de os egípcios e de os babilônios terem já utilizado, de forma 
rudimentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para 
resolver problemas relacionados com agrimensura, navegação e astronomia, 
muitos historiadores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 
a.C.) tenha sido o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira 
vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter 
construído a primeira Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado 
o “Pai da Trigonometria”. 
Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento 
da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Almagesto, 
baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas 
correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade 
do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de 
proposições da atual disciplina.
 
Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos 
dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da 
Matemática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos 
da trigonometria pela Europa.
Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a 
tornou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, 
mecânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, 
navegação marítima e aérea, cartografia, entre outros campos.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
4
Neste tópico vamos iniciar o estudo da trigonometria lembrando o 
essencial sobre as relações no triângulo retângulo para, nos tópicos seguintes, 
explanarmos sobre as razões trigonométricas, bem como a ampliação destes 
conceitos para a circunferência.
2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo 
retângulo. Por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus 
elementos e as suas relações.
O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três 
lados e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim 
definido por possuir um ângulo internode 90° (ângulo reto).
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado 
que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que 
formam o ângulo reto, serão chamados de catetos.
Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende debaixo” (dos 
ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo 
reto. A palavra cateto, também de origem grega, indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou 
seja, designa os dois lados menores de um triângulo retângulo.
NOTA
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
5
Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um 
complemento em sua denominação. Por exemplo, na figura a seguir.
O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é 
denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é 
chamado de cateto oposto. 
No triângulo retângulo destacamos:
• BC é a hipotenusa e a, a sua medida;
• AB e AC são catetos e c e b, respectivamente, suas medidas.
Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h), conforme a 
figura a seguir, que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado BC no 
ponto H, teremos a altura AH do triângulo retângulo, que divide o lado BC em 
dois segmentos, HB e HC, medindo, respectivamente, m e n.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
6
• AH é a altura relativa à hipotenusa e h, a sua medida;
• HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;
• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;
• ^A, ^B e ^C são os ângulos internos e med(B ^AC), med(A ^BC) e med(A ^CB), 
respectivamente, suas medidas.
Recordando tópicos da geometria.
Vértice é um ponto comum a dois lados de um ângulo. No caso acima, o vértice A é o ponto 
onde os segmentos AB e AC se encontram.
Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo de 90°.
• Segundo o Microdicionário de Matemática Imenes & Lellis, num triângulo retângulo os 
segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo 
de 90°) dos catetos sobre a hipotenusa.
IMPORTANT
E
Exemplo: 
Examinando o triângulo ABC, determine qual é a medida:
a) de cada cateto; 
Resposta: No triângulo retângulo ABC podemos perceber que o ângulo reto 
é o ângulo ^C. Portanto, os catetos são AC e BC e medem, respectivamente, 5 cm e 
5,8 cm. 
b) da hipotenusa;
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
7
Resposta: A hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto ^C, e, 
portanto, mede 9 cm (4 cm + 5 cm).
 
c) da altura relativa à hipotenusa; 
Resposta: A altura desse triângulo é dada pelo segmento HC que mede 3 cm.
d) da projeção do cateto maior sobre a hipotenusa;
Resposta: O cateto maior é o lado BC, portanto sua projeção é HB que 
mede 5 cm.
e) da projeção do cateto menor sobre a hipotenusa; 
Resposta: O cateto menor é o lado AC, portanto sua projeção é HA que 
mede 4 cm.
Uma leitura interessante é a do livro “A Geometria na sua vida”, com consultoria 
de Nílson José Machado. Não perca o capítulo “A medição da doçura”, que discorre sobre 
Hipotenusa, filha do rei de Euclideia, Metrônio. Obcecado pela geometria, o soberano só aceita 
entregar a mão da filha a alguém mais inteligente do que ela.
DICAS
3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer 
relações entre essas medidas e demonstrá-las a partir da semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos:
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros 
triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.
UNI
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
8
∆ABH ~ ∆ABC 
(lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, B e C).
∆ACH ~ ∆ABC 
(lê-se: o triângulo com vértices em A, C e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, B e C).
∆ABH ~ ∆ACH
(lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, C e H).
Vamos explorar algumas relações juntos:
1ª Relação: Considere os triângulos ABH e ABC.
^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.
≡^B ^B, pois são os mesmos ângulos.
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ABC.
Daí, c m
a c
= . Dessa proporção podemos escrever:
c • c = a • m → c² = a • m
O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC:
m
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
9
Exemplo:
Neste triângulo retângulo, vamos calcular a medida da hipotenusa. As 
medidas estão indicadas em centímetros.
^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.
^C ≡ ^C, pois são os mesmos ângulos.
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ACH ~ ∆ABC.
Daí, b n
a b=
. Dessa proporção podemos escrever: 
b • b = a • n → b² = a • n
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre 
a hipotenusa, ou seja, b² = a • n ou c² = a • m.
FONTE: A autora
QUADRO 1- RELAÇÃO MÉTRICA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Cn
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
10
Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm. 
2ª Relação: Considere os triângulos ABH e ACH.
Resolução:
Sabemos que:
^H^H ≡ , pois ambos são ângulos retos e o mesmo ângulo.
^C
^A₁ ≡
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ACH.
Daí, h n
m h
= . Dessa proporção podemos escrever:
h • h = m • n → h² = mn
Exemplo 1:
Vamos calcular o valor de x nessa figura.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa 
é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 
ou seja, h² = mn.
nm
 c2 = am
152 = a . 9
225 = 9a
 9a = 225
 a = 25
225a
9
=
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
11
Resolução:
Em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h² = mn.
Neste caso, h = 12, n = 8 e m = x. Portanto:
Assim, a medida de x é 18.
Exemplo 2:
Vamos determinar as medidas a, c, h e m indicadas na figura a seguir.
Resoluções:
CB
c
12² = 8 . x
144 = 8x
 8x = 144
 
 x = 18
144x
8
=
b2 = an m + n = a h2 = mn c2 = am
62 = a . 4 m + 4 = 9 h2 = 5 . 4 c2 = 9 . 5
36 = 4a m = 9 - 4 h2 = 20 c2 = 45
 m = 5 h = √20 c = √45
 h = 2√5 c = 3√5
a = 9
36a
4
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
12
3ª Relação: Partindo das relações, onde b² = an e c² = am. Vamos multiplicar membro 
a membro as igualdades e obteremos:
b² • c² = an • am
b² • c² = a • a • n • m
b² • c² = a² • nm
E usando a relação h² = mn, temos:
b² • c² = a² • h2
(bc)² = (ah)²
Ou, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros (já que as medidas 
são sempre números positivos), temos:
bc = ah
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto 
da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou seja, bc = ah.
QUADRO 2 – O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS
FONTE: A autora
Exemplo:
Vamos determinar a altura do triângulo a seguir.
Resolução:
bc = ah
4 . 3 = 5 . h
5h = 12 A altura h é de unidade de medida.
 
12
512h
5
=
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
13
A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes 
teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual daremos maior 
enfoque a seguir.
NOTA
4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
O Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo 
maior rio do mundo em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas). 
Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das 
margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Porém, a dificuldade 
era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades agrícolas. 
O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existência dos 
mensuradores,conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”.
 
Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda 
com 12 nós, a igual distância um do outro, e com ela construíam um triângulo com 
vértices em três desses nós. O triângulo assim obtido possui lados que medem três, 
quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo.
 
Esse método é baseado na relação enunciada por:
FONTE: A autora
QUADRO 3 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação 
para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta 
de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo 
triângulo retângulo.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
2 2 2a b c= +
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
14
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Na história da matemática muitas foram as demonstrações do Teorema 
de Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo 
retângulo, demonstradas anteriormente.
b² = a • n 
c² = a • m 
Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
b² + c² = am + an 
b² + c² = a(m + n) 
Observando que m + n = a, temos:
b² + c² = a • a 
E assim
b2 + c2 = a2
Vejamos outra maneira de exemplificar a validade do Teorema de Pitágoras, 
através da geometria:
= 1 unidade de 
comprimento
= 1 unidade de 
área
3x3=32
4x4=42
5x5=52
5
43
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
15
Considerando que cada quadradinho corresponde a uma unidade de área, 
verificamos que nos três quadrados existem 25, 16 e 9 unidades de área; notando 
que 25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3², confirma-se a relação: a área do quadrado construído 
sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados 
construídos sobre os dois menores lados.
Exemplo 1:
Vamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo a seguir,.
Resolução:
Considerando a = x, b = 4 e c = 7, temos:
b² + c² = a² 
4² + 7² = x² 
49 + 16 = x² 
65 = x² 
x = √65 
x ≅ 8,06
Assim, a hipotenusa mede, aproximadamente, 8,06 unidades de comprimento.
Sempre que conhecemos dois dos seis valores a, b, c, h, m, e n indicados na figura, 
podemos descobrir os outros quatro empregando as relações métricas do triângulo retângulo. 
NOTA
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
16
Exemplo 2:
Vamos encontrar as medidas desconhecidas da figura seguinte.
nm
Resolução:
Observe que os valores desconhecidos desta figura ocupam lugares 
diferentes da demonstração. Portanto, é necessário substituí-los.
Comparando com a figura utilizada na demonstração, temos:
c = 13
b = b
m = m
n = n
a = a
altura (h) = 12.
Do triângulo menor, temos:
m² + 12² = 13² (4ª propriedade)
 m² = 169 – 144
m² = 25 
m = √25 
m = 5
Pela 1ª propriedade:
c2 = am
13² = a • 5
169 = 5a
169a
5
=
a = 33,8 
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
17
Pela 2ª propriedade, temos:
h² = mn
12² = 5 • n
144= 5n 
144n
5
=
n = 28,8
Pela 3ª propriedade, podemos escrever:
bc = ah
b • 13 = 33,8 • 12
13b = 405,6
405,6b
13
=
b = 31,2
18
Neste tópico você fez o estudo do triângulo retângulo, partindo dos seus 
elementos até as suas relações. 
RESUMO DO TÓPICO 1
● O quadrado da medida de cada cateto (b e c) é igual ao produto 
da medida de sua projeção (n e m, respectivamente) sobre a 
hipotenusa pela medida da hipotenusa (a).
● O quadrado da medida da altura (h) relativa à hipotenusa é 
igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a 
hipotenusa (m e n). 
● O produto das medidas dos catetos (b e c) é igual ao produto 
da medida da hipotenusa (a) pela medida da altura relativa à 
hipotenusa (h).
● A medida da hipotenusa (a) é igual à soma das medidas das 
projeções dos catetos (m e n) sobre ela.
● O quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos (b e c). 
}
}
}
}
}
b2 = an
c2 = am
h2 = mn
bc = ah
a = m + n
a2 = b2 + c2
19
AUTOATIVIDADE
2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui 
dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm.
3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto 
mede a diagonal desse terreno? (Lembre que a área de uma região 
quadrangular é dada por: Área do Quadrado = (medida do lado)²).
4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as 
medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a 
medida da hipotenusa desse triângulo. 
5 Um triângulo STU, retângulo em ^S , tem catetos com medidas iguais a 5 cm 
e 12 cm. Calcule: 
a) a medida da hipotenusa;
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 3 
e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
7 Calcule, em cada figura, a medida de y.
Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora chegou 
a sua vez de colocar em prática as relações métricas do triângulo retângulo que 
você acabou de estudar.
1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo 
abaixo. 
20
a) b)
c) d)
8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam em 
direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a 
distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais 
rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.
 
9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x + 5,6, n = x e a = 20. 
Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as medidas b, 
c e h indicadas.
10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 cm². 
Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.
21
TÓPICO 2
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No estudo anterior estabelecemos as bases necessárias para a compreensão 
da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria.
 
Neste tópico daremos início ao estudo da Trigonometria, focando as 
relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos 
lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade na 
medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, por exemplo, a altura de 
torres e árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos.
2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considere estes dois triângulos retângulos:
Sabemos que se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes 
congruentes, então os triângulos são semelhantes. Logo, podemos escrever:
a b 
x y =
Dessa proporção deduzimos outra:
b y 
a x=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
22
Ou seja, nos dois triângulos, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° 
e a hipotenusa é o mesmo número.
Vamos fazer o cálculo para descobrir que valor é esse.
 
● No triângulo menor:
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
= x 2,3y 4,6= = 0,5
● No triângulo maior:
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
= x 3,7y 7,4= = 0,5
NOTA
Em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 30°, a razão 
tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. 
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
Vejamos outros exemplos:
1)
• No triângulo menor:
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= x 1
y √2
= 
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
23
Como o denominador desta fração é um número irracional, precisamos 
fazer o processo de racionalização do denominador.
A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração 
com denominador racional, equivalente a anterior, que possua um ou mais radicais 
em seu denominador.
 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os 
termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, 
de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.Neste caso, vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração 
por √2. Observe:
Assim,
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= x 1
y √2
= 
● No triângulo maior:
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= x 2√2 √2y 4 2= = 
Igualmente ao exemplo anterior, podemos observar que em qualquer triângulo 
retângulo com ângulo de 45°, a razão 
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
 tem o mesmo valor √2
 2
, pois 
todos os triângulos nessas condições são semelhantes.
1 2 2 2
22 2 2 2
⋅ = =
⋅
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
24
• No triângulo menor:
● No triângulo maior:
Mais uma vez, podemos observar que em qualquer triângulo retângulo 
com ângulo de 60°, a razão 
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
 tem o mesmo valor, pois todos os 
triângulos nessas condições são semelhantes.
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
= b 3 a = = 2√3
3√3
2√9
= √32 
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
= b a = 
6√3
12
= √32 
Teste você mesmo(a)! Construa outros triângulos retângulos, de mesmo ângulo, 
mas com medidas variadas, veja se a razão 
cateto oposto ao ângulo
 hipotenusa
 é a mesma para todos 
eles. Depois, faça o mesmo com outros ângulos. Experimente estabelecer outras razões.
ATENCAO
Se você realizou a atividade acima, deve ter percebido que a razão entre 
cateto oposto e cateto adjacente e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa 
também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes.
Veja, a seguir, como isto é possível.
2.1 SENO
Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em 
triângulos retângulos é conhecida por seno.
 
Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor 
que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, 
conforme observamos nos exemplos anteriores. 
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
25
Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a₁ da figura a seguir, de 
vértice V e lados VA e VB.
No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,... são todos semelhantes. Logo: 
A₁B₁
 VA₁
A₂B₂
 VA₂
A₃B₃
 VA₃
A₄B₄
 VA₄= = = = ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor de k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
26
Novamente, podemos escrever:
C₁D₁
 OC₁
C₂D₂
 OC₂
C₃D₃
 OC₃
C₄D₄
 OC₄= = = = ... = K₂
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e
 k2, encontramos k1 ≠ k2. Isso ocorre, pois a diferença entre as duas figuras está em 
que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a 
medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – 
depende da medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
seno do ângulo a (sen a). Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 4 - SENO DO ÂNGULO a (SEN a)
sen a = AC
BC
= ba
ou
sen a = medida do cateto oposto a a medida da hipotenusa
Exemplo 1:
Na figura dada, calculemos o valor de sen a:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
27
Resolução:
Inicialmente precisamos calcular a hipotenusa do triângulo.
a² = 8² + 15²
a² = 289
a = √289
a = 17
Então, temos:
Resposta: sen a ≅ 0,47.
 
Exemplo 2:
Vamos calcular o valor de x, sabendo que sen a = 0,8.
Resolução:
Aplicando a razão seno, temos:
sen a = cateto oposto ao ângulo a
 hipotenusa
sen a = 817
sen a ≅ 0,47
sen a = cateto oposto ao ângulo a
 hipotenusa
0,8 = x20
0,8 . 20 = x
x = 16
Resposta: O valor de x é 16 unidades de medida.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
28
A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O termo 
originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado para jiva e então 
transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus do século XII confundiram jiba com 
jaib, que significa “baía”, provavelmente porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na 
escrita arábica.
UNI
2.2 COSSENO
Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos 
definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo cujos 
valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra 
constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno. 
Considere um ângulo de medida a1
 
conforme a figura a seguir, de vértice 
V e lados VA e .
No lado , consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
VB₁, VB₂, VB₃, VB₄,... 
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,.. são todos semelhantes. Logo: 
 VB₁
 VA₁
 VB₂
 VA₂
 VB₃
 VA₃
 VB₄
 VA₄= = = = ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
29
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ..., 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
Novamente, podemos escrever:
 OD₁
 OC₁
 OD₂
 OC₂
 OD₃
 OC₃
 OD₄
 OC₄= = = = ... = K₂
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de 
k1 e k2, encontramos k1≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. 
Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do 
cateto adjacente e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende 
da medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
cosseno do ângulo a (cos a). Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 5 - COSSENO DO ÂNGULO a (COS a)
cos a = AB
BC
= ca
ou
cos a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
30
Exemplo 1: 
Determine cos Ĉ no triângulo retângulo a seguir:
Resolução:
Temos que
Resposta: O cosseno do ângulo C é igual a 0,5.
Exemplo 2:
No triângulo retângulo ABC abaixo, calcule os valores de a e c, sabendo 
que b = 5 cm e cos 60°= 0,5.
cos a = medida do cateto adjacente a a
 medida da hipotenusa
= 510
= 0,5
cos Ĉ
cos Ĉ
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
31
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ABC, temos:
a² = b² + c²
10² = 5² + c²
100 = 25 + c²
100 – 25 = c²
c² = 75
c = √75 
c = 5√3 
Resposta: A medida de a é 10 cm e de c é 5√3 cm.
cos a = medida do cateto adjacente a a
 medida da hipotenusa
= b acos 60°
= 0,5 5
 a
0,5 ∙ a = 5
a = 50,5
a = 10
2.3 TANGENTE
Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo 
(menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida 
do cateto adjacente.
Considere, novamente, um ângulo de medida a1, de vértice V e lados 
VA e VB.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
32
No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4, ... são todos semelhantes. Logo: 
 A₁B₁
 VB₁
 A₂B₂
 VB₂
 A₃B₃
 VB₃
 A₄B₄
 VB₄= = = = ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
Novamente, podemos escrever:
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valoresde k1 e 
k2, encontramos k1 ≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Logo, 
podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto 
oposto e a medida do cateto adjacente de cada triângulo retângulo – depende da 
medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
tangente do ângulo a (tg a). Assim:
 C₂D₂
 OD₂= = = = ... = K₂
 C₁D₁
 OD₁
 C₃D₃
 OD₃
 C₃D₃
 OD₃
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
33
FONTE: A autora
QUADRO 6 – FÓRMULA TANGENTE DO ÂNGULO a (TG a)
tg a = AC
AB
= bc
ou
tg a = 
 medida do cateto oposto ao ângulo α
medida do cateto adjacente ao ângulo α
Exemplo 1:
No triângulo retângulo ABC, a tangente de Ĉ pode ser calculada da 
seguinte maneira:
tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a
medida do cateto adjacente ao ângulo a
= 4 6
= 
tg Ĉ
tg Ĉ 2 3
Logo, a tangente do ângulo C é . 2
 3
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
34
Exemplo 2:
Num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por (x - 
5), x e (x + 5). 
Vamos determinar a tangente do ângulo agudo a, oposto ao menor cateto 
do triângulo.
Resolução:
Primeiramente, vamos fazer um esboço da figura.
Agora, utilizando o teorema de Pitágoras, com a = x + 5, b = x e c = x – 5, temos
Substituindo o valor de x, temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20 
e o cateto oposto ao ângulo a é c = 20 – 5 = 15. Então, utilizando a razão da tangente:
a² = b² + c²
(x + 5)² = x² + (x - 5)²
x² + 10x + 25 = x² + x² - 10x + 25
-x² + 20x = 0
-x(x - 20) = 0
x' = 0
x" = 20
tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a
medida do cateto adjacente ao ângulo a
= 
= 15 20
tg a
tg a 3 4
Assim, a tangente de a é . 3
 4
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
35
É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando estamos 
falando num ângulo a, estamos nos referindo ao próprio ângulo, mas usando sua medida em 
lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, que busca simplificar a linguagem.
UNI
3 ÂNGULOS NOTÁVEIS
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por 
isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente 
desses ângulos.
Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°
Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, vamos 
considerar o quadrado ABCD da figura seguinte.
● Como o ∆ABC é retângulo em ^B, temos:
Assim,
d² = ℓ² + ℓ²
d² = 2ℓ²
d = √2ℓ²
d = √2 ∙ √ℓ²
d = ℓ√2
sen45°=
d
lsen45°=
2
2sen45°=
2 2
2sen45°=
2
⋅




cos45°=
d
cos45°=
2
2cos45°=
2 2
2cos45°=
2
⋅





tg45°=
tg45°=



UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
36
Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°
Consideremos o triângulo equilátero ABC da figura seguinte.
Nesse triângulo observamos que:
• cada ângulo interno mede 60°;
• AH é bissetriz de BÂC;
• AH é mediana relativa ao lado BC; portanto, H é o ponto médio de BC;
• a medida da altura é = ℓ√3
 2
h .
Então, para o ângulo de 30°, podemos escrever:
2tg30°=
h
2
3tg30°
2
2tg30°
2 3
1 3tg30°
3 3
3tg30°
3
=
= ⋅
= ⋅
=





hcos30°=
3
2cos30°
3 1cos30°
2
3cos30°
2
=
= ⋅
=





2sen30°=
1sen30°
2
1sen30°=
2
= ⋅




TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
37
E, para o ângulo de 60°, temos:
Colocando os valores calculados no Quadro 7, temos:
FONTE: A autora
Exemplo 1:
Determine a medida x do triângulo a seguir:
QUADRO 7- TABELA TRIGONOMÉTRICA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen x
1
2
2
2
3
2
cos x 3
2
2
2
1
2
tg x 3
3
1 3
hsen60°=
3
2sen60°= 
3 1sen60°
2
3sen60°
2
= ⋅
=





2cos60°=
1cos60°
2
1cos60°
2
= ⋅
=




h
tg60°=
2
3
2
tg60°
2
3 2tg60°
2
tg60°= 3
=
= ⋅





UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
38
Assim, a medida x do triângulo é 10√2.
Exemplo 2:
A partir de um ponto, observa-se o topo de uma construção sob o ângulo de 
30°. Caminhando 12 metros em direção a essa construção, atingimos outro ponto, 
de onde se vê o topo da construção sob o ângulo de 60°. Desprezando a altura do 
observador, calcule, em metros, a altura da construção.
Resolução:
Ao observarmos a imagem, temos: 
A medida do cateto adjacente ao ângulo de 45° é 10.
A medida da hipotenusa do ângulo de 45° é x.
Deste modo:
cos a = medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa
a
10cos45
x
2 10
2 x
x 2 10 . 2
20 2x= .
2 2
20 2x
2
x 10 2
° =
=
=
=
=
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
39
Resolução:
Se considerarmos o triângulo retângulo ABC, temos: 
x = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°.
y = medida do cateto oposto do ângulo 60°.
E ao considerarmos o triângulo ABD, temos: 
y = medida do cateto oposto ao ângulo de 30°.
x + 12 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 30°.
Comparando as igualdade:
( )
x 3 12 3x 3 
3
3x 3 x 3 12 3
3x 3 x 3 12 3
3x x 3 12 3
2x 3 12 3
12 32x 
2 3
x 6
+
=
= +
- =
- =
=
=
=
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg60
x
y3
x
y x 3
a
a
a
° =
=
=
( )
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg30
x 12
y3
3 x 12
x 12 3
y
3
x 3 12 3y
3
a
a
a
° =
+
=
+
+
=
+
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
40
Portanto, a altura da construção é de 6 3 , aproximadamente 10,39 metros.
4 TABELA TRIGONOMÉTRICA
Como já descrito no Tópico 1, Hiparco de Niceia ganhou o direito de ser 
chamado “o pai da trigonometria”, pois, no século II a.C., fez um tratado em 12 
livros, onde se ocupa da construção de uma tábua de cordas, que utilizou na 
Astronomia. Mas foi Ptolomeu que construiu a primeira tabela de cordas que 
fornece o seno dos ângulos de 0° a 90°, que se assemelha à tabela trigonométrica 
(no quadro 7) que conhecemos hoje.
 Visto que para cada ângulo agudo está associado um único valor para o 
seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos não 
notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma tabela 
trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores.
QUADRO 8 – TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo Seno cosseno tangente Ângulo Seno cosseno tangente
1° 0,017 1,000 0,017 46° 0,719 0,695 1,036
2° 0,035 0,999 0,035 47° 0,731 0,682 1,072
3° 0,052 0,999 0,052 48° 0,743 0,669 1,111
4° 0,070 0,998 0,070 49° 0,755 0,656 1,150
5° 0,087 0,996 0,087 50° 0,766 0,643 1,192
6° 0,105 0,995 0,105 51° 0,777 0,629 1,235
7° 0,122 0,993 0,123 52° 0,788 0,616 1,280
8° 0,139 0,990 0,141 53° 0,799 0,602 1,327
9° 0,156 0,988 0,158 54° 0,809 0,588 1,376
10° 0,174 0,985 0,176 55° 0,819 0,574 1,428
11° 0,191 0,982 0,194 56° 0,829 0,559 1,483
12° 0,208 0,978 0,213 57° 0,839 0,545 1,540
13° 0,225 0,974 0,231 58° 0,848 0,530 1,600
14° 0,242 0,970 0,249 59° 0,857 0,515 1,664
15° 0,259 0,966 0,268 60° 0,866 0,500 1,732
16° 0,276 0,961 0,287 61° 0,875 0,485 1,804
17° 0,292 0,956 0,306 62° 0,883 0,469 1,881
18° 0,309 0,951 0,325 63° 0,891 0,454 1,963
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
41
19° 0,326 0,946 0,344 64° 0,899 0,438 2,050
20° 0,342 0,940 0,364 65° 0,906 0,423 2,145
21° 0,358 0,934 0,384 66° 0,914 0,407 2,246
22° 0,375 0,927 0,404 67° 0,921 0,391 2,356
23° 0,391 0,921 0,424 68° 0,927 0,375 2,475
24° 0,407 0,914 0,445 69° 0,934 0,358 2,605
25° 0,423 0,906 0,466 70° 0,940 0,342 2,747
26 0,438 0,899 0,488 71° 0,946 0,326 2,904
27° 0,454 0,891 0,510 72° 0,951 0,309 3,078
28° 0,469 0,883 0,532 73° 0,956 0,292 3,271
29° 0,485 0,875 0,554 74° 0,961 0,276 3,487
30° 0,500 0,866 0,577 75° 0,966 0,259 3,732
31° 0,515 0,857 0,601 76° 0,970 0,242 4,011
32° 0,530 0,848 0,625 77° 0,974 0,225 4,332
33° 0,545 0,839 0,649 78° 0,978 0,208 4,705
34° 0,559 0,829 0,675 79° 0,982 0,191 5,145
35° 0,574 0,819 0,700 80° 0,985 0,174 5,671
36° 0,588 0,809 0,727 81° 0,988 0,156 6,314
37° 0,602 0,799 0,75482° 0,990 0,139 7,115
38° 0,616 0,788 0,781 83° 0,993 0,122 8,144
39° 0,629 0,777 0,810 84° 0,995 0,105 9,514
40° 0,643 0,766 0,839 85° 0,996 0,087 11,430
41° 0,656 0,755 0,869 86° 0,998 0,070 14,301
42° 0,669 0,743 0,900 87° 0,999 0,052 19,081
43° 0,682 0,731 0,933 88° 0,999 0,035 28,636
44° 0,695 0,719 0,966 89° 1,000 0,017 57,290
45° 0,707 0,707 1,000
FONTE: A autora
Outra opção para encontrar os valores trigonométricos é através do uso 
de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sin (seno), cos (cosseno) e 
tan (tangente). 
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
42
medida do cateto oposto ao ângulo tg 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
htg72
25
h3,078
25
 h 25 . 3,078
 h= 76,95
a
a =
a
° =
=
=
Exemplo 1:
Considere o triângulo ABC isósceles. Sabendo que a base mede 50 cm e que 
cada ângulo da base mede 72°, determine a medida h da altura relativa à base.
Resolução:
Se considerarmos o triângulo retângulo AHC, temos: 
h = cateto oposto ao ângulo de 72°.
25 = cateto adjacente ao ângulo de 72°.
Dessa maneira, temos:
Logo, a altura do triângulo é de 76,95 cm.
Exemplo 2:
Observando a figura e utilizando a Tabela Trigonométrica calcule os valores 
solicitados a seguir:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
43
medida do cateto oposto ao ângulo sen 
hipotenusa
4,1sen
5,6
sen 0,732
a
a =
a =
a =
a) a medida do ângulo a
b) cos a
c) tg a 
Resolução:
a)
Considerando o triângulo retângulo, temos: 
4,1 = cateto oposto ao ângulo a.
5,6 = hipotenusa.
A relação trigonométrica que utiliza as medidas do cateto oposto e da 
hipotenusa é o seno, assim:
Consultando a Tabela Trigonométrica (no Quadro 8), podemos observar 
que o valor 0,732 na coluna dos senos corresponde, aproximadamente, ao seno do 
ângulo de 47°. Assim, a = 47°.
b) Portanto, o cosseno do ângulo de 47° é 0,682.
c) E a tangente do ângulo de 47° é 1,072.
44
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
medida do cateto adjacente ao ângulo cos = 
hipotenusa
medida do cateto oposto ao ângulo tg
medida do cateto adjacente ao ângulo 
a
a =
a
a
a
a =
a
Neste tópico você fez o estudo das razões trigonométricas (seno, cosseno 
e tangente) no triângulo retângulo, bem como aprendeu a utilizar a tabela 
trigonométrica na resolução de problemas.
É importante saber as razões até aqui estabelecidas:
RESUMO DO TÓPICO 2
O uso da tabela de ângulos notáveis é bastante requerida em vestibulares e 
também são os ângulos que mais aparecem em questões do cotidiano.
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen x
1
2
2
2
3
2
cos x 3
2
2
2
1
2
tg x 3
3
1 3
45
AUTOATIVIDADE
Caro(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre 
razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Boa atividade!
1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do 
barco sob um ângulo de 10°, calcule sua altura.
2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60°. Determine 
o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a uma distância 
de 1,5 m do chão.
3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa 
de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25°. Qual é a distância do solo ao 
primeiro pavimento?
4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que 
o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60°, calcule o 
comprimento da linha.
5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de sol 
que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77°. 
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 279) Deseja-se construir 
uma estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de 
margens paralelas, como nos mostra o esquema abaixo.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279)
FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES A E B, SEPARADAS 
POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS
Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a cidade B está a 
18 km da margem o rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A 
até B, pela estrada, em quilômetros? (Desconsidere a largura da estrada.)
46
7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de um 
shopping e tem inclinação de 45°. Qual é, em metros, a altura h entre um 
andar e outro desse shopping?
8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo:
 a) b) c)
9 (FACCHINI. 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha do 
horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual é a 
altura dessa árvore?
10 (CASTRUCCI, GIOVANNI Jr., 2009 p. 280) A escada de um carro de 
bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada 
a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, 
a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá 
alcançar em relação ao solo?
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 280)
FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS
47
TÓPICO 3
TRIGONOMETRIA EM UM 
TRIÂNGULO QUALQUER
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nos tópicos anteriores vimos que os problemas envolvendo trigonometria 
são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano, 
nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem envolver 
outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo obtusângulo.
Para esses casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que 
veremos a seguir.
Para lembrar:
• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do que 90°. 
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou seja, um 
ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.
NOTA
2 LEI DOS SENOS
Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir:
48
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Onde:
• a, b e c são as medidas dos lados;
• h1 é a medida da altura AH₁;
• h2 é a medida da altura CH₂.
Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1.
No triângulo retângulo ABH1, temos:
A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^B = 1h
c
 
 h₁ = c ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^C = 1h
b 
 h₁ = b ∙ sen ^C
Comparando, podemos escrever:
c ∙ sen ^B = b ∙ sen ^C
ou,
1) 
 c b
sen ^C sen ^B
=
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
49
A seguir, consideremos os triângulos retângulos BCH2 e ACH2:
No triângulo retângulo BCH2, temos:
A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH2:
Comparando, podemos escrever:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^B = 2h
a 
 h₂ = a ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^A = 2h
b 
 h₂ = b ∙ sen ^A
a․sen ^B = b․sen ^A
ou,
2) 
 a b
sen ^A sen ^B
=
Comparando 1 e 2, temos a seguinte igualdade:
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
50
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Essa igualdade é denominada Lei dos Senos.
FONTE: A autora 
Exemplo 1
Determine a medida x indicada no triângulo acutângulo a seguir:
QUADRO 9 – LEI DOS SENOS
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Resolução:
No triângulo, identificamos
a = x
 = 45°
c = 11 cm
Ĉ = 30°
Usando a lei dos senos, temos:
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
51
Portanto, a medida x encontrada é 11√2 cm.
Exemplo 2:
Em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto à base 
mede 120°. Determine a medida dos lados congruentes do triângulo.
Resolução:
No triângulo, identificamos
a = 9 cm
 = 120° (O seno do ângulo de 120° pode ser encontrado através de calculadoras.)
b= c = x
^B = ^C = 30°
= a csen senĈ
 x 11
sen45° sen30°
 x 11
√2 1
 2 2 
 
 11 . √2
 2
 1
 2
2 2x 11 . .
2 1
=
 
 x ₌ 11√2
 
x =
=
=
52
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Usando a lei dos senos, temos:
Cada um dos lados congruentes mede 3√3cm.
 a c
sen senĈ
 9 x
sen120° sen30°
9 . sen30x
sen120
19 . 
2x
3
2
1 2x 9 . . 
2 3
9 3x .
3 3
9 3x
3
x 3 3
°
=
°
=
=
=
=
=
=
=
3 LEI DOS COSSENOS
Consideremos o triângulo acutângulo ABC:
Temos:
• a,b e c são as medidas dos lados do triângulo;
• h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo;
• BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;
• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
53
No triângulo retângulo ABH, aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
c² = h² + m²
h² = c² – m²
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH, obtemos:
b² = h² + n²
h² = b² – n²
Comparando as igualdades, temos:
b² - n² = c² - m²
b² = c² – m² + n²
Sabendo que a = m + n, podemos substituir n por a - m:
b² = c² – m² + (a – m)²
b² = c² – m² + a² - 2am + m²
b² = a² + c² – 2am
Do triângulo retângulo ABH, temos:
Então
b² = a² + c² – 2a(c ∙ cos ^B )
E assim:
A demonstração é análoga para a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos e para 
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ.
Obtemos, então, a lei dos cossenos:
medida do cateto oposto ao ângulo cos = 
hipotenusa
a
a
cos ^B = m
c 
 m = c ∙ cos ^B
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
54
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
FONTE: A autora
Exemplo 1:
Calcule a medida y indicada no triângulo a seguir:
QUADRO 10 – LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = y, c = 8 e ^B = 60°, temos:
Logo, a medida y encontrada é 4√7 cm.
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
y² = 12² + 8² – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ cos60°
y² = 144 + 64 – 192 ∙ 1
 2
y² = 208 – 96
y² = 112
y = √112
y = 4√7
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
55
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = x, c = 16 e ^B = 120°, no 
triângulo obtusângulo ABC da figura, temos:
Exemplo 2:
Determine a medida x da diagonal maior do paralelogramo a seguir:
Resposta: A medida x da diagonal maior é 4√37cm.
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
y² = 12² + 16² – 2 ∙ 12 ∙ 16 ∙ cos120°
y² = 144 + 256 – 384 ∙ 1
2
 
- 
 
2
2
y 400 192
y 592
y 592
y 4 37
= +
=
=
=
56
Neste tópico ampliamos os conceitos utilizados inicialmente no triângulo 
retângulo para os demais triângulos: acutângulo e obtusângulo.
É importante lembrar-se das relações aqui estabelecidas:
● Lei dos Senos
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
● Lei dos Cossenos
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
RESUMO DO TÓPICO 3
57
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à 
averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes 
construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. 
A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada 
excelente atividade física.
FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA À 
CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)
Sabendo que as distâncias AB e AC são iguais a 2 m e o ângulo BÂC corresponde 
a 120°, calcule a distância BC.
2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no Quadro 8) e calcule os valores 
aproximados de x.
a) b)
c)
58
3 (GIOVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 2002, p. 55) Um 
barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido 
por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo 
que os ângulos A ^BC e AĈB medem, respectivamente, 64° e 50°, 
determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco. A que 
distância ele está do barco? 
4 O ângulo agudo de um losango mede 20° e seus lados medem 6 cm. Calcule 
as medidas das diagonais (maior e menor) do losango. 
5 Num triângulo ABC, são dados A = 45°, B = 30° e a + b = √2 + 1. Determine o 
valor de a.
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m 
distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias 
da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra a figura a 
seguir, calcule as medidas x e y indicadas.
FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA
7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos  = 1_
5
. Nessas condições, calcule o 
valor de x.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 286)
59
TÓPICO 4
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA
2.1 ARCOS E ÂNGULOS
Nos tópicos anteriores estudamos algumas razões trigonométricas 
definidas para ângulo agudo no triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há 
milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Agora, vamos fazer um 
estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, que é uma necessidade 
mais recente da matemática.
 
Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições 
necessárias e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para 
um novo “ambiente”, denominado de circunferência trigonométrica ou ciclo 
trigonométrico.
Portanto, neste tópico veremos conceitos necessários para este novo estudo, 
que, por sua vez, servirá de base para a nossa próxima unidade.
Primeiramente, vamos elucidar alguns conceitos básicos da geometria 
necessários para a compreensão da Circunferência Trigonométrica.
2.1.1 Arcos
Consideremos uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois 
pontos distintos sobre ela, A e B. Note que os pontos A e B, que são extremidades 
dos arcos, dividem a circunferência em duas partes, sendo que cada uma delas 
chama-se arco da circunferência.
Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a circunferência no 
sentido anti-horário.
60
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Quando as extremidades A e B coincidem, temos um arco de uma volta ou 
um arco nulo.
Se A e B são extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de 
meia-volta.
Portanto, definimos:
FONTE: A autora
Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência 
fica dividida por dois de seus pontos.
QUADRO 11 – DEFINIÇÃO DE ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
61
2.1.2 Ângulo central
Consideremos, novamente, uma circunferência de centro O e os pontos A 
e B pertencentes a ela. Traçando as semirretas OA
→
 e OB
→
, determinamos o ângulo 
central AÔB e o arco 
(
AB.
A medida do arco 
(
AB corresponde à medida do ângulo central AÔB e 
vice-versa.
2.2 GRAU E RADIANO
2.2.1 Grau
Grau e radiano são unidades de medida de arcos e ângulos.
Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos 
congruentes e cada um desses arcos é chamado de arco de um grau (1°).
Portanto, a circunferência é um arco de 360°.
Os submúltiplos do Grau
Quando dividimos um arco de 1° em 60 arcos congruentes, cada um desses 
novos arcos é denominado de arco de um minuto (1´).
62
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Da mesma maneira, quando dividimos um arco de 1´ em 60 arcos 
congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um segundo 
(1´´).
Portanto, 1° = 60´ e 1´= 60´´.
Se um arco tiver x graus, y minutos e z segundos, escrevemos:x° y´z´´
NOTA
2.2.2 Radiano
Tomamos, inicialmente, uma circunferência de centro O e raio r e; nessa 
circunferência, um arco de comprimento p, sendo a a medida do ângulo central 
correspondente a esse arco.
Dizemos que o arco mede 1 radiano (1 rad) se seu comprimento p foi igual 
ao comprimento r do raio. O ângulo central correspondente será, também, um 
ângulo de 1 radiano.
p = r <=>{p = 1 rada = 1 rad
Então, para sabermos a medida de um arco em radianos, basta calcular 
quantas vezes o raio de medida r “cabe” nesse arco de comprimento p. Isso pode 
ser obtido quando dividimos p por r.
Simbolicamente,
p
ra ₌
Quando o arco p é um arco de uma volta, então p é o comprimento C da 
circunferência. Como C = 2πr, temos:
a ₌ p ₌ 2πr ₌ 2π
 r r
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
63
Portanto, a circunferência é um arco de 2π rad. E, como o ângulo de uma 
volta tem 360°, então:
2π rad = 360° ⇔ π rad = 180°
Exemplo 1:
Expressar 22° 30’ em radianos.
Resolução:
Vamos transformar 22° 30’ em minutos:
22° 30’ = 22 • 60’ + 30 = 1320’ + 30’ = 1350’
Vamos transformar 180° em minutos:
180° = 180 • 60 = 10800’
Estabeleçamos, portanto, a seguinte proporção:
Logo, 22° 30’ correspondem a π
8
 radianos.
Exemplo 2:
Um ciclista fez 6 voltas em torno de uma pista circular, com o raio medindo 
18 m. Determine a distância percorrida pela bicicleta. (Use π = 3,14).
Resolução:
O comprimento da circunferência é dado por: 
C = 2πr
C = 2 • 3,14 • 18 
C = 113,04 m 
Em 6 voltas, temos:
d = 6C 
d = 6 • 113, 04
d = 678,24 m 
Logo, a distância percorrida pela bicicleta foi de 678,24 m.
10800' π rad
1350' x
10800
1350 x
8x
x
8
π
=
= π
π
=
64
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Exemplo 3:
Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 8h20min. (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 249).
Resolução:
Vamos considerar: 
a = medida do ângulo solicitado.
x = medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 minutos, a 
partir das 8h.
E assim,
a = x + 120°
a = 10° + 120°
a = 130°
Que a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede 360 30
12
°
= ° .
Assim, a = x + 120°.
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°:
60 min → 30°
20 min → x
60 30
20 x
30 . 20x
60
x 10
°
=
°
=
= °
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
65
Existe outra unidade de medida de ângulos além das que abordamos. O Grado 
é uma unidade de medida de ângulos equivalente a 
 π
200
 
radianos ou 0,9 grau. O símbolo 
internacional para esta unidade é “gon”, mas outros símbolos já foram usados no passado: “gr”, 
“grd” e “g”. O termo “grado” tem origem no francês, grade, e embora utilizado por alguns países, 
ele não faz parte do sistema internacional de unidades.
ATENCAO
Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco 
se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro 
pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu 
na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico, foi um tratado escrito 
por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua.
A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe 
qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a 
existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu 
entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de 
terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia, 
assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeístas) e, para 
viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 
(sistema sexagesimal).
Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais foi escolhido o número 
360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos 
números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores 
distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este 
número tenha sido adotado.
O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles 
(180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma 
generalização de Hiparco para este procedimento.
Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os 
especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para 
representar 1/6 do total, que passou a ser 360.
Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o 
movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período 
de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época. 
2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano
66
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, 
sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.
Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base 60) tenha 
influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, assim como a 
divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão 
de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é 
que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As 
frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram 
traduzidas como:
“primeiras menores partes” = sexagésimos
“segundas menores partes” = sexagésimos de sexagésimos
Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua 
internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:
“primeiras menores partes” = partes minutae primae.
“segundas menores partes” = partes minutae secundae.
De onde apareceram as palavras minuto e segundo. De um modo popular, 
usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos. 
Na verdade, a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o 
radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o 
físico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade, o termo radian 
apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873. 
Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos 
para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma 
lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.( VIANA; TOFFOLI; 
SODRE, 2010).
3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Denomina-se circunferência trigonométrica (ou circunferência unitária) a 
circunferência orientada cujo raio é 1 unidade de comprimento e na qual o sentido 
positivo é o anti-horário.
Vamos associar à circunferência unitária de centro na origem O(0,0) 
um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A, com 
coordenadas em (0,1), como origem dos arcos, conforme a figura a seguir.
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
67
Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes 
(quadrantes), numerados de 1 a 4 a partir de OA, no sentido positivo.
Dizemos que um ponto do ciclo pertence ao primeiro quadrante se estiver 
entre A e B; ao segundo se estiver entre B e A’; ao terceiro se estiver entre A’ e B’; 
e ao quarto se estiver entre B’ e A.
Portanto, um arco AP do ciclo trigonométrico, de medida x, com 0° ≤ x ≤ 
360° ou 0 rad ≤ x ≤ 2π rad, tem a extremidade P pertencente a um dos quadrantes 
segundo as desigualdades:
68
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Como no ciclo trigonométrico o raio é unitário, então a = p, ou seja, a medida 
a do arco ou do ângulo central corresponde, em radianos, ao comprimento p do arco.
Assim, podemos associar a cada número real a um único arco 
(
AP, de 
origem A e extremidade P, e vice-versa.
P є 1º Quadrante se 0° < x < 90° ou 0 rad < x < π rad
 2
P є 2º Quadrantese 90° < x < 180° ou π rad < x < π rad
 2
P є 3º Quadrante se 180° < x < 270° ou π rad < x < 3π rad
 2
P є 4º Quadrante se 270° < x < 360° ou 3π rad < x < 2π rad
 2
• Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados 
pontos dos quadrantes.
• Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência unitária, temos:
-1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1.
NOTA
3.1 ARCOS CONGRUENTES
Dois arcos são congruentes ou côngruos quando possuem a mesma 
extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras, ou seja, em 
múltiplos de 2π, que corresponde ao comprimento de cada volta.
Como exemplo, vamos representar os arcos de 45°, 405°, 765°, -315° e -675° 
no ciclo trigonométrico:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
69
Note, pelas figuras, que todos têm a mesma origem e a mesma extremidade, 
ou seja, são côngruos. Perceba, também, que eles se diferem apenas pelo número 
de voltas completas, pois 
• 45° + 360° = 405°;
• 45° + 2 • 360° = 765°;
• 45° - 360° = -315°;
• 45° - 2 • 360° = -675°.
 
Podemos representar o arco de 45°, bem como todos seus arcos côngruos, 
pela expressão 45° + k • 360°, com k є Z, sendo k o número de voltas completas.
Pelo exposto, podemos definir:
FONTE: A autora
QUADRO 12 - DEFINIÇÃO DE ARCOS CÔNGRUOS OU CONGRUENTES 
Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e 
diferem apenas pelo número de voltas inteiras. 
Assim:
• Se um arco mede a graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele pela 
expressão a + k • 360°, onde k є Z.
• Se um arco mede a radianos, podemos escrever todos os arcos côngruos a ele 
pela expressão a + k • 2πrad, onde k є Z.
70
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Exemplo 1:
Determine em qual quadrante situam-se as extremidades dos seguintes 
arcos:
a) 72°
Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 72° < 90°.
b) 1280°
Resolução: 1280° = 200° + 3 • 360°
Resposta: 3º quadrante, pois 180° < 200° < 270°. 
c) - 300°
Resolução: Como este arco está na primeira volta negativa, basta fazer - 300° + 360° = 60°.
Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 60° < 90°.
3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO
Se um arco mede a graus, então um arco β é chamado de determinação 
principal de a ou de 1ª determinação positiva de a se:
• 0° ≤ β < 360° ou 0 rad ≤ β < 2π
• β é côngruo a a.
Exemplo 1:
Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos 
ao arco de 1690°.
Resolução:
1690° = 250° + 4 • 360° 
Onde: 
250° = 1ª determinação positiva 
4 = número de voltas completas 
Portanto, a 1ª determinação positiva é 250° e a expressão geral é a = 250° + k • 360°, k є Z.
 
Exemplo 2:
Calcular a determinação principal e escrever a expressão geral dos arcos côngruos 
a 25π
 4
 rad.
Resolução:
Basta dividirmos 25π
 4
 rad por 2π rad. Assim:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
71
Onde:
π
4
 rad = 1ª determinação positiva 
3 = número de voltas completas 
Portanto, a 1ª determinação positiva é π
4
 rad e a expressão geral é a = π
4
 rad + 
k • 2π, k є Z.
25π
 4 ₌ 25π . 1 ₌ 25π ₌ 25 ₌ 3 + 1
 2π 4 2π 8π 8 8 
 Portanto,
 
25 13 . 2
4 8
25 13 2 2
4 8
25 3 2
4 4
π π
π π π
π ππ
 
= + 
 
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +
3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA 
TRIGONOMÉTRICA
Até agora, operamos com os valores de sen x, cos x e tg x no triângulo 
retângulo, onde x representa a medida de um ângulo agudo. Mas o que acontece 
se x for a medida de um ângulo superior a 90°?
Para responder a esta questão, é preciso ampliar os conceitos estudados no 
triângulo retângulo, levando-os à circunferência trigonométrica.
3.3.1 Seno
Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco 
(
AP cuja medida 
corresponde ao ângulo central x e o segmento OP', que é a projeção do raio OP
sobre o eixo das ordenadas (eixo vertical), conforme a figura a seguir:
72
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
O eixo vertical, suporte de OP', é denominado eixo dos senos.
Definimos como seno do arco 
(
AP ou sen x a medida de OP' e indicamos:
senx = OP'
Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente 
para o triângulo retângulo.
OP' ₌ sen x
De fato, se considerarmos o triângulo OPP' da figura acima, veremos 
que med(OPP') ₌ x^ , pois OPP'^ e AÔP são ângulos alternos internos, e PP' // OA
→← →←
. 
Aplicando a definição anterior, temos:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
OP'senx
OP
OP'sen
1
senx OP'
=
=
=
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
73
Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de seno 
em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.
Valores importante de sen x
Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π
 2
 rad, π rad, 3π
 2
 
rad e 2π rad, temos:
QUADRO 13 - VALORES IMPORTANTES DE SEN X
FONTE: A autora
Vimos, anteriormente, que 1 2 3sen30 , sen45 = e sen60 =
2 2 2
° = ° ° , e que esses 
valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos.
Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos 
em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os 
valores de outros ângulos, também muito utilizados.
74
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta forma, podemos relacionar o seno de um arco de qualquer quadrante 
com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma Redução ao 1º 
Quadrante.
Do exposto, podemos dizer que:
• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos 
suplementares x e 180° - x têm senos iguais, ou seja, 
sen (180° – x) = sen x ou sen (π– x) = sen x;
• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x 
têm senos simétricos, ou seja, 
sen (180° + x) = -sen x ou sen (π + x) = -sen x;
• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm 
senos simétricos, ou seja, 
sen (360° – x) = -sen x ou sen (2π – x) = -sen x.
0
3
2
-
3
2
2-
2
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
75
Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever:
sen (360° – x) = sen (-x) = -sen x.
Exemplo 1:
Calcule sen 1830°.
Resolução: 
Calculando a 1ª determinação positiva, temos: 
1830° = 30° + 5 • 360°
Onde:
30° corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta;
5 é o número de voltas completas;
Então, sen 1830° = sen 30° e portanto, sen 1830° = 
1_
2
.
Exemplo 2:
Calcule sen 5π.
5π = π + 2 • 2π
Onde:
π corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta;
2 é o número de voltas completas;
Assim, sen 5π = sen π e, portanto, sen 5π = 0.
3.3.2 Cosseno
Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco 
(
AP cuja medida 
corresponde ao ângulo central x e o segmento OP", que é a projeção do raio OP 
sobre o eixo das abscissas (eixo horizontal).
76
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
medida do cateto adjacente ao ângulo cos =
hipotenusa
OP''cosx
OP
OP''cosx
1
cosx OP''
a
a
=
=
=
O eixo horizontal, suporte de OP", é denominado eixo dos cossenos.
Definimos como cosseno do arco 
(
AP ou cos x a medida de OP e indicamos:
cos x = OP"
Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente 
para o triângulo retângulo.
De fato, se considerarmos o triângulo OPP" da figura acima, veremos que 
med(OPP") = x e, aplicando a definição anterior, temos:
OP" ₌ cos x
Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de cosseno 
em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.
Valores importantes de cos x
Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π
 2
 rad, π rad, 
 3π
 2
 rad e 2π rad, temos:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
77
QUADRO 14 - VALORES IMPORTANTESDE COS X
FONTE: A autora
Vimos, anteriormente, que 3 2 1cos30 , cos45 = e cos60 =
2 2 2
° = ° ° , e que esses 
valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos.
Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos 
em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os 
valores de outros ângulos, também muito utilizados.
3-
2
3
2
2-
2
2
2
78
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta forma, podemos relacionar o cosseno de um arco de qualquer 
quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma 
Redução ao 1º Quadrante.
Do exposto, podemos dizer que:
• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos 
suplementares x e 180° - x têm cossenos simétricos, ou seja, 
cos (180° – x) = -cos x ou cos (π – x) = -cos x;
• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x 
têm cossenos simétricos, ou seja, 
cos (180° + x) = -cos x ou cos (π + x) = -cos x;
• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm 
cossenos iguais, ou seja, 
cos (360° – x) = cos x ou cos (2π – x) = cos x.
Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever:
cos (360° – x) = cos (-x) = cos x.
Exemplo 1: 
Calcule cos 13π.
Resolução:
13π = π + 6 • 2π
A 1ª determinação do ângulo é π. Portanto, cos 13π = cos π e cos 13π = -1.
Exemplo 2:
Calcule cos 120°.
1
2
1-
2
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
79
Resolução: 
Como a extremidade de um arco de 120° pertence ao segundo quadrante, 
usamos a redução do segundo quadrante para o primeiro:
cos x = -cos (180° – x)
cos 120° = -cos (180° - 120°)
cos 120° = -cos 60°
cos 120° = _ 1
 2
Exemplo 3: 
Simplifique a expressão B = sen (900° – a) + cos (1980° + a) + sen (1440° – a).
Resolução:
Sabemos que: 
900° = 180° + 2 • 360°
1980° = 180° + 5 • 360°
1440° = 4 • 360° = 0° + 4 • 360°
Logo:
sen (900° – a) = sen (180° – a) = sen a
cos (1980° + a) = cos (180° + a) = -cos a
sen (1440° – a) = sen (360° – a) = -sen a
 
Substituindo na expressão, temos:
B = sen a – cos a - sen a
B = -cos a
Assim, pode-se simplificar a expressão escrevendo B = -cos a.
3.3.3 Tangente
Consideremos, na circunferência trigonométrica, o arco 
(
AP cuja medida é 
x, sendo o eixo com origem no ponto A, vertical e orientado para cima, e o ponto 
T, que é a intersecção deste eixo com a reta suporte do raio OP.
80
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
O eixo vertical, suporte de AT, é denominado eixo das tangentes.
Definimos como tangente do arco 
(
AP ou tg x a medida de AT e indicamos:
tgx = AT
Perceba que o ponto T só existe se P ≡ B e P ≡ B'. Como B e B’ são 
extremidades de arcos da forma π + k . π
2
, k є Z, então a tangente de x só é definida 
se x є R e x ≠ π + k . π
2
, k є Z.
Veja que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente 
para o triângulo retângulo.
De fato, se considerarmos o triângulo OAT da figura acima, veremos que 
med (AÔT) = x e, aplicando a definição anterior, temos:
Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores da tangente 
em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.
Valores importantes de tg x
medida do cateto oposto ao ângulo tg
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ATtgx
OA
ATtgx
1
tgx AT
a
a =
a
=
=
=
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
81
Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π
 2 
rad, π rad, 3π
 2rad e 2π rad, temos:
QUADRO 15 - VALORES IMPORTANTES DE TG X
FONTE: A autora
Vimos, anteriormente, que 3tg30 , tg45 =1 e tg60 = 3
2
° = ° ° , e que esses 
valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos.
Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos 
em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os 
valores de outros ângulos, também muito utilizados.
82
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta forma, podemos relacionar a tangente de um arco de qualquer 
quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos efetuando uma 
Redução ao 1º Quadrante.
Do exposto, podemos dizer que:
• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: 
tg (180° – x) = -tg x ou tg (π – x) = -tg x;
• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: 
tg (180° + x) = tg x ou tg (π + x) = tg x;
• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: 
tg (360° – x) = -tg x ou tg (2π – x) = -tg x.
Exemplo 1:
Determine o valor da tangente de um arco de 120°.
Resolução:
Fazendo a redução ao 1º Quadrante:
tg x = -tg (180° – x)
tg 120° = -tg (180° – 120°)
tg 120° = -tg 60°
tg 120° = – √3 
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
83
25
25 1 25 1 24 13 . 4
2 3 2 6 6 6
π
π +
= = = = +
π π
Assim,
25 1 4 . 2
3 6
25 1 2 4 2
3 6
25 4 2
3 3
25Logo, tg tg 3.
3 3
π π
π π π
π π π
π π
 
= + 
 
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
= =
LEITURA COMPLEMENTAR
COMO MEDIR DISTÂNCIAS NO ESPAÇO
José Roberto V. Costa
Hiparco e a distância da Lua
Para medir a distância da Terra à Lua, Hiparco (190-120 a.C.) não precisou 
nem mesmo do diâmetro da Terra. Ele imaginou uma geometria com a qual, 
durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exatamente entre o Sol e a 
Lua, seria possível calcular a distância da Terra à Lua.
Hiparco foi um dos maiores astrônomos gregos e entre suas muitas 
contribuições estão os fundamentos da trigonometria. Aliás, sua construção 
geométrica baseia-se justamente na medida de ângulos.
Acompanhe o diagrama a seguir. Hiparco imaginou dois triângulos 
retângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e 
lunares, por ocasião de um eclipse da Lua.
Exemplo 2:
Determine o valor da tangente de um arco de 25π
 3
 rad.
Resolução:
Calculando a 1ª determinação,
84
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Podemos notar que a duração de um eclipse lunar é equivalente a duas 
vezes o ângulo d. Vamos escrever nossa primeira equação: 2 • d = T1. O período 
orbital da Lua, ou seja, o tempo que ela gasta para completar uma volta (360°) em 
torno da Terra já era conhecido.
Vamos representá-lo como T2 e escrever a segunda equação: 360 = T2. Como 
podemos medir o tempo T1, a única variável é d, obtida com as duas equações 
numa regra de três simples e direta.
O ângulo c é chamado semidiâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo 
pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a é tão pequeno que pode ser desprezado, 
ele representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.
Dos estudos de trigonometria básica extraímos a propriedade pela qual a + 
b = c + d. Como a é muito pequeno, basta-nos escrever b = c + d.
A engenhosa geometria que Hiparco utilizou para medir a distância
Terra-Lua é trivial para qualquer bom aluno do Ensino Médio.
Mas o que Hiparco queria mesmo era X, você concorda? Note que o seno 
de b será R
X
. Se ele calculasse b obteria o seu seno, consultando as velhas tábuas 
trigonométricas.
Sol, Terra e Lua não estão em escala
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
85
Sobraria R, o raio da Terra. Hiparco também poderia expressar o resultado 
como uma função de R, isto é, quantos raios da Terra existem até a Lua – o que já 
seria um excelente resultado.
O resultado de Hiparco foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real 
fica entre 57 e 64, mas seu erro é justificável face à precisão requerida nas medidas 
angulares. Acima de tudo, que método elegante, que conclusão arrebatadora!
COSTA, J. R. V. Hiparco e a distância da Lua. Disponível em: <http://www.zenite.nu/>. Acesso em: 
26 maio 2010.
86
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico revemos alguns conceitos da geometria na circunferência, 
que auxiliaram na compreensão dos conceitos de seno, cosseno e tangente, 
quando ampliados à circunferência unitária.
1 O grau e seus submúltiplos (minutos e segundos):
 1° = 60’ 
 1´= 60’’
 1° = 3600’’ 
2 Grau e radiano:
 2π rad = 360° ⇔ π rad= 180°
3 Ciclo trigonométrico (raio = 1):
4 Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e se 
diferem apenas pelo número de voltas inteiras. Podemos expressar por: a + k • 
360°, onde k є Z, ou por a + k • 2π, onde k є Z.
5 Valores notáveis de seno, cosseno e tangente:
87
FONTE: A autora
QUADRO 16 – VALORES NOTÁVEIS DE SENO, COSSENO E TANGENTE
x sen x cos x tg x x sen x cos x tg x
0 0 1 0 π2 = 90° 1 0
Não é 
definida
π
6 = 30°
1
2
√3
 2
√3
 3 π = 180° 0 -1 0
π
4 = 45°
√2
 2
√2
 2
1 3π 2 -1 0
Não é 
definida
π
3 = 60°
√3
 2
1
2 √3 2π = 360° 0 1 0
88
a) rad
2
11b) rad
6
5c) rad
4
8d) rad
3
π
π
π
π
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à 
averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 Converta em radianos: 
a) 1040°
b) 156° 
c) 210°
d) 15° 52’ 
2 Determine a medida, em graus, equivalente a:
AUTOATIVIDADE
3 Calcule, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de 
um relógio, nos seguintes casos:
 
a) 2h 15min
b) 9h 10min
4 Determine, em radianos, a medida de um arco de circunferência cujo 
comprimento mede 60 m e o diâmetro dessa circunferência, 40 m.
5 Determine os quadrantes a que pertencem as extremidades dos seguintes arcos:
a) 20°
b) 1430°
c) – 550°
d) 25 rad
4
π
e) 11 rad
4
π
-
89
6 Identifique se os seguintes arcos são congruentes:
a) 19π e 55π
b) 3645° e 5445°
7 Calcule a determinação principal dos arcos de medida: 
a) 4120°
b) – 4550°
c) 47 rad
6
π
d) 67 rad
6
π
8 Dê os valores de seno e cosseno dos seguintes arcos:
a) 390°
b) 10305°
c) 3π rad
d) 15 rad
2
π
9 Simplifique a expressão , sen(180 x) cos(180 x)E
sen(360 x)
° - + ° +
=
° -
com 
sen(360° - x) ≠ 0.
10 Determine o valor da tangente dos seguintes arcos:
a) tg 135°
b) tg 210°
c) 5tg rad
6
π
d) 4tg rad
3
π
90
91
UNIDADE 2
TRIGONOMETRIA: PARTE II
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos:
• construir conhecimentos sobre os conceitos algébrico e gráfico das funções 
trigonométricas e suas relações; 
• resolver equações e inequações trigonométricas; 
• efetuar operações e verificar identidades trigonométricas;
• aplicar as fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos.
Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. Ao término de cada 
um deles você encontrará atividades que o (a) auxiliarão na interiorização 
dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.
TÓPICO 1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS 
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
TÓPICO 3 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
92
93
TÓPICO 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
E SUAS INVERSAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na unidade anterior aprendemos como obter valores de senos, cossenos e 
tangentes para números reais. Agora, iremos defini-los em um plano cartesiano, 
desta forma recebem o nome de funções trigonométricas. Portanto, neste tópico 
estudaremos as funções seno, cosseno e tangente, bem como suas recíprocas: 
cotangente, secante e cossecante.
O primeiro indício da utilização de funções na trigonometria foi em 1635, 
quando Gilles Personne de Roberval (1602-1675) traçou o esboço da curva de seno. 
Mas foi apenas no século XIX, com os estudos de Jean Baptiste Joseph Fourier 
(1768-1830), que os estudos nesta área avançaram.
2 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Como vimos em tópicos anteriores, todo número real x pode ser considerado 
como a medida, em radianos, de um certo arco 
(
AP. Portanto, para cada arco 
(
AP 
podemos associar um único número real y, que é o valor do seno desse arco.
Assim, definimos a função seno como a função real de variáveis reais que 
associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja,
f : R → R
x → f(x) = sen x
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
94
Gráfico da função seno
Para construir o gráfico da função seno, primeiramente, vamos fazer um 
quadro com valores de sen x no período de [0, 2π].
FONTE: A autora
Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função 
seno, chamada de senoide.
QUADRO 17– PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO SEN X
x
(em radianos)
sen x
x
(em radianos)
sen x
0 0 7π 6 - 0,5
π
6 0,5
5π
 4 - 0,7
π
4 0,7
4π
 3 - 0,9
π
3 0,9
3π
 2 - 1
π
2 1
5π
 3 - 0,9
2π
 3 0,9
7π
 4 - 0,7
3π
 4 0,7
11π
 6 - 0,5
5π
 6 0,5 2π 0
π 0
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
95
A partir do quadro, podemos observar:
QUADRO 18 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO SENO
Quadrante I II III IV
Arco x 0 → π 2
→ π π
 2
π → 3π
 2
→ 2π 3π
 2
Sinal f(x) + + - -
Variação f(x)
0 → +1
Crescente
+1 → 0
Decrescente
0 → -1
Decrescente
-1 → 0
Crescente
FONTE: A autora
Portanto, podemos concluir:
• O domínio da função f(x) = sen x é o conjunto dos números reais, D(f) = R.
• O conjunto imagem da função f(x) = sen x é o intervalo [-1, +1], ou seja, Im(F) = {y 
є R | -1 ≤ y ≤ 1}.
• O período da função seno é o número 2π, pois o valor de f(x) da função seno se 
repete a cada intervalo de amplitude 2π, ou seja, sen x = sen (x + k • 2π), k є Z.
Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
96
Exemplo:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2sen x.
Resolução: Para o esboço do gráfico, basta atribuirmos ao arco x os valores 0, 
π
2
 rad, π rad, 3π
 2
 rad e 2π e calcularmos os correspondentes valores de y, conforme 
o quadro a seguir:
x
(em radianos)
y
0 0
π
2 2
π 0
3π
 2 -2
2π 0
FONTE: A autora
QUADRO 19 – VALORES DE X E Y 
Marcando no plano cartesiano os pontos (0,0), ( ) 3,2 , ,0 , , 2
2 2
π ππ   -   
   
e 
(2π, 0), temos:
Domínio: D(f) = R
Conjunto Imagem: Im(f) = {y є R | -2 ≤ y ≤ 2}
Período: p = 2π
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
97
Visite o site <http://www.apm.pt/apm/software/soft.htm>, lá você encontra 
diversos softwares pedagógicos, entre eles alguns sobre funções, que irão auxiliá-lo na 
construção dos gráficos aqui solicitados. 
Outro site que possui programas interessantes é o baixaki. Vale a pena fazer o download do 
winplot, <http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>, ele resolve equações, funções e 
gera gráficos. Mas, lembre-se de que alguns deles podem estar em inglês e, portanto, deve-se 
usar: sen x = sin x; cos x = cos x e tg x = tan x.
ATENCAO
3 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um 
ângulo de x radianos.
Definimos a função cosseno como a função real de variáveis reais que 
associa a cada número real x um único valor real cosseno x, ou seja,
f(x) : R → R
x → f(x) = cos x
Gráfico da função cosseno
Para construir o gráfico da função cosseno, primeiramente, vamos fazer um 
quadro com valores de cos x no período de [0, 2π].
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
98
FONTE: A autora
Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função 
cosseno, chamada de cossenoide.
QUADRO 20 – VALORES DE COS X
x
(em radianos)
cos x
x
(em radianos)
cos x
0 1 7π 6 - 0,9
π
6 0,9
5π
 4 - 0,7
π
4 0,7
4π
 3 - 0,5
π
3 0,5
3π
 2 0
π
2 0
5π
 3 0,5
2π
 3 -0,5
7π
 4 0,7
3π
 4 - 0,7
11π
 6 0,9
5π
 6 - 0,9 2π 1
π - 1
A partir do gráfico, podemos observar no quadro a seguir:
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
99
FONTE: A autora
QUADRO 21 – QUADRO RESUMO DA FUNÇÃO COSSENO
Quadrante I II III IV
Arco x 0 → π 2
→ π π
 2
π → 3π
 2
→ 2π 3π
 2
Sinal f(x) + - - +
Variação f(x)
+1 → 0
Decrescente
0 → -1
Decrescente
-1 → 0
Crescente
0 → +1
Crescente
Portanto, podemos concluir:
• O domínio da função f(x) = cos x é o conjunto dos números reais, D(f) = R.
• O conjunto imagem da função f(x) = cos x é o intervalo [-1, +1], ou seja, Im(f) = {y 
є R | -1 ≤ y ≤ 1}.
• O período da função cosseno é o número 2π, pois o valor de f(x) da função 
cosseno se repete a cada intervalo de amplitude 2π para valores de x, ou seja, cos 
x = cos (x + k • 2π), k є Z.
Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
100
Exemplo:
Dê o domínio, a imagem, o período e construa o gráficode um período 
completo da função f(x) = cos x+
3
π 
 
 
.
Resolução: Para o esboço do gráfico, basta atribuirmos ao arco x+
3
π 
 
 
 os 
valores 0, π
2
 rad, π rad, 3π
 2
 rad e 2π e calcularmos os respectivos valores de x e y, 
conforme o quadro a seguir:
FONTE: A autora
A partir do gráfico, deduzimos que
Domínio: D(f) = R
Conjunto Imagem: Im(f) = {y є R | -1 ≤ y ≤ 1}
Período: p = 2π
QUADRO 22 – CALCULAR VALORES DE X E Y
x+
3
π 
 
 
(em radianos)
x
(em radianos)
y
0 - π 3 1
π
2
π
6 0
π 2π 3 -1
3π
 2
7π
 6 0
2π 5π 3 1
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
101
4 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor da tangente de um 
ângulo de x radianos.
Definimos a função tangente como a função real de variáveis reais que 
associa a cada número real x um único valor real tangente x, ou seja,
f : R → R
x → f(x) = tgx
Gráfico da função tangente
Para construir o gráfico da função tangente, primeiramente, vamos fazer 
um quadro com valores de tg x no período de [0, 2π].
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
102
FONTE: A autora
QUADRO 23 – VALORES DE TG X
x
(em radianos)
tg x
x
(em radianos)
tg x
0 0 7π 6 0,58
π
6 0,58
5π
 4 1
π
4 1
4π
 3 1,73
π
3 1,73
3π
 2 ∃⁄
π
2 ∃⁄
5π
 3 -1,73
2π
 3 -1,73
7π
 4 -1
3π
 4 - 1
11π
 6 -0,58
5π
 6 - 0,58 2π 0
π 0
Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função 
tangente, chamada de tangentoide.
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
103
A partir do gráfico, podemos observar no quadro a seguir:
FONTE: A autora
Portanto, podemos concluir:
• O domínio da função f(x) = tg x é D(f) = {x є R | x ≠ π
2
 + k • π, k є Z};
• O conjunto imagem da função f(x) = tg x é o intervalo [-∞, +∞], ou seja, Im(f) = R;
• O período da função tangente é p = π, pois o valor de f(x) da função tangente 
se repete a cada intervalo de amplitude π para valores de x, ou seja, tg x = tg 
(x + k • π, k є Z).
 Observe:
QUADRO 24 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO TANGENTE
Quadrante I II III IV
Arco x 0 → π 2
→ π π
 2
π → 3π
 2
→ 2π 3π
 2
Sinal f(x) + - + -
Variação f(x)
0 → +∞
Crescente
-∞ → 0
Crescente
0 → +∞
Crescente
-∞ → 0
Crescente
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
104
Exemplo 1:
Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico da função 
f(x) = tg x+
6
π 
 
 
.
Resolução: Vamos construir um quadro, atribuindo a x+
6
π 
 
 
 os valores 0, 
π
2 
rad, π rad, 3π
 2
 rad e 2π e calcularmos os respectivos valores de x e y.
FONTE: A autora 
QUADRO 25 – CALCULAR VALORES DE X E Y
x+
6
π 
 
 
(em radianos)
x
(em radianos)
y
0 - π 6 0
π
2
π
3 ∃⁄
π 5π 6 0
3π
 2
4π
 3 ∃⁄
2π 11π 6 0
Colocando esses valores no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico:
A partir do gráfico, deduzimos que 
Domínio: D(f) = {x є R | x ≠ π
3 + k . π
, k є Z}
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
105
2x
2
 2x= +
2
2 2x
2 2
3 2x=
2
3 x=
4
π
- = π
π
π
π π
= +
π
π
2x 0
2
 2x=
2
 x=
4
π
- =
π
π
Conjunto Imagem: Im(f) = R
Período: p = π
Exemplo 2:
Qual o período da função f(x) = tg 2x - 
2
π 
 
 
?
Resolução: Como o período da função tangente é π radianos, devemos 
verificar o que ocorre com o arco 2x - 
2
π 
 
 
 , quando varia de 0 a π.
Quando f(x) = 0, temos:
Quando f(x) = π, temos:
Assim, quando 2x - 
2
π 
 
 
 varia de 0 a π, x varia de π
4
 a 3π
4
. Então, o período é 
p = 3π - π4 4
, ou melhor, p = π2
.
5 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Além das três relações que acabamos de estudar, existem outras três 
(secante, cossecante e cotangente), que mostram sua importância na trigonometria. 
Sempre que forem exigidas, podem ser substituídas por expressões envolvendo as 
funções seno, cosseno ou tangente. Assunto que veremos nos próximos tópicos.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
106
5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE
Primeiramente, consideremos o ciclo trigonométrico a seguir.
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o 
eixo das abscissas (eixo dos cossenos) no ponto A e o eixo das ordenadas (eixo dos 
senos) no ponto B.
Definimos sec x = OA e cossec x = OB .
Através da semelhança de triângulos, podemos obter:
Observando a figura anterior e de acordo com essas fórmulas, podemos 
constatar as seguintes propriedades:
• como os pontos A e B sempre estão no exterior do ciclo trigonométrico, as suas 
distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais à medida 
do raio unitário. Portanto:
 
≠
≠
1OA = secx = , com cos x 0
cosx
 e
1OB = cos secx = , com sen x 0
senx
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
107
1sec x
cosx
1sec150
cos150
1sec150
3
2
2sec150 1
3
2 3sec150
3
=
° =
°
° =
-
° = ⋅
-
° = -
sec x ≤ -1 ou sec x ≥ 1
e
cossec x ≤ -1 ou cossec x ≥ 1
• o sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno: positivo no 1º e 
no 4º quadrantes e negativo no 2º e no 3º quadrantes;
• o sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno: positivo no 1º e 
no 2º quadrantes e negativo no 3º e no 4º quadrantes;
• não existe a secante de ângulos da forma a ₌ π + k . π
2
, k є Z, pois nesses ângulos 
o cosseno é zero;
• não existe a cossecante de ângulos da forma a = k . π, k є Z, pois são ângulos cujo 
seno é zero.
Exemplo 1:
Calcule a secante do arco de 150°.
Resolução:
Assim, a secante do arco de 150° é 2√3
3–
.
Exemplo 2:
Calcule a cossecante do arco de 330°.
Resolução:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
108
1cossec x
senx
1cossec 330
sen330
1cossec 330
1
2
cossec 330 1 ( 2)
cossec 330 2
=
° =
°
° =
-
° = ⋅ -
° = -
Portanto, a cossecante do arco de 330° é -2.
O Gráfico das funções secante e cossecante:
Conforme acabamos de estudar, a função secante, indicada por y = sec x ou 
f(x) = sec x, é definida por 1f(x)
cosx
= para todo x real tal que cos x ≠ 0. 
A função cossecante, indicada por y = cossec x ou f(x) = cossec x, é definida 
por 1f(x)
senx
= para todo x real tal que sen x ≠ 0. 
A partir disto, podemos estabelecer alguns valores notáveis da secante e da 
cossecante. Observe no quadro a seguir:
FONTE: A autora
QUADRO 26 – PRINCIPAIS VALORES DAS FUNÇÕES SEC X E COSSEC
x
(em radianos)
sec x
cossec 
x
x
(em radianos)
sec x cossec x
0 1 ∃⁄ 7π 6 -1,15 -2
π
6 1,15 2
5π
 4 -1,4 -1,4
π
4 1,4 1,4
4π
 3 -2 -1,15
π
3 2 1,15
3π
 2 ∃⁄ -1
π
2 ∃⁄ 1
5π
 3 2 -1,15
2π
 3 -2 1,15
7π
 4 1,4 -1,4
3π
 4 -1,4 1,4
11π
 6 1,15 -2
5π
 6 -1,15 2 2π 1 ∃⁄
π -1 ∃⁄
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
109
Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos os gráficos das 
funções secante e cossecante.
5.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE
Consideremos o ciclo trigonométrico a seguir e o arco 
(
AP de medida x. Seja 
C o ponto de intersecção da reta OP
→←
 com o eixo das cotangentes.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
110
cosxcotgx
senx
cos30cotg30
sen30
3
2cotg30
1
2
3cotg30 2
2
cotg30 3
=
°
° =
°
° =
° = ⋅
° =
Podemos ainda escrever:
Exemplo:
Calcule a cotangente do arco de 30°.
Resolução:
Deste modo, a cotangente do arco de 30° é √3.
Definimos como cotangente do arco 
(
AP a medida do segmento BC, e 
indicamos cotg x = BC, ou seja, a cotg x é a abscissa do ponto C.
Através da semelhança de triângulos, podemos obter:
≠
cosxcotgx = , sendo sen x 0
senx
1 π
≠
kcotgx = , x
tgx 2
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
111
FONTE: A autora
QUADRO 27 – PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO COTG X
x
(em radianos)
cotg x
x
(em radianos)
cotg x
0 ∃⁄ 7π 6 1,73
π
6 1,73
5π
 4 1
π
4 1
4π
 3 0,58
π
3 0,58
3π
 2 0
π
2 0
5π
 3 -0,58
2π
 3 -0,58
7π
 4 -1
3π
 4 -1
11π
 6 -1,73
5π
 6 -1,73 2π ∃⁄
π ∃⁄
Observe que a tangente é positiva para os arcos com extremidades no 1º 
ou 3º quadrante e negativa para os arcos com extremidades no 2º ou 4º quadrante.Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da 
função cotangente.
O Gráfico da função cotangente
Partindo da definição, podemos estabelecer alguns valores notáveis da 
cotangente. Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
112
A partir do gráfico, podemos concluir:
• O domínio da função f(x) = cotg x é D(f) = {x є R | x ≠ kπ, k є Z};
• O Conjunto imagem da função f(x) = cotg x é o intervalo [-∞, +∞], ou seja, Im(f) = R;
• f(x) = cotg x é uma função periódica com p = π.
113
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico ampliamos o conhecimento das razões seno, cosseno e 
tangente, já conhecidas desde o triângulo retângulo, para o plano cartesiano, ou 
seja, na forma de função.
● Também avançamos no estudo da trigonometria, conhecendo outras razões 
importantes: a secante, a cossecante e a cotangente. 
Disto é válido lembrar:
● Quanto ao gráfico das funções trigonométricas (no quadro 28), podemos destacar:
QUADRO 28 – QUADRO RESUMO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função
f(x)
Domínio
D(f)
Imagem
Im(f)
Período
P
Sinais
Positivo Negativo
sen x x є R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º e 2º Q 3º e 4º Q
cos x x є R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º e 4º Q 2º e 3º Q
tg x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 y є R π 1º e 3º Q 2º e 4º Q
sec x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º e 4º Q 2º e 3º Q
cossec x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º e 2º Q 3º e 4º Q
cotg x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } y є R π 1º e 3º Q 2º e 4º Q
FONTE: A autora
1sec x
cosx
1cossec x
senx
cosx 1cotgx ou cotgx=
senx tgx
=
=
=
114
AUTOATIVIDADE
1 Indique o valor de: 
a) cotg 60° b) sec 180° c) cossec 30°
d) cotg 225° e) sec 210° f) cossec 27°
g) cotg 330° h) sec 120° i) cossec 225°
2 Calcule o valor das expressões (FACHINI, 1996):
3 Verifique se são verdadeiras ou falsas as igualdades:
4 Determine o domínio das seguintes funções:
5 Para que valores reais de m a equação sen x = 2m + 1 admite 
solução?
a)
cos x + cos 2x
cos 3x – cos 4x
2
2
, para x ₌ π
b) , para x ₌ π
4
cos x . cos 3x
1 + √2 . cos x
a) tg 60° ₌ tg 210° b) cotg π ₌ cotg 3π
c) cossec 0° ₌ cossec 2π d) tg 3π ₌ tg 5π
e) tg π ₌ tg 7π f) sec 45° ₌ sec 765°
g) sec π ₌ sec 5π h) cotg 0° ₌ cotg 180°
i) sec 90° ₌ sec 270° j) cossec π ₌ cossec 3π
2 2
4 4
3 3
4
4 2
a) f(x) ₌ cotg (2x + 30°)
b) f(x) ₌ cossec x+
6
π 
 
 
c) f(x) ₌ sec x+
3
π 
 
 
115
7 Que número é maior: sen 70° ou sen 760°?
8 Determine x є R, tal que tg β = x + 1
2
 e cotg β = 4.
9 Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções:
6 Calcule B = sen 2x + cos 4x – tg 3x, para x = π
3
.
a) f(x) ₌ cos x - 
4
π 
 
  
b) f(x) ₌ 4sen x
3
c) f(x) ₌ -tg 2x
116
117
TÓPICO 2
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dando continuidade ao estudo da trigonometria, abordaremos as técnicas 
de resolução de equações e inequações que envolvem as funções que vimos 
anteriormente.
Logicamente, os conteúdos de equações e inequações não são novidade 
para você, mas quando estes se unem aos conceitos da trigonometria, precisamos 
fazer algumas observações quanto à posição do arco da função na circunferência 
trigonométrica. Estes olhares serão nosso foco de estudo neste tópico.
Para que uma sentença matemática seja denominada uma equação é 
necessário que se tenha uma igualdade e pelo menos uma incógnita. Resolver a 
equação é encontrar os valores desconhecidos das incógnitas.
 Agora, para uma equação ser chamada de equação trigonométrica é 
necessário que, além dessas características gerais, a incógnita esteja envolvida em 
pelo menos uma razão trigonométrica. Assim, resolver uma equação trigonométrica 
significa encontrar os valores dos ângulos que a satisfazem.
A seguir, temos alguns exemplos de equações trigonométricas:
sen x = cos 2x 
2sen2 x – 5sen x + 3 = 0
cos2 x = -cos x
sen 2x – cos 4x = 0 
4sen 3x = 3sen x 
Agora, veja exemplos de equações que não são consideradas trigonométricas, 
pois a incógnita não pertence à razão trigonométrica.
x2 + sen 30° • (x + 1) = 15
x + (tg 30°) • x2 = 0
cos 60° – x = √32 
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
118
Grande parte das equações trigonométricas pode ser reduzida na forma de 
equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, 
representadas da seguinte forma:
1) sen x = sen a 2) cos x = cos a 3) tg x = tg a
Com a є [0, 2π]
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, possui 
um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação. 
Vejamos, a seguir, cada uma delas:
2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
sen x = sen a, com a є [0, 2π]
Quando fizemos o estudo de seno, vimos que se dois arcos têm o mesmo 
seno, então eles são côngruos ou suplementares, ou seja, possuem a mesma imagem 
no eixo dos senos. Veja no ciclo trigonométrico a seguir:
Portanto, podemos concluir que:
sen x ₌ sen a ⇔
}x ₌ a + k . 2π
ou
x ₌ π – a + k . 2π
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
119
E, como conjunto solução desta equação, temos:
S = {x є R | x = a + k • 2π ou x = π - a + k • 2π, k є Z}
Exemplo: 
Determinar o conjunto solução das equações:
a) sen x = √32
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométricas, descobre-se que sen π3 = 
√3
2 , ou seja, 
x
3
π
= . Mas, x pode ser ainda qualquer ângulo congruente a π
3
, então, a solução da 
equação sen 3x
2
= é dada por 
S = {x є R | x = π
3
 + k • 2π ou x = 2π
3
 + k • 2π, k є Z}
b) 2sen 2x – 1 = 0
Resolução:
Podemos reescrever a equação como:
Através das tabelas trigonométricas verificamos que sen π
6
 1
2
₌ , ou seja, 2x = π
6
. 
E, portanto, as duas possibilidades de respostas são desenvolvidas a partir de:
S = {x є R | x = π12 + k • π ou x = 
5π
12
 + k • π, k є Z}
2sen2x 1 0
 2sen2x=1
1 sen2x=
2
- =
k 2x a k 2 x2x k 2 x x k
6 6 2 2 12
k 2 5x a k 2 2x k 2 x x k
6 2 6 2 2 12
π π ⋅ π π
= + ⋅ π ⇒ = + ⋅ π ⇒ = + ⇒ = + ⋅ π
⋅
π π π ⋅ π π
= π - + ⋅ π ⇒ = π - + ⋅ π ⇒ = - + ⇒ = + ⋅ π
⋅
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
120
2.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
cos x = cos a, com a є [0, 2π]
Com base nos estudos de cosseno, se dois arcos têm o mesmo cosseno, 
então eles são côngruos, ou seja, possuem extremidades simétricas em relação ao 
eixo dos cossenos. Observe:
Portanto, podemos concluir que:
cos x = cos a ⇔ x = ±a + k • 2π, k є Z
E, como conjunto solução desta equação, temos:
S = {x є R | x = ±a + k • 2π, k є Z}
Exemplo 1: 
Determinar o conjunto solução da equação cos x = 1
2
.
Resolução:
As extremidades dos arcos no ciclo trigonométrico para o qual x = 1
2
, são os 
pontos P e P’, simétricos em relação ao eixo dos cossenos.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
121
Então, consultando as tabelas trigonométricas, verificamos que cos x = 1
2
 
quando x = π
3
. Assim,
S = {x є R | x = ± π
3
 + k • 2π, k є Z}
Exemplo 2: 
Determinar o conjunto solução da equação cos (2x – π) = – √32 .
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométricas, verificamos que – √3
2
 é o 
equivalente a – cos π
6
, que, por sua vez, é equivalente a cos 5π
6
. Assim,
52x k 2
6
52x k 2
6
5 62x k 2
6 6
x k
12
- π
- π = + ⋅ π
- π
= + ⋅ π + π
- π π
= + + ⋅ π
π
= + ⋅ π
52x k 2
6
52x k 2
6
5 62x k 2
6 6
11x k
12
π
- π = + ⋅ π
π
= + ⋅ π + π
π π
= + + ⋅ π
π
= + ⋅ π
ou
S ₌ {x є R | x ₌ 11π + k . π ou x ₌ π + k . π, k є Z}
12 12
2.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
tg x = tg a, com a ∈ [0, 2π]
Assim como nas equações fundamentais anteriores, ela baseia-se no fato de 
que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos, ou seja, possuem 
suas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
122
Portanto, podemos concluir que:
tg x = tg a ⇔ a + k • π
com a ≠ π
2
 + k • π e k є Z
E, como conjunto solução desta equação, temos:
S = {x є R | x = a + k • π, k є Z}
Exemplo 1:
Determinar o conjunto verdade da equação tg x = √3.
Resolução:
Asextremidades dos arcos no ciclo trigonométrico, para o qual tg x = √3 são 
os pontos P e P’, simétricos em relação à origem.
Então, escrevemos:
 
tgx ₌ √3
tg π
3
 ₌ √3
E assim, x = π
3 
+ k • π.
S = {x є R | x = π
3
 + k • π, k є Z}
Exemplo 2:
Determinar o conjunto verdade da equação tg 2x – 1 = 0.
Resolução:
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
123
Podemos reescrever a equação como:
tg2x – 1 ₌ 0
 tg2x ₌ 1
E consultando as tabelas trigonométricas das tangentes temos que tg 2x = 
1 quando 2x = π
4
.
E assim, 2x = π4 + k • π, ou melhor, x = 
π
8 + 
k . π
2
.
Logo, S = {x є R | x = π
8 + 
k . π
2
, k є Z}.
3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Uma sentença matemática é denominada de inequação quando é uma 
desigualdade e possui pelo menos uma incógnita.
Chamamos de inequação trigonométrica a inequação cuja incógnita 
está envolvida em pelo menos uma razão trigonométrica. Resolver a inequação 
trigonométrica significa obter, caso exista, o conjunto solução S, de valores que 
satisfaçam a inequação.
A maioria das inequações trigonométricas pode ser reduzida a inequações 
de um dos seguintes tipos:
1) sen x > a 2) sen x < a
3) cos x > a 4) cos x < a
5) tg x > a 6) tg x < a
onde a é um número real. Estas são denominadas inequações trigonométricas 
fundamentais.
3.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
Quando aprendemos a resolver as inequações fundamentais, sabemos 
resolver outras inequações trigonométricas. Por este motivo, dedicaremos este 
item ao estudo delas.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
124
1º Caso: sen x > a ou sen x ≥ a
Sobre o eixo dos senos, marcamos o ponto P, tal que OP = a. Traçamos por 
P a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que sen x > a estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado acima de r.
Assim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, tomando 
cuidado de partir do ponto A e percorrer o ciclo trigonométrico no sentido anti-
horário até completar uma volta.
ATENCAO
Neste tópico é imprescindível recordar os conceitos de Intervalos Reais.
 
Intervalo aberto em a e b, {x є R | a < x < b} = ]a,b[
Intervalo fechado em a e aberto em b, {x є R | a ≤ x < b} = [a,b[
Intervalo fechado em a e b, {x є R | a ≤ x ≤ b} = [a,b]
Intervalo aberto em a e fechado em b, {x є R | a < x ≤ b} = ]a,b
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
125
Exemplo: 
Vamos resolver a inequação sen x > √2
2
.
Resolução:
Percorrendo o ciclo no sentido anti-horário, temos: 
Para a primeira volta:
S = x є R | π < x < 3π 
4 4
} }
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | π + k . 2π < x < 3π + k . 2π, k є Z
4 4
} }
2º Caso: sen x < a ou sen x ≤ a
Sobre o eixo dos senos, marcamos o ponto P, tal que OP = a. Traçamos por 
P a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que sen x < a estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado abaixo de r.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
126
Assim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, partindo do 
ponto A e percorrendo o ciclo trigonométrico no sentido anti-horário até completar 
uma volta.
Exemplo 1:
Vamos resolver a inequação sen x < √2
2
.
Resolução:
Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, encontramos 
dois intervalos para a primeira volta:
S = x є R | 0 ≤ x < π ou 3π < x ≤ 2π 
4 4
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
127
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | 0 + k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 3π + k . 2π < x ≤ 2π + k . 2π 
4 4
} } 
E simplificando, temos
S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 3π + k . 2π < x ≤ (1 + k) . 2π, k є Z 
4 4
} } 
Exemplo 2:
Resolva a inequação 0 ≤ senx < √3
2
, para x ∈ R.
Resolução:
A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano 
compreendida entre r e s.
Então, para a primeira volta:
S = x є R | 0 ≤ x < π ou 2π < x ≤ π
33
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
128
S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 2π + k . 2π < x ≤ π + k . 2π, k є Z
33
} }
 
3º Caso: cos x > a ou cos x ≥ a
Sobre o eixo dos cossenos, marcamos o ponto Q, tal que OQ = a. Traçamos 
por Q a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x > a estão 
na interseção do ciclo com o semiplano situado à direita de r.
Por fim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, tomando 
cuidado de partir do ponto Q, percorrendo o ciclo trigonométrico no sentido anti-
horário até completar uma volta.
Exemplo: 
Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: cos x > √3
2
.
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se que cos x = √3
2
 quando 
11x ou x= .
6 6
π π
=
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
129
Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, encontramos 
dois intervalos para a primeira volta:
S = x є R | 0 ≤ x < π ou 11π < x ≤ 2π66
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 11π + k . 2π < x ≤ (1 + k) . 2π, k є Z
66
} } 
4º Caso: cos x < a ou cos x ≤ a
Sobre o eixo dos cossenos, marcamos o ponto Q, tal que OQ = a . Traçamos 
por Q a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x < a estão 
na interseção do ciclo com o semiplano situado à esquerda de r.
Para completar, descrevemos os intervalos que convêm ao problema. 
Exemplo 1:
Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: cos x < √3
2
.
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométrica verifica-se que cos x = √3
2
 quando x = 
π
6 ou x = 
1π
6
.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
130
Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, temos:
Primeira volta:
S = x є R | π < x < 11π
66
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | π + k . 2π < x < 11π + k . 2π, k є Z
66
} }
Exemplo 2:
Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: - 3 ≤ cosx ≤ 0
2
, para 
x є R.
Resolução:
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
131
A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano 
compreendida entre r e s.
Primeira volta:
S = x є R | π ≤ x ≤ 3π
22
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | π + k . 2π ≤ x ≤ 3π + k . 2π, k є Z
22
} } 
5º Caso: tg x > a ou tg x ≥ a
Sobre o eixo das tangentes, marcamos o ponto T, tal que AT = a. Traçamos a reta 
r = OT
→←
. As imagens dos reais x tais que tg x > a estão na interseção do ciclo com o 
ângulo rÔv.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
132
Por fim, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.
Exemplo: 
Resolva a inequação tg x > √3.
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se quais ângulos 
apresentam √3 como tangente.
Primeira volta:
S = x є R | π < x < π ou 4π < x < 3π
3 3 22
} } 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
133
Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral:
S = x є R | π + k . 2π < x < π + k . 2π ou 4π + k . 2π < x < 3π + k . 2π, k є Z
23
} }3 2 
6º Caso: tg x < a ou tg x ≤ a
Sobre o eixo das tangentes, marcamos o ponto T, tal que AT = a. Traçamos 
a reta r = OT
→←
. As imagens dos reais x tais que tg x < a estão na interseção do ciclocom o ângulo rÔv.
Finalmente, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.
Exemplo: 
Resolva a inequação tg x < √3.
Resolução:
Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se quais ângulos apresentam 
√3 como tangente.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
134
Primeira volta:
S = x є R | 0 ≤ x < π ou π < x < 4π ou 3π < x ≤ 2π
33
} }2 2 
Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].
Acrescentando k • 2π, com k ∈ Z, às extremidades do intervalo encontrado, 
temos a solução geral em R.
Solução geral: 
S = 
23
} }3 2x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou π + k2π < x < 4π + k2π ou 3π + k2π < x ≤ (1+k)2π, k є Z 
135
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico fizemos o estudo das equações e inequações trigonométricas.
● Vimos que, conhecendo as equações trigonométricas fundamentais, podemos 
resolver a maioria das equações trigonométricas, visto que podemos, quando 
convenientemente, tratá-las e transformá-las, reduzindo-as em equações 
fundamentais. Por este motivo, é de grande serventia memorizá-las.
1) sen x = sen a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • 2π, k є Z.
2) cos x = cos a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • 2π, k є Z.
3) tg x = tg a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • π, k є Z.
● O mesmo ocorre com as inequações trigonométricas. É necessário compreender 
as inequações fundamentais, para facilmente resolver as demais.
1) sen > a
2) sen < a
3) cos x > a
4) cos x < a
5) tg x > a
6) tg x < a
 com a ∈ R.
136
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), as autoatividades que seguem se destinam à 
averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 Encontre o valor do número real y, tal que sen²y – 3 sen y = – 2, para 0 ≤ y ≤ π.
2 Resolva as equações trigonométricas abaixo:
a) sen3x = 1
b) cos x+ 1
6
π 
= - 
 
c) tg 5x = 0
d) 2sen 2x – 1 = 0
e) cos (2x – π) = – √32
f) tg (2x – π) – √3 = 0
3 Sabendo que x є R, calcule as seguintes inequações:
a) tg x ≤ 1
b) cos x ≥ – 1
2
c) sen x > 0
d) sen x ≥ – √32
e) - √3 < tg x ≤ √33 
137
TÓPICO 3
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
2 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
Nos tópicos anteriores estudamos as funções trigonométricas e analisamos 
as características e propriedades de cada uma delas, bem como algumas equações.
Entretanto, o assunto não está esgotado, ainda há algumas relações que 
podemos fazer entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco, 
chamadas de relações trigonométricas.
Das demonstrações anteriores, temos:
Agora, consideremos o ciclo trigonométrico a seguir:
cosx(I) cotgx= , com x k e k Z.
senx
1(II) secx= , com x k e k Z.
cosx 2
1(III) cossecx= , com x k e k Z.
senx
≠ π ∈
π
≠ + π ∈
≠ π ∈
138
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Observe que os triângulos retângulos OAB e OP”P são semelhantes, 
portanto:
Sendo esta uma circunferência unitária, temos
 OA = 1, AB = tgx, P"P = OP' = senx e OP" = cos x, então:
Observando, novamente o triângulo retângulo OP”P e aplicando o teorema 
de Pitágoras, obtemos:
Como a circunferência é unitária, temos que P"P = sen x, OP" = cos x e OP = 
1, logo:
 
(V) sen²x + cos²x = 1, x є R
Estas cinco relações são conhecidas como relações fundamentais da 
trigonometria.
AB P"P
OA OP"
=
OP = OP" + P"P2 2 2
3 RELAÇÕES DERIVADAS
São relações que podem ser deduzidas das relações fundamentais.
(I) A partir de cosxcotgx
senx
= , com x ≠ kπ e k є Z, podemos escrever:
1 kcotgx , x k , k Z.
tgx 2
π
= ≠ + π ∈
(II) Se dividirmos a igualdade sen²x + cos²x = 1, por cos²x ≠ 0, obteremos:
sen²x cos²x 1
cos²x cos²x cos²x
+ =
2 2
senx 11
cosx cosx
   
+ =   
   
senx(IV) tgx= , com x k e k Z.
cosx 2
π
≠ + π ∈
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
139
E com isso,
(III) Dividindo agora a igualdade sen²x + cos²x = 1, por sen²x ≠ 0, obteremos:
E com isso,
1+ cot g2 x = cos sec2 x, com x ≠ kπ, k є Z
Exemplo 1:
Sabendo que tg x = – √3 e π
2
 < x < π, calcule:
+
tg²x + 1 = sec² x, com x ≠ kπ + kπ, k є Z
2
a) sec²x 
Resolução: 
sec2x = 1 + tg2x 
sec2x = 1 + (– √3)2 
sec2x = 1 + 3
sec2x = 4
sec x = – √4 
sec x = -2
No IIQ a secante é negativa, logo tem o mesmo sinal do cosseno.
Pelo exposto, a secante de x é –2.
b) cotg x 
Resolução:
sen²x cos²x 1
sen²x sen²x sen²x
=
2 2
cosx 11
senx senx
   
+ =   
   
1cotgx
tgx
1cotgx
3
1 3cotgx
3 3
3cotgx
3
=
=
-
= ⋅
-
-
=
140
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
( )
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
cossec x 1 cotg x
3cossec x 1
3
3
cossec x 1
3
3cossec x 1
9
1cossec 1
3
4cossec x
3
4cossec x
3
2cossec x
3
2 3cossec x
3
= +
 -
= +   
 
-
= +
= +
= +
=
=
=
=
1sec x
cox
1cosx
sec x
1cosx
2
1cosx
2
=
=
=
-
-
=
Deste modo, a cotangente de x é √3
3
- .
c) cos x
Resolução:
Assim, o cosseno de x é – 1
2
.
d) cossec x
Resolução:
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
141
1senx
cossec x
1senx
2 3
3
3senx 1
2 3
3 3senx
2 3 3
3 3senx
2 3
3senx
2
=
=
= ⋅
= ⋅
=
⋅
=
No IIQ a cossecante é positiva, logo tem o mesmo sinal do seno.
Desse modo, a cossecante de x é 2√3
3
.
e) sen x
Resolução:
E assim, o seno de x é √3
2
Exemplo 2:
Sabendo-se que 2senx
2
= , calcule o valor da expressão
2
2
sec x 1y
tg x 1
-
=
+
.
Resolução:
Vamos, inicialmente, escrever a expressão em função de sen x e cos x:
142
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Como sen²x + cos²x = 1 e assim, 1 – cos²x = sen²x , temos:
Substituindo senx = √2
2
, temos:
Desta forma, o valor numérico de y é 1
2
 .
y =
2 2
2
2
sen x cos xy
1cos x
y sen x
= ⋅
=
1 - cos² x . cos² x
cos² x sen² x + cos² x
Exemplo 3: 
Sabendo que senx = 3
5 
e x pertence ao 2º quadrante, calcular: 
a) cos x 
b) tg x 
c) sec x
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
sec x 1y 
tg x 1
1 1
cosxy=
senx 1
cosx
1 cos x
cos cos xy=
sen x cos x
cos x cos x
1 cos x
cos xy=
sen x cos x
cos x
1 cos x cos xy=
cos x sen x + cos x
-
=
+
 
- 
 
 
+ 
 
-
+
-
+
-
⋅
2 2
2
2 2 2 1y
2 4 22
 
= = = =  
 
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
143
1sec x
cos
1sec x
4
5
5sec x
4
=
=
-
= -
Como o arco está no 2º quadrante, o cosseno é negativo, logo 4
5
- .
b) tg x
Deste modo, tangente de x corresponde a 3
4
- .
c) sec x
Assim, secante de x é igual a 5
4
-
Resolução: 
a) Para o cálculo do cos x, aplicamos a primeira relação fundamental:
sen² x + cos² x = 1
cos² x = 1 - sen² x
cos² x = 1 - 
cos² x = 1 - 9
cosx = 
4cosx
5
=
25
2
3
5
 
 
 
16
25
senxtgx
cosx
3
5tgx
4
5
3tgx
4
=
=
-
= -
144
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Uma igualdade em uma variável x, f(x) = g(x), é uma identidade num 
conjunto universo U se, e somente se, a sentença f(a) = g(a) é verdadeira para 
qualquer valor de a, tal que a є U.
Quando uma igualdade que envolve funções trigonométricas se verifica 
para todos os valores do domínio de tais funções, chamamos essa igualdade de 
identidade trigonométrica. Para afirmar que uma igualdade é uma identidade, 
precisamos demonstrar sua validade, utilizando para isso as relações fundamentais 
e suas derivadas.
As relações fundamentais, bem como suas derivadas, são identidades 
trigonométricas.
NOTA
Por exemplo, considerando o domínio das funções, a igualdade sen x • sec 
x = tg x é uma identidade trigonométrica, pois, independentemente do valor de x, 
ela se verifica. Para x ≠ π + kπ, k є Z
2
, temos: 
 1 senx
cosx cosxsenx · sec x ₌ senx · ₌ ₌ tgx
Já a igualdade sen x + cos x = 1, para x є R, não é uma identidade, pois ela 
não é verdadeira para todos os valores reais de x. Dizemos que sen x + cos x = 1 é 
uma equação trigonométrica. 
Para demonstrar que uma igualdade é uma identidade, há vários processos. 
Vejamos dois deles nos exemplos a seguir.
1º) Escolhemos um dos membros da igualdade f(x), geralmente o mais 
complicado, e a partir dele, obtemos o outro membro g(x), provando que f(x) = 
g(x).
Exemplo:
Vamos demonstrarque (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) = 1, para x ≠ kπ, com k є Z, 
é uma identidade trigonométrica.
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
145
2
2
sen xf(x)
sen x
f(x) 1
=
=
Resolução:
Considerando f(x) = (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) e g(x) = 1, vamos expressar f(x) 
em função de sen x e cos x:
Lembrando que 1 – cos²x = sen²x , temos
E assim, f(x) = g(x) e, portanto, (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) = 1
2º) Partimos do primeiro membro da igualdade e procuramos transformá-
lo numa função h(x), por exemplo. Seguidamente, fazemos transformações no 
segundo membro a fim de torná-lo idêntico à função h(x).
Exemplo 1:
Vamos demonstrar que 2
tgx senx
sec x1 tg x
=
+
 é uma identidade para
 x k ,k Z.2
π
≠ + π ∈
Resolução:
Definimos 2
tgxf(x)
1 tg x
=
+
 e simplificamos essa expressão.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
cosxf x 1 cos x 1
senx
cos x sen xf x 1 cos x
sen x sen x
cos x + sen xf x = 1 cos x
sen x
1f x = 1 cos x
sen x
1 cos xf x
sen x
   = - ⋅ +    
 
= - ⋅ + 
 
 
- ⋅  
 
 
- ⋅  
 
-
=
146
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
senxg(x)
sec x
senxg(x)
1
cosx
cosxg(x) senx
1
g(x) senx cosx
=
=
= ⋅
= ⋅
E desse modo, definimos h(x) = senx . cos x.
Agora, vamos trabalhar com a expressão senxg(x)
sec x
= até obter h(x).
Partindo separadamente de f(x) e g(x), chegamos à mesma função h(x). 
Logo, h(x) = f(x) = g(x) e, portanto,
2
tgx senx .
sec x1 tg x
=
+
Exemplo 2:
Vamos demonstrar a identidade sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.
Resolução: 
Primeiramente:
( )
( )
2
2
2
2
tgxf x
1 tg x
senx
cosxf x
sec x
senx
cosxf(x)= 
1
cos x
senx cos xf(x)
cosx 1
f(x) senx cosx
=
+
=
= ⋅
= ⋅
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
147
Definimos 
2 4
2
sen x cos xh(x) .
cos x
+
=
Agora,
g(x) = tg²x + cos² x
2
2
2 2
2
2 2
2 4
2 2
2 4
2
senxg(x) cos x
cosx
sen x cos xg(x) cos x
cos x cos x
sen x cos xg(x)
cos x cos x
sen x cos xg(x)
cos x
 
= + 
 
= + ⋅
= +
+
=
Como h(x) = f(x) = g(x) e, portanto, sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.
Há também outra maneira de demonstrar esta identidade. Observe:
f(x) – g(x) = (sec2x – sen2x) – (tg2x + cos2x) = sec2x – sen2x – tg2x – cos2x = 
= (sec2x – tg2x) – (sen2x + cos2x) = 1 – 1 = 0 
 
Assim, se f(x) – g(x) = 0, então f(x) = g(x), ou seja, sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
f x sec x - sen x
1f x - sen x
cosx
1 cos xf x - sen x
cos x cos x
1 - sen x . cos xf x
cos x
sen x cos x - sen x . cos x f x
cos x
sen x 1- sen x . cos x
f x
cos x
sen x cos x. cos xf x
cos x
sen x + cos xf x
cos
=
 
=  
 
= ⋅
=
+
=
+
=
+
=
= 2 x
148
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico exploramos as relações que podemos fazer quando temos 
funções de mesmo arco, pois elas são o suporte para demonstrar as identidades 
trigonométricas.
Por este motivo, tenha as relações abaixo discriminadas quando for realizar 
as autoatividades, com k є Z.
I) 
cosxcotgx , x k
senx
= ≠ π
II) 1sec x , x k
cosx 2
π
= ≠ + π
III) 
1cossec x , x k
senx
= ≠ π
IV) 
senxtgx , x k
cosx 2
π
= ≠ + π
V) 2 2sen x cos x 1+ =
VI) 
1cotgx , x k
tgx 2
π
= ≠ + π
VII) 2 2sec x 1 tg x, x k2
π
= + ≠ + π
VIII) 2cossec 2x 1 cotg x, x k= + ≠ π
149
AUTOATIVIDADE
Caro(a) acadêmico(a)! Chegou o momento de praticar seus conhecimentos 
adquiridos neste tópico.
Caso surgirem dúvidas, utilize os serviços disponibilizados pelo NEAD. Boa 
atividade!
1 Dado sen x = 3
4
, com 0 < x < π
2
, calcule cos x.
2 Dado cos x = - √3
 3
, com 
π
2 < x < π, calcule tg x.
3 Sabendo que cot gx = √3 e π < x < 3π
 2
, calcule:
a) cossec x
b) sen x
c) tg x
d) cos x 
e) sec x 
4 Qual o valor numérico da expressão 
2
4 2senxM
cos x
+
= , para 
3cotgx e x .
2
π
= π < <
3
4
5 Quais são os valores de sen x e cos x, sendo senx = –2 cos x e π2 < x < π?
6 Essa questão pode ser vista como um ótimo quebra-cabeça 
trigonométrico!
 Demonstre que as seguintes igualdades são identidades:
a) tg²x • sen²x = tg²x – sen²x
b) (1 + cotg x)² + (1 – cotg x)² = 2cossec²x 
c) cos x • tg x • cossec x = 1 
d) (tg x + 1) • (1 – tg x) = 2 – sec²x
150
151
TÓPICO 4
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
É intuitivo pensar que as expressões sen(60° + 30°) e sen60° + sen30° 
possuem o mesmo valor, mas isso não é verdade.
Vamos verificar:
sen(60° + 30°) = sen90° = 1
sen60° + sen30° = √3 + 1 = 1 + √3
222
 
Assim, verificamos que sen(60° + 30°) ≠ sen60° + sen30°. Logo, de modo 
geral, podemos afirmar que:
sen (a + b) ≠ sen a + sen b
sen (a – b) ≠ sen a – sen b
cos (a + b) ≠ cos a + cos b
cos (a – b) ≠ cos a – cos b
tg (a + b) ≠ tg a + tg b
tg (a – b) ≠ tg a – tg b
Neste tópico estudaremos o modo correto de calcular sen (a + b) e sen (a – b), 
bem como outras fórmulas importantes de transformações trigonométricas.
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
Dados dois arcos trigonométricos de medida a e b, podemos calcular o 
seno, o cosseno e a tangente da soma ou da diferença desses arcos através das 
identidades conhecidas por fórmulas de adição de arcos.
As fórmulas que estudaremos a seguir nos permitem calcular as funções 
trigonométricas do tipo soma (a + b) ou diferença (a – b) de arcos, representados 
por números reais.
152
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
I) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
II) sen ( a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
III) cos (a + b) = cos a .cos b - sen a . sen b
IV) cos (a - b) = cos a . cos b + sen a .sen b
V) tg a + tg btg (a + b) = 
1 - tg a . tg b
 (obedecidas as condições de existência)
VI) 
-
-
+
tg a tg btg (a b) = 
1 tg a . tg b (obedecidas as condições de existência)
FONTE: A autora
(I) Seno da soma
Dados dois arcos trigonométricos, AM
)
 e AN
)
 de medidas a e a + b, 
respectivamente, tracemos as perpendiculares auxiliares, como na figura a seguir:
QUADRO 29 – FÓRMULAS DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS ARCOS
Da figura, podemos observar:
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
153
POT ≡ SRT, pois SR // OP;
TNR ≡ TOP, pois os triângulos TNR e TOP são semelhantes;
ΔONR ⇒ 
ΔRUO ⇒ sen a ₌ OU
OR
 ₌ OU
cos b
 ⇒ OU ₌ sen a . cos b
ΔRSN ⇒ cos a ₌ NS
NR
 ₌ NS
senb
 ⇒ NS ₌ cos a . sen b
Sendo sen ( a+ b) ₌ OV ₌ OU + UV e UV ₌ NS, então:
}sen b ₌ OR
ON
 ⇒ NR ₌ sen b
cos b ₌ OR
ON
 ⇒ OR ₌ cos b
ˆ ˆ
ˆ ˆ
sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a
Observação: Essa demonstração pode ser repetida para os demais 
quadrantes, observando as correções de sinais.
(II) Seno da diferença
Esta identidade pode ser demonstrada a partir da identidade (I). Basta fazer 
sen (a – b) = sen [a + (-b)]
e aplicar a fórmula do sen (a + b).
(III) Cosseno da soma
A partir da identidade II, podemos demonstrar a identidade III, fazendo 
cos (a + b) = sen [90° – (a+b)] = sen [(90° – a) – b].
(IV) Cosseno da diferença
Demonstra-se a identidade (IV) a partir da identidade (III), fazendo 
cos (a – b) = cos [a + (-b)].
154
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
(V) Tangente da soma
Supondo que estejam satisfeitas as condições de existência, podemos 
escrever:
Aplicando a fórmula do sen (a + b) e cos (a + b), temos:
Dividindo o numerador e o denominador por cos a • cos b, temos:
Portanto:
tg(a + b) ₌ 
tg(a + b) ₌
tg(a + b) ₌ 
tg(a + b) ₌
sen a . cos b + sen b . cos a
cos a . cos b
cos a . cos b - sen a . sen b
cos a . cos b
sen a . cos b sen b . cos a
cos a . cos b cos a . cos b
cos a . cos b sen a . sen b
cos a . cos b cos a . cos b
+
-
sen a sen b
cos a cos b
sen a sen b
cos a cos b
1 - ∙
+
tg a + tg b
1 - tg a · tg b
tg a + tg b
1 - tg a · tg b
tg(a + b) ₌
sen (a + b)tg (a + b) = 
cos (a + b)
sena.cosb + senb.cosatg (a + b) = 
cosa.cosb - sena.senb
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
155
(VI) Tangente da diferença
A demonstração é análoga à identidade V.
Exemplo 1: 
Calcule o valor de sen105°.
Resolução:
sen 105° = sen (45° + 60°)
Aplicando a fórmula do seno de uma soma:
sen (45° + 60°) = sen 45° • cos 60° + sen 60° • cos 45°
Exemplo 2:
Encontre o valor de cos 75°.
Resolução:
cos 75° = cos (45° + 30°) 
Aplicando a fórmula do cosseno de uma soma:
cos (45° + 30°) = cos 45° • cos 30° – sen 45° • sen 30°
⋅ ⋅
2 1 3 2sen(45° + 60°) = +
2 2 2 2
2 6sen(45° + 60°) = +
4 4
2 + 6Assim, o seno de 105° é 
4
⋅ ⋅
2 3 2 1cos(45° + 30°) = -
2 2 2 2
6 2cos(45° + 30°) = -
4 4
 6 - 2Desse modo, o cosseno de 75° é .
4
156
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Exemplo 3:
Sabendo que tg a = 1
5
 e tg b = 1
10
, calcule tg (a – b).
Resolução:
Usando a fórmula da tangente da diferença de dois arcos:
Assim, a tangente de a – b é 5
51
.
Exemplo 4:
Calcule sec 285°.
Resolução:
⋅
tg a - tg btg (a - b) =
1 + tg a tg b
tg (a - b) ₌
tg(a - b) = 
tg(a - b) ₌ 
⋅
1 50tg(a - b) =
10 51
5tg(a - b) =
51
1 - 1
 5 10
1 + ∙1 1
 5 10
50
50 50
1+
10 10
- 12
1
10
51
50
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
157
Portanto, o valor da secante de 285° é √6 + √2 .
3 ARCO DUPLO E ARCO METADE
Arco duplo
As fórmulas de duplicação de arcos decorrem das fórmulas de adição, sua 
utilização permite simplificar cálculos.
Seno do arco duplo
Podemos escrever sen 2a como sen (a + a) e aplicar a fórmula de adição:
sen (a + a) = sen a • cos a + sen a • cos a, logo:
sen 2a = 2 sen a • cos a
Cosseno do arco duplo
Podemos escrever cos 2a como cos (a + a) e aplicar a fórmula de adição:
cos (a + a) = cos a • cos a – sen a • sen a, logo:
cos 2a = cos2 a – sen2 a
sec285° = sec75°
1sec285° =
cos(45° + 30°)
1sec285° =
6 - 2
4
4sec285° =
6 - 2
sec285° = 6 + 2
158
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
2 2
2 2
2
2
2
2
2
sen x cos x 1
sen x 1 cos x
4sen x 1
5
16sen x 1
25
9sen x
25
3sen x
5
+ =
= -
 
= -  
 
= -
=
=
Ou seja:
Exemplo: 
Calcule os valores de sen 2x, cos 2x e tg 2x, tendo conhecimento de que cos 
x = 4
5
 e que 0 < x < π
2
.
Resolução:
Primeiramente, vamos encontrar o valor de sen x.
Lembre-se de que o seno é positivo no 1º quadrante.
Como sen 2x = 2sen x • cos x, então:
E cos 2x = cos2x – sen2x, então:
sen2x ₌ 2 . . 
24sen2x
25
=
3 4
5 5
tg a + tg a
1 - tg a · tg a
tg(a + a) ₌
Tangente do arco duplo
Escrevendo tg 2a como tg (a + a), considerando as condições de existência e 
aplicando a fórmula de adição, temos:
2
2tg atg(2a) =
1 - tg a
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
159
Por fim,
 
tg2x ₌ 
6 16tg2x
4 7
24tg2x
7
= ⋅
=
6
4
9
16
1-
Arco metade
O arco metade nos possibilita associar um arco a com um arco a
2
 e sua 
utilização permite simplificar outros cálculos.
Vejamos as demonstrações das fórmulas que nos permitem calcular sen a
2
, 
cos a
2
 e tg a
2
, sendo a um número real.
( ) 2
2
2
2tgxtg 2x
1 tg x
senx2
cosxtg2x= 
senx1
cosx
3
5
42.
5tg2x= 
3
5
41
5
=
-
 
-  
 
 
 
 
 -
 
 
 
 
( ) 2
2
2
2tgxtg 2x
1 tg x
senx2
cosxtg2x= 
senx1
cosx
3
5
42.
5tg2x= 
3
5
41
5
=
-
 
-  
 
 
 
 
 -
 
 
 
 
2 2
4 3cos2x
5 5
16 9cos2x
25 25
7cos2x
25
   
= -   
   
= -
=
160
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Arco metade de seno
E com isso
E assim,
+
=±
1 coscos 
2 2
a a
= -

= - -
 
= -
2 2
2 2
2
a aComo cos 1 sen 
2 2
Temos
a acos a 1 sen sen 
2 2
acos a 1 2sen 
2
= -2 2
a aSabemos que cos a cos sen .
2 2
-
=±
1 cossen 
2 2
a a
= -
 
= - - 
 
2 2
2 2
a aComo sen 1 cos 
2 2
a acosa cos 1 cos
2 2
= -2
acosa 2 cos 1 
2
2 2
a acosa = cos
2 2
a acosa = cos - sen
2 2
 
+ 
 
Arco metade de cosseno
Sabendo que a = a
2
 + a
2
, podemos escrever:
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
161
Arco metade da tangente
Sabemos que:
Portanto, podemos escrever:
=
-
±
=
+
±
asen a 2tg 
a2 cos
2
1 cosa 
senxtgx = 
c
 a 2tg
2 1 c
osx
osa
2
-
= ±
+
a 1 cosatg 
2 1 cosa
Podemos obter o arco metade de senos e cossenos sem ter que memorizar 
novas fórmulas. Basta usar adequadamente as fórmulas alternativas de cos 2a, lembrando que, 
se 2a é o arco duplo de a, então a é o arco metade de 2a. O arco metade de tangentes é obtido 
a partir da própria fórmula da tangente.
ATENCAO
Exemplo:
Dado 3cos 30
2
° = , encontre os valores de: 
a) sen 15°
Resolução:
162
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Portanto, o valor do sen de 15° é 2 3
2
- .
b) cos 15°
a 1 cos asen 
2 2
-
= ±
31
2sen 15 
2
2 3 1sen15° = .
2 2
2 3sen15° = 
4
-
° =
-
-
2 3sen 15
2
-
° =
30 1 cos 30sen 
2 2
° - °
=
Resolução:
Desta maneira, o valor do cosseno de 15° é 2 3
2
+ .
a 1 cos acos 
2 2
+
= ±
30 1 cos 30cos 
2 2
° + °
=
31
2cos 15
2
+
° =
2 3cos 15
2
+
° =
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
163
c) tg 15°
Resolução:
 30 1 cos30°tg 
2 1 cos 30°
° -
=
+
1 
2tg 15 
1
3
3
2
-
° =
+
2 3
2tg 15 
2 3
2
-
° =
+
2 3tg 15 = .
2 3
-
°
+
a 1 cosatg 
2 1 cosa
-
= ±
+
Assim, o valor da tangente de 15° é 
2 3 .
2 3
-
+
4 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Fazendo algumas transformações de somas e diferenças de funções 
trigonométricas, podemos escrevê-las em forma de produto, isso é útil para poder 
realizar simplificações na resolução de equações trigonométricas.
Já vimos que:
(I) sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a
(II) sen (a – b) = sen a • cos b – sen b • cos a
(III) cos (a + b) = cos a • cos b – sen a • sen b
(IV) cos (a – b) = cos a • cos b + sen a • sen b
Se calcularmos (I) + (II), (I) – (II), (III) + (IV) e (III) – (IV) vamos obter as 
fórmulas de Werner, que são:
164
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
sen (a + b) + sen (a – b) = 2 • sen a • cos b
sen (a + b) – sen (a – b) = 2 • cos a • sen b
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 • cos a • cos b
cos (a + b) – cos (a – b) = - 2 • sen a • sen b
Se aceitarmos que a + b = x e a – b = y, podemos resolver o sistema:
a + b = x x + y x - y a= e b=
a - b = y 2 2

⇒

Substituindo esses valores nas fórmulas de Werner, encontramos as 
fórmulas de transformação em produto, ou prostaférese, no quadro a seguir:
FONTE: A autora 
QUADRO 30 – FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO, OU 
PROSTAFÉRESE
x y x ysenx seny 2.sen .cos
2 2
x y x ysenx seny 2.cos . sen 
2 2
x y x ycosx cos y 2 .cos . cos
2 2
x y x ycosx cos y 2 .sen . sen
2 2
   + -
+ =    
   
   + -
- =    
   
   + -
+ =    
   
   + -
- = -    
   
( )
sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y 
cosx cos y cosx .cos y
 ou
sen x + y
 tg x + tg y = 
cosx . cosy
+
+ = + =
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
165
Exemplo:
Transforme em produto:
a) sen 60° + sen 30°
Resolução:
( )
sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y 
cosx cos y cosx .cos y
 ou
sen x - y
 tg - tg y = 
cosx 
E
 y
,
. cos
-
- = - =
b) cos 70° – cos 10°
Resolução:
60 30 60 30 sen 60 sen 30 2 . sen .cos 
2 2
sen 60 sen 30 2 . sen 45 . cos15
2 2 3sen 60 sen 30 2 . . 
2 2
2 . 2 3sen60° + sen30° = 
2
   ° + ° ° - °
° + ° =    
   
° + ° = ° °
+
° + ° =
+
70 10 70 10 cos 70 cos 10 2 . sen . sen 
2 2
cos 70 cos 10 2 . sen 40 . sen60
1cos 70 cos 10 2 . sen 40 . 
2
cos 70 cos 10 sen 40
   ° + ° ° - °
° - ° = -    
   
° - ° = - ° °
° - ° = - °
° - ° = - °
166
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
c) sen 3x – sen x 
Resolução:
3x x 3x xsen 3x senx 2sen cos
2 2
sen3x senx = 2senx cos2x
   - +
- =    
   
-
5 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIA
Poderíamos fazer outro Caderno de Estudos só discutindo este tema, 
pois, como já foi visto na introdução da Unidade I, este conteúdo matemático é 
utilizado em muitos outros campos, comona eletricidade, mecânica, acústica, 
música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação marítima e aérea, 
cartografia, entre outros. 
Este fato nos permite criar várias estratégias de ensino. Como exemplo, 
apresento um plano de aula sobre as Razões Trigonométricas no Triângulo 
Retângulo, que tem a possibilidade de ser trabalhado tanto com a 8ª série (9º ano) do 
Ensino Fundamental como com o 1º ano do Ensino Médio, de forma mais reduzida.
PLANO DE AULA
Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Conteúdo: Seno
Série: 8ª série ou 9º ano do Ensino Fundamental/1º ano do Ensino Médio.
Cronologia: 90 minutos (duas aulas).
Objetivos: 
- compreender o que é seno;
- aplicar essa definição na resolução de exercícios e situações-problemas no 
triângulo retângulo;
- encontrar o valor do seno de um ângulo, mediante o uso de uma tabela/
calculadora e vice-versa.
Recursos: Régua, compasso, transferidor, calculadora, tabela trigonométrica,
retroprojetor ou data-show, lousa e giz.
Metodologia: 
Questionar quem já viu a construção de uma casa e, partindo da questão inicial, 
abrir para outras questões:
• Por que a estrutura do telhado é triangular? (“conforto ambiental”: absorção 
da energia solar minimiza a ação da chuva, do vento, dos raios solares).
• Como o carpinteiro sabe qual deve ser a inclinação do telhado?
• A inclinação do telhado depende do tipo de telha?
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
167
A seguir temos os tipos mais comuns. As informações foram retiradas 
de um encarte especial da revista Arquitetura & Construção (reproduzir em 
retroprojetor ou data-show).
FIGURA 5 – EXEMPLOS DE TELHAS E SUAS INCLINAÇÕES
FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 28- 29, ago. 2002. 
Encarte especial.
Observar com os alunos que aqui a inclinação é dada em porcentagem.
Na prática fica mais fácil para o pedreiro/carpinteiro, que usa o seguinte 
critério:
Ex.: Na telha americana – 36%
36% de um metro, que significa utilizar para cada metro de largura 0,36 
metro ou 36 centímetros de altura.
Alguns exemplos de telhados e suas inclinações:
168
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
FIGURA 6 – EXEMPLOS DE TELHADOS 
FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 30, ago. 2002. 
Encarte especial.
A partir disso, propor uma situação-problema que necessite da razão seno 
para sua resolução.
Exemplo: Para construir uma casa com telhado tipo colonial, o carpinteiro 
utiliza o seguinte critério: a cada metro linear ele sobe 25 centímetros. Sabendo 
que a casa mede 6 metros de largura mais 40 centímetros de beiral em cada lado, 
calcule a inclinação do telhado.
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
169
Criado o interesse do aluno, introduzir a definição da razão seno.
Consideremos a figura acima um triângulo retângulo ABC, no qual vamos 
destacar a hipotenusa BC e os catetos AB e AC .
Se tomarmos como referência o ângulo B, podemos escrever:
- AC é o cateto oposto ao ângulo B
- AB é o cateto adjacente ao ângulo B
Agora, sobre um dos lados da rampa marcamos os pontos M e N e por 
esses pontos traçamos perpendiculares sobre o outro lado.
Por semelhança de triângulos podemos notar que:
ΔBOM ~ ΔBPN ~ ΔBAC
Podemos, então, estabelecer as seguintes razões:
OM PN AC= = = k
MB NB BC
Essa constante k é chamada de seno do ângulo agudo B e representa a 
razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo B e a medida da hipotenusa em 
qualquer triângulo retângulo.
170
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Assim temos:
medida do cateto oposto ao ângulo BSen B = 
medida da hipotenusa
∧
Voltando ao problema:
Vimos que para encontrar o ângulo de inclinação, precisamos da medida 
do cateto oposto e a medida da hipotenusa. Como não temos essas informações, 
precisamos encontrá-las.
A largura do telhado:
6 m + 2 • 40 cm ou
6 m + 2 • 0,40 m = 6 + 0,80 = 6,8 m
A altura do telhado: 
1 metro linear – 25 centímetros de altura ou
1 metro linear – 0,25 metros de altura
Utilizando a regra de três, obtemos a altura do telhado.
A altura do telhado é o cateto oposto: AC = 1,7 metros
Para calcular o ângulo B, precisamos encontrar também a hipotenusa, que 
podemos encontrar através do teorema de Pitágoras, já estudado.
2 2 2
BC = AB + AC
Um dos catetos será a altura e o outro a metade da largura do telhado 
(3,4 metros):
1 0,25= 
6,8 x
x = 6,8 . 0,25
x = 1,7
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
171
Então a hipotenusa mede aproximadamente 3,8 metros.
Agora aplicamos na razão antes demonstrada.
≅
2 2 2
2 3 2
2
2
BC = AB + AC
BC = 3,4 + 1,7
BC = 11,56 + 2,89
BC = 14,45
BC = 14,45
BC 3,8
Para encontrar o ângulo correspondente a essa razão recorremos às tabelas 
trigonométricas (no quadro 8) ou a uma calculadora científica. Procuramos na 
tabela o valor de seno encontrado e obtemos o ângulo de inclinação do telhado, 
que nesse caso é de aproximadamente 27°.
Atividade:
Utilizando os conceitos que você acabou de aprender, encontre o grau de 
inclinação dos telhados para os seguintes tipos de telhas:
a) Francesa, para uma casa de 9 metros de largura mais 50 centímetros de beiral.
b) Italiana, para um telhado de 8 metros de largura.
c) Romana, para um prédio de 15 metros de largura mais 0,5 metro de beiral.
d) Japonesa, para uma residência com 12 metros de largura mais 1 metro de beiral.
∧
∧
∧
≅
≅
ACsenB =
BC
1,7senB
3,8
sen B 0,45
172
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
LEITURA COMPLEMENTAR
 JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830)
Matemático e físico francês que 
desenvolveu trabalhos matemáticos, como a 
teoria para calcular raízes irracionais das equações 
algébricas que fora iniciada por Newton. Esse 
e tantos outros trabalhos fizeram de Fourier um 
matemático de destaque do século XIX.
Em 1822, Fourier lançou sua obra mais 
notável, a Théorie Analytique de la Chaleur, cujos 
estudos haviam sido iniciados em 1807. Em seu 
livro, ele dedica toda uma seção à solução do 
problema do desenvolvimento de uma função 
qualquer em série de senos e cossenos de arcos 
múltiplos. Generalizou o procedimento, partindo 
de um caso específico para empregá-lo em qualquer caso. 
Fourier deu um passo decisivo, ao usar indiferentemente os símbolos de 
integração e o de somatória infinita, que conduziu às chamadas séries de Fourier. 
Coube a Fourier o mérito de haver criado esse instrumento matemático, 
de extraordinária fecundidade, com o qual as funções periódicas descontínuas 
pudessem ser apresentadas através de funções contínuas.
FONTE: E-cálculo. Mapa da história: Gauss. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
fourier.htm>. Acesso em: 10 jul. 2010.
173
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico estudamos como podemos realizar transformações nas 
funções trigonométricas, para poder simplificar os cálculos. São elas:
1) Adição e Subtração de Arcos:
• sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a
• sen (a – b) = sen a • cos b – sen b • cos a
• cos (a + b) = cos a • cos b – sen a • sen b
• cos (a – b) = cos a • cos b + sen a • sen b
• tg (a + b) = 
tg a + tg b
1 - tg a . tg b
 (obedecidas as condições de existência)
• tg (a – b) = tg a - tg b
1 + tg a . tg b
 (obedecidas as condições de existência)
2) Fórmula de arco duplo:
• sen 2a = 2 sen a • cos a
• cos 2a = cos2 a – sen2 a
• tg 2ª 
2
2 . tg a
1 tg a-
 
3) Fórmula do arco metade:
a 1 - cos asen = ±
2 2
a 1 + cos acos = ±
2 2
a 1 cos atg 
2 1 cos a
-
= ±
+
•
•
•
174
4) Fórmula da transformação em produto:
x + y x - ysenx + seny = 2 . sen . cos
2 2
x + y x - ysenx - seny = 2 . cos . sen 
2 2
x + y x - ycosx + cosy = 2 . cos . cos
2 2
x + y x - ycosx - cosy = - 2 . sen . sen
2 2
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
 
  
( )
( )
sen x + y
tgx + tgy = 
cosx . cosy
sen x - y
tg - tg y = 
cosx . cosy

 

•
•
•
•
•
•
175
Prezado(a) acadêmico(a)! Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos e definições estudadasneste tópico.
1 Utilizando as fórmulas de adição ou subtração de arcos, calcule:
a) sen 135°
b) cos 15°
c) tg 75°
d) cos 225°
e) sen 195°
f) tg 105°
2 Sabendo que cos x = 1
5
 e x є 1º quadrante, calcule:
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
3 Sabendo que senx = 4-
5
 e x є 3º quadrante, determine:
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
4 Dado cos a = 1
2
, com 0 < a < 
π_
2 , calcule cos 
a_
5.
5 Sabendo que sen a = 1
2
, com 0 < a < 
π_
2 , determine sen 
1_
2. 
6 Transforme em produto:
a) sen 90° + sen 30°
b) sen 80° – sen 40°
c) cos 35° – cos 25°
d) 1 + cos 40°
AUTOATIVIDADE
176
177
UNIDADE 3
NÚMEROS COMPLEXOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• compreender as necessidades que, matematicamente, conduziram à ideia 
de números complexos, utilizando-os na elaboração de argumentos con-
sistentes nas mais variadas situações; 
• identificar as diferentes representações dos números complexos, ou seja, 
algébrica, gráfica e trigonométrica;
• efetuar operações algébricas com números complexos e interpretá-las ge-
ometricamente.
Nesta unidade de ensino, a abordagem dos números complexos está dividi-
da em quatro tópicos, nos quais se apresentam a história do surgimento deste 
conjunto numérico, suas características, suas diferentes representações, bem 
como a resolução das operações básicas. Ao término de cada unidade você 
encontrará atividades que o(a) auxiliarão na interiorização dos conteúdos e 
na resolução das autoavaliações solicitadas.
TÓPICO 1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA 
 ALGÉBRICA
 
TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO 
 COMPLEXO
TÓPICO 4 – FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
178
179
TÓPICO 1
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
A história dos números complexos reforça a ideia de que a matemática não 
é obra de um só homem. Apesar de Gauss e Argand receberem os créditos por 
terem sido os que conseguiram expor uma interpretação geométrica dos números 
complexos, vários matemáticos contribuíram para esta descoberta. Veja quão 
fascinante é esta história.
Desde a Antiguidade, os matemáticos indianos e árabes, quando se 
deparavam com a raiz quadrada de um número negativo, consideravam o 
problema completamente sem sentido. Quando, no século XVI, essa mesma 
questão começou a aparecer em textos algébricos, os matemáticos continuavam 
frisando que essas expressões não possuíam significado e utilizavam termos como 
“fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las.
 
Até mesmo o importante matemático alemão Leibniz, um dos inventores 
do cálculo diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo caráter metafísico, 
interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”. O mesmo incidiu 
com o matemático suíço Lenhard Euler.
Atualmente, muitos livros relacionam a descoberta dos números complexos 
à necessidade de resolver um problema com que nos deparamos quando, ao 
buscarmos uma solução para uma equação do 2º grau, encontramos um valor 
negativo de Delta (Δ = b2 – 4ac).
 
Porém, investigações apontam que este estudo se iniciou quando Cardano, 
no século XVI, ao tentar resolver a equação cúbica x3 = 4 + 15x, a qual ele sabia ter raiz 
verdadeira x = 4, constatou que no processo de resolução obtinha a seguinte expressão: 
3 3x = 2 + -121 + 2 - -121
Foi quando encontrou o termo -121 , que o impediu de dar continuidade 
ao cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4.
Foram necessários mais de 25 anos para que o matemático Bombelli 
encontrasse uma forma de resolver o impasse. Esse disse ter tido a “ideia louca” 
de operar com as quantidades da forma a + b i sob as mesmas regras que se 
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
180
vusa com os números reais, mais a propriedade ( )2-1 = - 1 , para assim conseguir 
resolver a expressão de Cardano, fazendo-a produzir o desejado x = 4.
Mas, os complexos não foram aceitos naturalmente como números, pois 
não havia significado geométrico em uma raiz quadrada de um número negativo. 
O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado.
Após muito estudar as leis algébricas que regem o cálculo com as quantidades 
a + b i , Bombelli divulgou na sua obra L’Algebra que as quatro operações 
aritméticas sobre números complexos produzem números complexos e que a soma 
de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.
Partindo do estudo de Bombelli, outros matemáticos colaboraram para a 
aceitação dos complexos que conhecemos hoje, entre eles:
• Lambert e Euler - estudaram o fechamento dos números complexos sob 
operações algébricas e transcendentes;
• Wessel - introduziu representação geométrica dos números complexos;
• Argand e Gauss - divulgaram e modernizaram a representação de Wessel e 
Gauss provou que os números complexos são necessários e suficientes para a 
Álgebra através do Teorema Fundamental da Álgebra;
• Ohm e Cauchy - elucidaram a multivocidade das operações algébricas e 
transcendentes sobre os complexos.
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o 
universo dos números naturais foi expandido amplamente e a terminologia inicial 
(números sofísticos em 1570 e números imaginários em 1650) acabou cedendo 
lugar à denominação atual: números complexos, em 1830.
 Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes 
de inúmeros campos da Ciência e Tecnologia. Atualmente, é impossível imaginar 
a engenharia elétrica, a aerodinâmica, a dinâmica dos fluidos, a mecânica quântica 
e a teoria da relatividade sem os números complexos. 
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Vamos recordar os conjuntos numéricos que já conhecemos. Inicialmente, 
temos o Conjunto dos Números Naturais (N), que surgiu com a necessidade da 
contagem.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Para atender a todas as subtrações, tornando-as sempre possíveis, esse 
conjunto foi ampliado e obtivemos o Conjunto dos Números Inteiros.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
TÓPICO 1 | CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
181
Da mesma forma, para atender à divisão, esse último conjunto foi ampliado 
e obtivemos o Conjunto dos Números Racionais, que podem ser escritos em fração 
com o numerador e denominador inteiros.
aQ x , com a ,b e b 0
b
 
= = ∈ ∈ ≠ 
 
    
Mesmo com todas estas ampliações, alguns problemas não possuem 
solução nestes conjuntos numéricos. Por exemplo, a diagonal de um quadrado de 
lado medindo 1 cm. 
Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos que a diagonal é igual à 2 cm, 
que é um número decimal que não pode ser escrito na forma a_b, com a є Z, b є Z e 
b ≠ 0. Logo, esse novo tipo de número é chamado de Número Irracional (Ir).
 
Da união dos Conjuntos dos Números Racionais e dos Irracionais surgem 
os Números Reais (R).
R = Q ∪ Ir
Porém, sabemos que ainda existem problemas que não encontramos solução 
no Conjunto dos Números Reais. Um exemplo disto é a equação x2 + 3 = 0, pois:
2
2
x 3 0
x 3
x = 3
+ =
= -
± -
e não existe um número que elevado ao quadrado resulte em -3. Com o intuito 
de responder a questões que em sua resolução apresentam raízes quadradas de 
números negativos, é que o Conjunto dos Números Reais foi estendido para obter 
um novo conjunto, chamado de Conjunto dos Números Complexos.
O Conjunto dos Números Complexos é representado pelo símbolo C, 
cujos elementos – os números complexos – podem ser somados, multiplicados e 
possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo. Esse conjunto 
pode ser assim definido:
C = {z | z = a + bi, com a ∈ R, b ∈ R e i² = -1}
onde z é o número complexo, a é a parte real de z e b é a parte imaginária de z.
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
182
Para ampliar o conceito de números, de modo que a radiciação seja 
sempre possível, definimos o número não real i, chamado unidade imaginária, 
que satisfaz a condição:
i2 = i • i = -1
2.1 A UNIDADE IMAGINÁRIA
A denominação “imaginário” pode serentendida como um recurso imaginativo 
da mente humana, visto que não existe um número “real” que elevado ao quadrado resulte 
em um número negativo.
UNI
Um número complexo é atualmente definido como um par ordenado (a, b), 
com a,b є R, que satisfaz as seguintes condições:
(a,b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) • (c, d) = (ac – bd, ad +bc)
Porém, um número complexo também pode ser escrito na forma a + bi, que é 
chamada de forma algébrica, que é a mais utilizada no cálculo, por ser a mais prática.
Um número complexo costuma ser indicado por z e, sendo z = a + bi, o número 
a é chamado de parte real de z, b é a parte imaginária de z e i é a unidade imaginária. 
Por exemplo, no número complexo z = 3 – 7i, a parte real é 3 e a parte imaginária é – 7.
3 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 1 | CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
183
Exemplo:
Nos números complexos (z) a seguir, determine qual é a parte real (a) e 
qual é a parte imaginária (b).
a) z = 1 + 3i, onde a = 1 e b = 3
b) z = -4 – i, onde a = -4 e b = -1
c) z = 6i, onde a = 0 e b = 6
d) z = 11, onde z = 11 e b = 0
e) z = 3 + 0,8i, onde a = 3 e b = 0,8
Observações:
• quando a ≠ 0 e b ≠ 0, temos z = a + bi e o número complexo é chamado de imaginário.
• quando a = 0 e b ≠ 0, temos z = 0 + bi = bi e o número complexo é chamado de 
imaginário puro.
• quando b = 0, temos z = a + 0i = a e o número complexo, neste caso, identifica-se com o 
número real a. Portanto, podemos considerar o complexo para qual b = 0 como um número 
real, o que nos permite afirmar que ⊂  ( leia-se: o conjunto dos reais é um subconjunto 
dos complexos).
NOTA
Outros exemplos que envolvem Números Complexos:
1) No conjunto dos números complexos, resolva as equações:
a) x² + 144 = 0
Resolução:
( )
2
2
x + 144 = 0
x = -144
x = ± -144
x = ± 144 . -1
x = ± 144 . -1
x = ±12 . i
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
184
Assim, o conjunto solução da equação é S = {-12i, +12i}.
b) x² – 6x + 13 = 0
Resolução:
Aplicando a fórmula para equações de 2º grau com a = 1, b = -6 e c = 13, temos
Assim, o conjunto solução da equação é S = {3 – 2i, 3 + 2i}.
2) Calcule o valor de m para que z = 3m – 6 + (m + 2)i seja:
a) imaginário;
b) imaginário puro; 
c) real.
2
2
 = b - 4ac
 = (- 6) - 4 . 1 . 13
 = 36 - 52
 = - 16
∆
∆
∆
∆
- b ± x = 
2a
- (-6) ± -16x = 
2 . 1
6 ± 16 . (-1)
x = 
2
6 ± 4 -1x = 
2
6 ± 4ix = 
2
∆
6 + 4ix' = = 3 + 2i
2
6 - 4i x" = 3 - 2i
2
=
Então
Resolução:
a) Para que z seja imaginário devemos ter:
Assim, z é imaginário se m for diferente de -2 e de 2.
b) Para que z seja imaginário puro devemos ter:
 3m - 6 0
 3m 6 e m + 2 0
 m 2 m -2
≠
≠ ≠
≠ ≠
 3m - 6 = 0
 3m = 6 e m + 2 0
 m = 2 m -2
≠
≠
TÓPICO 1 | CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
185
m 2 0
 m = -2
+ =
Assim, z é imaginário puro se m for igual a 2 e diferente de -2.
c) Para que z seja real devemos ter:
Assim, z é real se m = -2.
Dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e 
somente se, a = c e b = d. Em símbolos:
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Em particular: Se a + bi = 0, então, a = 0 e b = 0.
4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Não é definida a relação de ordem para os elementos dos complexos, ou seja, não 
se define que um número complexo é maior ou menor que outro.
NOTA
Exemplo:
Se z1= 8 + 10i e z2 = 2x – 5yi e z1 = z2, determine o valor de x e y.
Resolução:
z1= 8 + 10i, então a = 8 e b = 10.
z2 = 2x – 5yi, então c = 2x e d = -5y.
Como z1 = z2, então a = c e b = d.
Portanto, podemos escrever:
2x = 8 e - 5y = 10
 x = 4 y = -2
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
186
O oposto de um número complexo z = a + bi é o número complexo -z = -a – 
bi. Vale lembrar que um número complexo adicionado ao seu oposto é igual a zero, 
isto é, z + (– z) = 0.
z = a + bi ⇒ -z = -a – bi
Exemplos:
1) O oposto de z = -2 + 5i é o número complexo -z = 2 – 5i.
2) O oposto de z = 3 – 7i é o número complexo -z = -3 + 7i.
3) O oposto de -z = -1 – 4i é o número complexo z = 1 + 4i.
5 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
6 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi, define-se como complexo conjugado 
de z o complexo z = a – bi
 
z a bi z a bi= + ⇒ = -
Exemplos:
1) z = 4 + 5i ⇒ z = 4 – 5i
2) z = -3 – 2i ⇒ z = -3 + 2i
3) z = 8i ⇒ z = -8i
4) z = 10 ⇒ z = 10
Observe que dois números conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais 
e partes imaginárias opostas.
NOTA
187
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você estudou as características de um “novo” conjunto 
numérico, o conjunto dos números complexos.
Sobre o conjunto dos números complexos, é importante destacar:
• O conjunto dos números complexos é representado pelo símbolo . 
• A unidade imaginária i obedece à condição: i2 = i • i = -1.
• O número complexo é expresso algebricamente na forma z = a + bi, onde a é 
chamado de parte real de z, b é a parte imaginária de z e i é a unidade imaginária.
• Quando a e b forem diferentes de zero, o número complexo é chamado de 
imaginário, apresentando a forma algébrica z = a + bi.
• Quando a for zero e b for diferente de zero, o número complexo é chamado de 
imaginário puro, apresentando a forma z = bi.
• Quando b for zero, o número complexo será um número real, apresentando a 
forma z = a.
• Para que dois números complexos sejam denominados iguais, eles precisam 
obedecer à condição: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d.
• Se z = a + bi é um número complexo, então seu oposto é -z = -a – bi.
• O conjugado de um número complexo z = a + bi é o complexo z = a – bi.
188
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades referentes aos 
conceitos de números complexos, estudados neste tópico. Mãos à obra!
1 Para cada número complexo a seguir, qual o valor da parte real e da parte 
imaginária?
2 Resolva as seguintes equações, sabendo que U = C.
a) x² - 4x + 8 = 0
b) x² - 2x + 5 = 0
3 Determine o valor de x e y nas igualdades:
a) 3 + 5yi = x – 10i
b) (1 – x) + (3 – y)i = 4 + 6i
4 Dados os números complexos z1= 3 + 4i e z2 = a + bi, sendo que z1 = z2, defina 
o valor de a e b. 
5 Escreva o conjugado dos seguintes números complexos:
a) z = -i – 3
b) z = 5i + 8
c) z = -12i 
d) z = 6i – 4 
6 Qual o oposto do conjugado do número complexo z = 3 + 10i?
a) z 7 5i
1b) z 3i
4
c) z 3 5i
d) z 0
= -
= - +
= -
=
189
7 Considerando o número complexo z = (a – 5) + (b2 – 36)i, 
determinar os números reais a e b de modo que z seja:
a) um número real;
b) um número imaginário puro.
8 Seja z = a + bi, com {a, b} ⊂ R, demonstre que z = z, ∀z є C.
190
191
TÓPICO 2
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Você já deve ter estudado sobre a origem dos números e os tipos de 
marcações (dedos, pedras, nós em cordas, marcas em ossos) que nossos 
ancestrais utilizavam para contar. Levou algum tempo e muitas modificações 
até obtermos a forma de números que conhecemos hoje, compostos pelos 
algarismos indo-arábicos.
 
Essa “evolução” dos números ocorreu para facilitar o cálculo das atividades 
cotidianas, ou seja, para operar os números com mais agilidade.
Com os números complexos não poderia ser diferente. Portanto, neste tópico 
iremos aprender as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e 
divisão, bem como a potenciação desse conjunto numérico.
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dados dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, definimos:
• Adição: z1 + z2 = a + bi + c + di
E assim
1 2z + z = (a + c) + (b + d)i
• Subtração: z1 – z2 = z1 + (-z2) = a + bi + (-c – di) = a + bi – c – di
1 2z - z = (a - c) + (b - d)i
192
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Cuide com os sinais quando a, b, c ou d forem negativos. 
Por exemplo, se z
1
 = -1 + 5i e z
2
 = 3 – 4i. 
Adição: (-1 + 3) + (5 + (-4))i = 2 + (5 – 4)i = 2 + i. 
Subtração:(-1 – 3) + (5 – (-4))i = -4 + (5 + 4)i = -4 + 9i.
NOTA
Exemplo:
 
Vamos efetuar as seguintes adições e subtrações com números complexos:
a) (2 + 3i) + (-5 + i)
(2 – 5) + (3 + 1)i = -3 + 4i
b) (6 – 7i) + (9 – 3i)
(6 + 9) + (-7 – 3)i = 15 – 10i
c) (4 + 5i) + (2 – 5i)
(4 + 2) + (5 – 5)i = 6
d) (4 + 9i) – (3 – i)
(4 – 3) + (9 + 1)i = 1 + 10i
e) 13 – (5 + 6i) – 2i – (8 + 4i)
(13 – 5 – 8) + (-6 – 2 – 4)i = 0 + (-12)i = -12i
O Conjunto dos Números Complexos, conforme já exposto, é uma extensão do 
Conjunto dos Números Reais. Portanto, ao definir a adição em C, as propriedades associativa, 
comutativa, elemento neutro e elemento oposto são preservadas.
ATENCAO
As seguintes propriedades são válidas para ∀z1,z2,z3 ∈ C:
Propriedade Associativa:
 (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
193
Propriedade Comutativa:
 z1 + z2 = z2 + z1
Propriedade do Elemento Neutro:
 z + e = e + z = z
Denominamos o número complexo e = 0 + 0i de elemento neutro da adição 
de números complexos.
Propriedade do Elemento Oposto:
z + (-z) = (-z) + z = e
Para cada número complexo z existe um número complexo -z, que é oposto 
de z, cuja soma com z resulta no elemento neutro e = 0 + 0i.
3 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO
A multiplicação de números complexos segue a mesma regra de multiplicação 
de polinômios, considerando a condição da unidade imaginária, i2 = -1.
Vejamos o produto de dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + d:
z1 • z2 = ac + adi + bci + bdi2
z1 • z2 = ac + (ad + bc)i + bd • (-1)
z1 • z2 = ac – bd + (ad + bc)i
z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Portanto, podemos afirmar que a multiplicação de dois números complexos 
é dada por:
z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
1 2z . z (a + bi) . (c + di)=
Sentindo dificuldades para aplicar a fórmula da multiplicação de números 
complexos, pode-se simplesmente desenvolver a propriedade distributiva, conforme realizado 
na dedução da fórmula.
ATENCAO
194
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Exemplo 1:
Resolva as multiplicações que envolvem números complexos:
a) (2 + 4i) • (3 + 2i)
b) (3 + 2i)²
c) 
1 1i . 2i
3 2
   
+ -   
   
Resolução:
a) Pela propriedade distributiva:
(2 + 4i) • (3 + 2i) = 6 + 4i + 12i + 8i² = 6 + 16i + 8 • (-1) = -2 + 16i
Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos:
(2 + 4i) • (3 + 2i) = (2 • 3 – 4 • 2) + (2 • 2 + 4 • 3)i = -2 + 16i
b) Pela propriedade distributiva:
(3 + 2i)² = (3 + 2i) • (3 + 2i) = 9 + 6i + 6i + 4i² = 9 + 12i + 4 • (-1) = 5 + 12i
Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos:
(3 + 2i)² = (3 + 2i) • (3 + 2i) = (3 • 3 – 2 • 2) + (3 • 2 + 2 • 3)i = 5 + 12i
c) Pela propriedade distributiva:
( )21 1 1 2i i 1 4i 3i 1 i 12 13 ii . 2i 2i 2 . -1
3 2 6 3 2 6 6 6 6 6 6 6 6
   
+ - = - + - = - + - = - + = -   
   
Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos:
 1 1 1 1 1 1 1 2 1 13 ii . 2i . 1. ( 2) + . (-2) + 1 . i = 2 - i = 
3 2 3 2 3 2 6 3 2 6 6
           
+ - = - - + + + -           
           
Exemplo 2:
Escreva o conjugado do número complexo z = (2 + 5i) • (2 – 5i) – (9 + i).
Resolução:
z = (2 + 5i) • (2 – 5i) – (9 + i)
z = 2 • 2 + 2 • (-5)i + 5i • 2 – 25i2 – 9 – i 
z = 4 – 10i + 10i – 25 • (-1) – 9 – i
z = 4 + 0i + 25 – 9 – i
z = 20 – i
E seu conjugado é z = 20 + i.
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
195
Exemplo 3:
Efetue ( )( )2 3i 1 2i+ - .
( )( ) ( ) ( )22 i 1 i 2 i + - 6i 2 2i + 3i 6.(3 2 4 3 1 2i ) 6 2 3+ - = - = - - - = + + - +
Assim como ocorre na adição, na multiplicação de números complexos pretende-
se que esta seja extensão dos conceitos de multiplicação dos Reais. Em consequência, as 
propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso e distributiva 
devem ser preservadas.
ATENCAO
As seguintes propriedades são válidas para ∀z1,z2,z3 ∈ C:
Propriedade Associativa:
(z1 • z2) • z3 = z1 • (z2 • z3)
Propriedade Comutativa:
z1 • z2 = z2 • z1
Propriedade do Elemento Neutro:
z • u = u • z = z
Denominamos o número complexo u = 1 + 0i de elemento neutro da 
multiplicação de números complexos.
Propriedade do Elemento Inverso:
z • v = v • z = u
Para cada número complexo z ≠ 0 + 0i, existe um número complexo v, que é 
inverso de z, cuja multiplicação com z resulta no elemento neutro u = 1 + 0i.
196
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
No item 5 deste tópico, veremos com mais atenção o que são números inversos.
ESTUDOS FU
TUROS
Propriedade Distributiva:
z1 • (z2 + z3) = z1 • z2 + z1 • z3
e
(z2 + z3) • z1 = z1 • z2 + z1 • z3
4 DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O quociente de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di é definido por:
Assim,
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 + 1 . 5 + 3i2 + i 10 + 6i + 5i + 3i = =
5 - 3i 5 - 3i . 5 + 3i 25 + 15i - 15i - 9i
Como i = -1, temos
2 + 1 10 + 11i - 3 7 + 11i 7 11i= = = +
5 - 3i 25 + 0i + 9 34 34 34
1 1
22 2
2 . z
 
z z
=
z . zz
Exemplos: 
a) Calcule 2 i
5 3i
+
-
Resolução:
Multiplicar numerador e denominador da fração, pelo conjugado do 
denominador e aplicar a propriedade distributiva.
2 2Z 5 3i, logo z 5 3i= - = +
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
197
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
5 + i . -i5 + i - 5i - i . = 
i i . -i -i
Como i = - 1, temos
- 5i - -15 + i - 5i + 1= = = 1 - 5i
i -1- -1
Exemplo 2:
Qual o conjugado do número complexo z = 
8
2 2i-
?
Resolução:
Primeiramente, resolvemos a divisão assumindo z2 = 2 – 2i, cujo 
conjugado é 2z = 2 + 2i.
( )
( ) ( )
( )
z = 22
2
8. 2 + 2i 8 2 + 16i 8 2 + 16i= = =
2 - 4i2 - 2i 4 + 2i 2 - 2i 2 - 4i- 2i . 2 + 2i
Como i = - 1, e colocando 2 em evidência, temos
8 2 + 16i 8 2 + 16i 8 2 + 16i 8 2 16i 4 2 8iz = = = = + = +
6 6 6 3 32 - 4 . - 41
8
2
2 +
b) Calcule 
Resolução:
Multiplicar numerador e denominador da fração, pelo conjugado do 
denominador e aplicar a propriedade distributiva.
2 2z = i, logo z = -i
Assim,
198
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
5 INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado o número complexo não nulo z = a + bi, denominamos de inverso do 
número z o número 1
z
. E, indicamos:
Multiplicando a expressão 1
a bi+
 pelo seu conjugado, também podemos 
escrever:
Exemplo: 
Calcule o inverso do complexo z = 3 + 7i.
Resolução:
- 
  
  
  
-1
2 22 2 2
1 a - bi a - bi a - biz = = = 
a + bi a - bi a b a. + bi
 -1 1 1z = = 
z a + bi
( )
1
1
1
1
2
1
1
1
Pela propriedade distributiva:
1z
z
1z
3 7i
1 3 7iz
3 7i 3 7i
3 7iz
9 21i + 21i - 49i
3 7iz
9 49 . -1
3 7iz
9 49
3 7iz
58 58
-
-
-
-
-
-
=
=
+
  -
=   + -  
-
=
-
-
=
-
-
=
+
= -
1
2 2
1
2 2
1
1
1
Aplicando a fórmula:
a - biz
a + b
3 - 7iz
3 7
3 - 7iz
9 + 49
3 - 7iz
58
3 7iz - 
58 58
-
-
-
-
-
=
=
+
=
=
=
O conjugado, portanto, será :
4 2 8iz = -
3 3
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
199
6 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO COM 
EXPOENTES INTEIROS
Sendo z um número complexo qualquer, define-se de modo análogo ao das 
potências de base real: 
I) z0 = 1
II) z1 = z
III) zn = z • z • z • ... • z, com n є Z e n ≥ 2.
IV) z –n = 
n
1
z
, com z ≠ 0 e n є Z
Partindo da definição, vamos calcular algumas potências de i:
i0 = 1 i4 = i3 • i = (-i) • i = -i2 = -(-1) = 1
i1 = i i5 = i4 • i = 1 • i = i
i2 = -1 i6 = i5 • i = i2 = -1
i3 = i2 • i = -1 • i = -i i7 = i6 • i = -1 • i = -i
Observe que os resultados repetem-se de 4 em 4, com os resultados 1, i, 
-1 e -i. Portanto, para calcular potências do tipo in, basta dividir o expoente n por 
4 e analisar:
• se o resto for 0, então in = 1;
• se o resto for 1, então in = i;
• se o resto for 2, então in = -1;
• se o resto for 3, então in = -i.
Exemplo 1:
Calcule as seguintes potências de i:
a) 5i3
b) (3i)-4
c) i137
d) i -57
e) i5 + 5i10 + 2i3 – i4
f) 
25 18
22
i i
i
+
Resoluções:
a) 5i3 = 5 • (-i) = -5i
b) ( )
( )
4
4 4 4
1 1 1 13i
81 . 1 813 i3i
-
= = = =
200
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
c) Fazendoa divisão 137 : 4 obtemos resto 1 e, portanto, i137 = i1 = i
d) 57 57
1i
i
- =
Fazendo a divisão 57 : 4 obtemos resto 1 e, portanto,
( )
( ) ( )
-57
57 1 2
1 . -i1 1 1 -i -ii = = = = = = = - i
i i . -i - -1i i -i
e) Resolvendo cada potência de i separadamente:
Fazendo 5 : 4, o resto é 1 e temos i5 = i1 = i;
Fazendo 10 : 4, o resto é 2 e temos 5i10 = 5i2 = 5 . (-1) = -5;
Para 2i3, temos 2 . (-i) = -2i;
E finalmente, i4 = 1.
Assim,
i5 + 5i10 + 2i3 – i4 = i + (-5) + (-2i) – 1) = i – 5 – 2i – 1 = -6 – i.
f) Resolvendo cada potência de i separadamente:
Fazendo 25 : 4, o resto é 1 e temos i25 = i1 = i;
Fazendo 18 : 4, o resto é 2 e temos i18 = i2 = -1;
E fazendo 22 : 4, o resto é 2 e temos i22 = i2 = -1;
Assim, ( )25 18
22
i + -1i + i = = 1 - i
-1i
Exemplo 2:
Simplifique a expressão 
15 16
17 18
i + i
i - i
.
Resolução:
Resolvendo cada potência de i separadamente:
Fazendo 15 : 4, o resto é 3 e temos i15 = i3 = -i;
Fazendo 16 : 4, o resto é 0 e temos i16 = i0 = 1;
Fazendo 17 : 4, o resto é 1 e temos i17 = i1 = i;
Fazendo 18 : 4, o resto é 2 e temos i18 = i2 = -1;
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
201
Da mesma forma que ocorre na adição e na multiplicação de números complexos, 
na potenciação de números complexos também se mantêm as propriedades válidas na 
potenciação dos números reais.
ATENCAO
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
15 16
17 18
15 16 2
17 18 2
i i - i + 1 1 - iAssim, 
i - (-1) 1 ii - i
Aplicando o conjugado de 1 + i, temos:
1 - i . 1- i 1 - 2i + -1i i 1 - i - i + i - 2i -i
21 i . 1- i 1 - -1i - i 1 - i + i - i
+
= =
+
+
= = = = =
+
Propriedades das potências de números complexos:
Sendo z e w dois complexos quaisquer e m e n є Z, temos que:
I. zm • zn = zm+n;
II. 
m
m-n
n
z z
z
= , com z não nulo;
III. ( )nm m.nz z= ;
IV. ( )m m mz . w z . w= ;
V. 
m m
m
z z
w w
 
= 
 
, com w não nulo.
Veja outros exemplos:
Calcule:
a) (1 + i)250
b) 
8
1 + i
1 - i
 
 
 
202
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Resoluções:
a) Usando a propriedade III podemos escrever:
b) Usando a propriedade III podemos escrever:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )125 125 125250 2 . 215 2 1252 125 125
125 1
250 125 125 125
1 + i 1 + i = 1 + i 1 + 2i + i 1 + 2i + -1 2i 2 . i
Fazendo 125 : 4, o resto é 1, então i i i, e assim
(1 + i) 2 . i 2 i
= = = = =
= =
= =
( )
( )
( )
( )
48 2.4 2
4 42 48 2
2 2
1 + i 1 + i 1 + i
1 - i 1 - i 1 - i
E usando a propriedade II temos:
1 + 2 1 + 2i + -11 + i 1 + 2i + i 2i
1 - i 1 - 2i + -11 - 2i + i1 - i
       = =            
       = = = =            
( )
4
4
-1 1
-2i
 
= = 
 
203
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você viu que:
Como os números complexos são uma extensão dos reais, as propriedades 
das operações em R continuam valendo em C.
Dados dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, definimos:
• Adição: 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
• Subtração:
z1 - z2 = (a - c) + (b – d)i
• Multiplicação: 
z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Divisão:
• Potenciação: 
z0 = 1
z1 = z
zn = z • z • z • ... • z, com n є Z e n ≥ 2.
z –n = 
n
1
z
, com z ≠ 0 e n є Z
• Potências de in: de período 1, i, -1 e -i. Para resolvê-las basta dividir o expoente 
por 4 e verificar se o resto:
− for 0, então in = 1;
− for 1, então in = i;
− for 2, então in = -1;
− for 3, então in = -i.
1 1 2
2 2 . 2
z z . z
z z z
=
204
AUTOATIVIDADE
( )( )a) 4 i 2 i
1 1b) i i
4 4
+ -
  
+ -  
  
( )
( )( )( )
2
d) 
c) 5 2i
2 i 2 i 3 2i
- +
+ - +
4 Calcule os seguintes quocientes:
2 i 5 4ia) b) c) 
3 4i 1 i 6 i
+
- + +
Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora, chegou 
a sua vez de colocar em prática os conceitos estudados neste tópico. 
1 Realize as seguintes operações e calcule o inverso em cada uma delas:
a) (4 + 3i) + (3 – i)
b) (-2 + 12i) – (6 + 11i)
c) (9 – 7i) + (14 – 8i) – (-2 – 10i) + (-15 + 4i)
2 Considerando os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, prove as seguintes 
propriedades do conjugado:
a) 1ª propriedade: o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 
1 2 1 2z z z z+ = +
b) 2ª propriedade: o conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados: 
1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅
c) 3ª propriedade: o produto de um número complexo pelo seu conjugado é 
um número real não negativo: 1 2z . z x= , com x є R. (Dica: x = a² + b²).
3 Efetue as multiplicações com números complexos:
205
6 Resolva as potências de i:
a) i5 + 5i10 + 2i3 – i4
b) -3i383 + i281 – (3i)3 + 5i180
c) 
32 98 57
92 310
i i - 3i
i - i
+ 
7 Efetue:
a) (2 + 5i)²
b) (4 – i)³
8 Sendo i a unidade imaginária, calcule (1 – i)44.
5 Sendo z1 = 3 + 2i, z2 = 1 – i e z3 = 5 + 4i, calcule:
a) 2z1 – 3 2z + z3
b) z1 • z2 • 3z
c) 
2
1
2
2
3z 2z
z
+ 
206
207
TÓPICO 3
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE 
UM NÚMERO COMPLEXO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
O impasse surgido com a descoberta da solução da equação cúbica 
permaneceu sem solução durante mais de dois séculos.
 Não houve nenhum progresso nesse assunto, muito embora, nesse 
intervalo, grandes gênios da Matemática, como Newton e Leibniz, tivessem 
feito extraordinárias descobertas no campo da matemática dos números reais, 
relativas ao cálculo infinitesimal e integral.
A sistematização da teoria dos números imaginários só começou a ocorrer 
a partir do final do século XVIII, portanto, cerca de 250 anos depois da época 
em que surgiram os problemas que obrigaram os matemáticos a considerar a 
existência de uma nova categoria de números.
Essa sistematização teve seu principal impulso com a representação 
gráfica dos números imaginários, introduzida inicialmente por Caspar Wessel 
(1745-1818), que a publicou na Academia Dinamarquesa de Ciências e Letras. 
Entretanto, sua obra permaneceu quase que totalmente desconhecida, e só cem 
anos depois é que veio a surgir para o mundo científico.
Em 1806, Jean Robert Argand (1768-1822) também publicou um ensaio 
sobre a representação geométrica dos imaginários. Finalmente, o grande 
matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855), em 1831, formulou com precisão 
a “equivalência matemática da Geometria plana ao domínio do número 
complexo”, ou seja, introduziu também a representação gráfica dos números 
complexos, essencialmente a mesma de Wessel e Argand.
Embora Wessel tenha sido o primeiro a descobrir essa representação, o 
mérito da descoberta ficou associado aos nomes de Gauss e Argand, de modo 
que o plano dos números complexos é usualmente chamado de Plano de 
Argand-Gauss.
FONTE: CAVALCANTI, J, C. A representação geométrica dos novos números. Disponível em: 
<http://www.desenredo.com.br/Matematica/NumerosComplexos4.htm>.Acesso em: 22. Jul. 2010.
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
208
2 PLANO DE ARGAND-GAUSS
O plano de Argand-Gauss, também chamado de plano complexo, é um 
plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. 
Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e 
a parte real pela abcissa. 
Convencionou-se, então, associar o número complexo z = a + bi ao ponto 
P(a, b). Desta forma, um número complexo z = 4 + 3i pode ser representado através 
do ponto afixo P(4, 3) no plano de Argand-Gauss.
Exemplo: 
Representar no plano de Argand-Gauss as imagens dos seguintes números 
complexos:
z1 = 2 + 3i
z2 = -3 + i
z3 =-1 – 2i
z4 = 3 – i
z5 = 2i
z6 = 4
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
209
Resolução:
Aos números z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ e z₆ associamos os pontos determinados 
pelos pares ordenados de números reais (2,3), (-3,1), (-1,-2), (3,-1), (0,2) e (4,0), 
respectivamente.
Assim, temos:
3 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Consideremos o número complexo, não nulo, z = a + bi e o ponto P(a, b) 
que o representa.
Calculemos, agora, a distância р (letra grega: rô) entre os pontos O e P.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo destacado na 
figura, temos:
рUNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
210
A grandeza р é chamada de módulo de z e também pode ser indicada por 
|z|. Logo
Exemplo: 
Determine o módulo dos seguintes números complexos:
2 2p = a + b
2 2z = a + bi = p = a + b
( )
2 2
22
a) z 3 4i
Resolução:
Temos a = 3 e b = - 4, então
z a b
z 3 4
z 9 16
z 25
z 5
E assim, p = 5.
= -
= +
= + -
= +
=
=
( ) ( )
2 2
2 2
b) z 3 i
Resolução:
Temos a = 3 e b = -1, então
z a b
z 3 1
z 3 1
z 4
z = 2
E assim, p = 2.
= -
= +
= + -
= +
=
( )
2 2
22
c) z 6i
Resolução:
Temos a = 0 e b = -6, então
z a b
z 0 6
z 0 36
z 36
z 6
E assim, p = 6
= -
= +
= + -
= +
=
=
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
211
2 2
2 2
1d) z
2 3
Resolução:
1 1Temos a = e b = , então
2 3
z a b
1 1z
2 3
1 1z
4 9
z
13z
36
13z
36
13z
6
13E
i
9 4
36 36
 assim, p = 
6
= +
= +
   
= +   
   
= +
=
=
=
=
+
( )( )
( )2
2 2
2 2
e) z 1 i 2 3i
Resolução:
Primeiro simplificamos a expressão:
z = 2 + 3i - 2i -3i 2 + i - 3 . -1 5 i
E assim, z = 5 + i.
Temos a = 5 e b = 1, então
z a b
z 5 1
z 25 1
z 26
E assim, p = 26.
= - +
= = +
= +
= +
= +
=
4 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Consideremos ainda o número complexo, não nulo, z = a + bi e o ponto P(a, 
b) que o representa.
р
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
212
Denomina-se argumento do número complexo z, não nulo, a medida do 
ângulo θ (letra grega: teta), formado pelo eixo real e a reta-suporte do segmento 
OP , no sentido anti-horário, conforme indicado na figura.
Todo número complexo não nulo tem uma infinidade de argumentos, dois 
quaisquer deles diferindo entre si por um múltiplo de 2π. Entretanto, o argumento 
que pertence ao intervalo [0, 2π[ é chamado de Argumento Principal e é indicado por:
θ = Arg(z)
Observe na figura que:
 a b = e = 
p p
cosθ senθ
Em geral, quando pedimos o argumento de um número complexo estamos nos 
referindo ao argumento principal desse número.
ATENCAO
Exemplo:
Determine o argumento dos seguintes números complexos:
a) z = 3 + 3i
Resolução:
Primeiramente, calculamos o módulo de z:
Temos, a = 3 e b = 3, então
2 2
2 2
z a b
z 3 3
z
z 9 . 2
z 3 2
9 9
= +
= +
=
=
=
+
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
213
E assim, р = 3 2 .
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, θ = 45°, ou seja, θ = π_
4
 rad.
b) z = 1 – 3 i 
Resolução:
Primeiramente, calculamos o módulo de z:
Temos, a = 1 e b = – 3 , então
E assim, р = 2.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
a 
p
3 
3 2
1 
2
2 
2
=
=
=
=
cosθ
cosθ
cosθ
cosθ
b 
p
3 
3 2
1 
2
2 
2
=
=
=
=
senθ
senθ
senθ
senθ
e
( )
2 2
2
2
z a b
z 1 3
z 1 3
z 4
z 2
= +
= + -
= +
=
=
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
214
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores 
do seno ou do cosseno. Observe que o valor do cosseno do argumento é positivo, 
enquanto que o seno do argumento é negativo, logo, o argumento encontra-se no 
4º quadrante.
a 
p
1 
2
=
=
cosθ
cosθ
a 
p
3 
2
=
-
=
senθ
senθ
e
Desta forma, θ = 300°, ou seja, θ = 5π__
6
 rad.
c) z = 1 + i
Resolução:
Primeiramente, calculamos o módulo de z:
Temos, a = 1 e b = 1, então
E assim, р = 2 .
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, θ = 45°, ou seja, rad
4
π
θ = .
2 2
2 2
z a b
z 1 1
z 1 1
z 2
= +
= +
= +
=
a
p
1
2
2
2
=
=
=
cosθ
cosθ
cosθ
b
p
1
2
2
2
=
=
=
senθ
senθ
senθ
e
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
215
d) z = -3i
Resolução:
Primeiramente, calculamos o módulo de z:
Temos, a = 0 e b = -3, então
( )
2 2
22
z a b
z 0 3
z 9
z 3
= +
= + -
=
=
E assim, р = 3.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Observe que, como o valor do cosseno é zero, o argumento 
encontra-se sobre o eixo dos senos. E como o valor do seno é -1, podemos dizer que 
o argumento é θ = 270°, ou seja, θ = 3π__
2
 rad.
cosθ
cosθ
cosθ
a
p
0
3
0
=
=
=
senθ
senθ
senθ
b
p
-3
3
-1
=
=
=
e
216
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você estudou que:
• O plano de Argand-Gauss é um plano cartesiano usado para representar 
números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número 
complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa.
• Um número complexo z = a + bi é representado geometricamente pelo afixo P(a, b).
• A grandeza р é chamada de módulo de z e pode ser indicada por |z| = |a + bi| = 
2 2a b+ .
• O argumento de um número complexo z, não nulo e que pertence ao intervalo 
[0, 2π[, é chamado de Argumento Principal e é indicado por 
θ = Arg(z).
Lembre-se que: a b = e = 
p p
cosθ senθ .
217
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à 
averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 Determine os números complexos correspondentes aos afixos A, B, C, D, E, F 
e G no plano de Argand-Gauss a seguir:
2 Determine o módulo e o argumento dos seguintes números complexos:
a) z = 3 + 4i
b) z = -1 – 3 i
c) z = 2 + i
d) z = 4i
e) z = (1 – i)(2 + 3i)
a _________________
b _________________
c _________________
d _________________
e _________________
f _________________
g _________________
3 Represente graficamente os afixos dos seguintes números complexos:
a) z1 = -3 + 2i
b) z2 = 5 +6i
c) z3 = -1 + 4i
d) z4 = 5 – i
e) z5 = -3i
f) z6 = 4
218
4 Determine o módulo de 2 2iz
3 2i
+
=
+
. 
5 Encontre o valor de z, sabendo que 1_
z
 e 1 - z possuem o mesmo módulo.
6 Calcule o módulo, o argumento e faça a representação geométrica do 
complexo z = 3 + i.
219
TÓPICO 4
FORMA TRIGONOMÉTRICA 
DE UM NÚMERO COMPLEXO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + 
bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z e que este 
número pode ser representado geometricamente pelo afixo P(a, b).
Neste tópico veremos que os números complexos também possuem uma 
forma trigonométrica, ou forma polar, que é um caso particular da utilização das 
coordenadas polares. Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos 
envolvendo potenciações e radiciações.
2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS 
COMPLEXOS
Dado o número complexo z = a + bi, de modo que z ≠ 0.
Das expressões
cosθ = a
p
 e senθ = b
p
 podemos escrever a = p.cosθ e b = p.senθ.
Substituindo em z = a + bi, temos z = р cosθ + р senθ • i, ou então
z = р • (cosθ + i • senθ)
Esta é a chamada forma trigonométrica ou polar do número complexo z.
Exemplo 1:
Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = 1 + 3 i.
Resolução:
Temos a = 1 e b = 3 , então:
220
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
E assim, р = 2.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é θ = 60°, ou seja, θ = 
π_
3
 rad.
Escrevemos a forma trigonométrica do número complexo através da 
expressão:
z = р • (cos θ + i • senθ)
z = 2 • (cos 60° + i • sen60°)
ou 
 z 2 cos i . sen3 3
π π 
= + 
 
 
Exemplo 2: 
Escreva o número complexo z = 4 cos i . sen
3 3
π π 
+ 
 
 na forma algébrica.
Resolução:
Basta resolver a expressão:
( )
2 2
2
2
z a b
z 1 3
z 1 3
z 2
= +
= +
= +
=
a b = 
p p
1 3 = 
2 2
=
=
cosθ
cosθ
senθ
senθ
e
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
221
z 4 cos i . sen
3 3
1 3z 4i . 
2 2
4 4 3iz 
2 2
z 2 2 3i
π π 
= + 
 
 
= +  
 
= +
= +
Assim, a forma algébrica de z é dada por 2 2 3i+ .
3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dados os números complexos não nulos z1 = р1 • (cos θ1 + i • senθ1) 
e z2 = р2 • (cos θ2 + i • senθ2), temos:
• Produto z1 • z2
z1 • z2 = (р1(cos θ1 + i senθ1)) • (р2 • (cos θ2 + i • senθ2))
z1 • z2 = р1(cos θ1 + i senθ1) • р2(cos θ2 + i • senθ2)
z1 • z2 = р1р2(cos θ1 + i senθ1) • (cos θ2 + i • senθ2)
z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 + cos θ1 • i senθ2 + i senθ1 cos θ2 + i² • senθ1 senθ2)
z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 + cos θ1 • i senθ2 + i senθ1 cos θ2 – senθ1 senθ2)
z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 – senθ1 senθ2 + i cos θ1 senθ2 + i senθ1 cos θ2)
Lembrando que :
(cos θ1 cos θ2 – senθ1 senр2) = cos (θ1 + θ2) e (cos θ1 senθ2 + senθ1 cos θ2) = sen 
(θ1 + θ2)
Temos:
z1 • z2 = р1р2 • (cos (θ1 + θ2) + i(sen (θ1 + θ2))
222
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Veja que o produto z
1
 • z
2
 é um número complexo cujo módulo é o produto dos 
módulos e cujo argumento é a soma dos argumentos dos fatores.
A fórmula obtida também tem validade para n fatores:
z
1
 • z
2
 • z
3
 • ... • z
n
 = р
1
 • р
2
 •... • р
n
 • (cos (θ
1
 + θ
2
 + ... + θ
n
) + i(sen (θ
1
 + θ
2
 + ... + θ
n
))
NOTA
Quociente 
z1__
z2
, sendo z1 ≠ z2 e z2 ≠ 0.
Lembrando que ( )2 2 2 2z p cos isenθ θ= -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 2 2 21
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 21 1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2
1 11 1
2 1 2 1 21
2
2 2 2 2
p cos is
p cos isen p cos isenz
z p cos isen p cos isen
p p cos isen cos isenz
z p p cos ise
enz
z p cos ise
n cos isen
p p cos cos icos sen isen cos
n
z
z
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ
+ -
=
+ -
+ -
=
+ -
- +
=
+
=
+
�
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
2
1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2 1 21
2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2 1 21
2 2
2 2 2
i sen sen
p cos cos icos sen isen cos i sen sen
p p cos cos icos sen isen cos 1 sen senz
z p cos 1 sen
p p cos cos icos sen isen cos sen senz
z p cos
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
-
- + -
- + - -
=
- -
- + +
=
( )
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 21
2 2 2
2 2 2 2
sen
p p cos cos + sen sen i sen cos cos senz
z p cos sen
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
+
+ -
=
+
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
223
Como
Temos:
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
cos cos sen sen cos
sen cos cos sen sen 
cos sen 1
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
+ = -
- = -
+ =
( ) ( )( )1 1 1 2 1 2
2 2
z p
cos isen
z p
θ θ θ θ= ⋅ - + -
Veja que o quociente 
z
1__
z
2
 é um número complexo cujo módulo é o quociente dos 
módulos e cujo argumento é a diferença dos argumentos do dividendo e do divisor.
ATENCAO
Exemplo:
 
Dados 1 2
3 3z 6 cos i . sen e z 2 cos i . sen 
2 2 2 2
π π π π   
= + = +   
   
, calcule:
a) z1 • z2
Resolução:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
z z p p cos isen
3 3z . z 6 . 2. cos isen
2 2 2 2
4 4z . z 12. cos isen
2 2
z . z 12. cos 2 isen 2
. θ θ θ θ
π π π π
π π
π π
= + + +
    
= + + +    
    
    
= +    
    
= +
224
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
b) 
z1__
z2
Resolução:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1
1 2 1 2
2 2
1
2
1
2
1
2
z p
cos isen
z p
z 6 3 3cos isen
z 2 2 2 2 2
z 2 23. cos isen
z 2 2
z
3. cos isen
z
θ θ θ θ
π π π π
π π
π π
= ⋅ - + -
    
= ⋅ - + -    
    
    
= +    
    
= +
4 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA 
TRIGONOMÉTRICA
Sendo z um número complexo não nulo, z = р • (cos θ + i • senθ) sua forma 
trigonométrica e n um número inteiro maior que 1, temos:
Que pode ser reescrito como
n n
n fatores n parcelas n parcelasn fatores
z z z z ... z z p p p ... p cos ... isen ...θ θ θ θ θ θ θ θ
    
    = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + + +
        
  
zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ))
Esta fórmula é conhecida como a 1ª Fórmula de Moivre (1667-1754), que foi um 
importante matemático francês. 
Leia mais sobre ele em <http://ecalculo.if.usp.br/historia/demoivre.htm>.
DICAS
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
225
Exemplo 1:
Dado 1 3z i
2 2
 
= +  
 
, calcule z10.
Resolução:
Temos a = 1
2
 e b = 3
2
, então:
E assim, р = 1.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é θ = 60°, ou seja, θ = 
π_
3
rad.
Escrevemos a forma trigonométrica do número complexo através da 
expressão z = р • (cos θ + i • senθ)
2 2
22
z a b
1 3z
2 2
1 3z
4 4
4z
4
z 1
z 1
= +
  
= +        
= +
=
=
=
e
cosθ
cosθ
cosθ
a
p
1
2
1
1
2
=
=
=
senθ
senθ
senθ
b
p
3
2
1
3
2
=
=
=
226
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
z = 1 • (cos 60° + i • sen60°)
ou 
z = cos i sen 3 3
π π 
+ ⋅ 
 
Para calcular z10, basta aplicar a 1ª fórmula de Moivre:
zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ))
E assim, na forma trigonométrica, 10 10 10z cos isen
3 3
π π   
= +   
   
.
E, verificando que 10 1 10 3cos e que sen 
3 2 3 2
π π   
= - = -   
   
, podemos 
escrever a forma algébrica 10 1 3z i
2 2
= - - .
Exemplo 2:
Sendo 
7 7z 2 cos i sen 
3 3
π π    
= +    
    
, calcule z -9.
Resolução:
Sabemos que z -9 = 
1__
z9
 e que zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ)), então:
E assim, na forma trigonométrica, ( ) ( )( )9z 512 cos 21 isen 21π π= + .
E, verificando que ( ) ( )cos 21 1 e que sen 21 0π π= - = , podemos escrever a 
forma algébrica
10 10
10
z 1 cos 10 i sen 10
3 3
10 10z 1 cos i sen 
3 3
π π
π π
    
= ⋅ + ⋅    
    
    
= +    
    
( ) ( )( )
9 9
9
9
z 2
63
7 7cos
63z 512 cos
9. is
 isen
3 3
z 512 cos 21 isen
en 9.
3
 21
3
π
π π
π
π
π
=
    
= +    

    
+    
   
   
= +
 
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
227
( ) ( )( )
( )
9
9
9
z 512 cos 21 isen 21
z 512 1 i . 0
z 512
π π= +
= - +
= -
Assim:
9
9
9
9
1z
z
1z
512
1z
512
=
=
-
=
-
5 RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA 
TRIGONOMÉTRICA
Chamamos de raiz enésima do número complexo z = р(cosθ + i senθ) a 
todo complexo w, tal que wn = z, com n є N e n ≥ 2.
Exemplos:
• o número i é uma raiz quadrada de -1, pois i2 = -1;
• o número -2i é uma raiz quarta de 16, pois (-2i)4 = 16;
• o número 3i é uma raiz cúbica de -27i, pois (3i)3 = -27i;
Dado um número complexo z, onde z = р(cosθ + i senθ) é sua forma 
trigonométrica e zw = рw (cosθw + i senθw) uma de suas raízes enésimas.
Pela definição dada, podemos escrever nwz = z e, aplicando a 1ª Fórmula de 
Moivre, temos:
n
wz = z
( ) ( )( ) ( ) ( )( )nw w wp cos n isen n p cos isenθ θ θ θ+ = +
Desta igualdade, podemos concluir:
( )
( )
n n
w w
w
w w
w
(1) p p p 
cos n cos k . 2(2) n k . 2 
nsen n sen 
p
θ θ θ πθ θ π θ
θ θ
= ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ =
= 
228
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Substituindo (1) e (2) em zw = рw (cosθw + i senθw), temos:
n
w
2 2z p. cos isen
n n
k kθ π θ π    + ⋅ + ⋅
= +    
    
Esta é a 2ª Fórmula de Moivre. Nela, 2
n
kθ π+ ⋅ deve pertencer ao intervalo 
[0, 2π[, pois é o argumento de zw.
Como k є Z, vejamos os possíveis valores de k:
Generalizando:
Estes n valores de θw não são côngruos, pois a diferença entre dois quaisquer 
deles é inferior a 2π e, por isso, estão todos no intervalo [0, 2π[ originando a n 
valores distintos para zw.
Se k = n, temos:
Este valor é importante por ser côngruo a θ_
n
, que é o valor obtido quando k = 0.
O mesmo ocorre se k = -1, -2, -3, ... ou k = n + 1, n + 2, n + 3, ..., portanto, k 
deve variar de 0 a n – 1, dando origem às enésimas raízes distintas de z.
Exemplo 1:
Determine as raízes quadradas do complexoz = 2 3 + 2i.
0
1
2
k 0
n
2 2k 1
n n n
4 4k 2
n n n
θθ
θ π θ πθ
θ π θ πθ
= ⇒ =
+
= ⇒ = = +
+
= ⇒ = = +
( ) ( )
n 1
2 n 1 2 n 1
k n 1
n n n
θ π πθθ -
+ - -
= - ⇒ = = +
2
2n 2nk n 2
n n n n
θ π θ π θθ π+= ⇒ = = + = +
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
229
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular o valor o módulo de z:
Temos a = 2 3 e b = 2, então
E assim р = 4.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
( ) ( )
2 2
2 2
22
z a b
z 2 3 2
z 2 3 4
z 4 3 4
z 16
z 4
= +
= +
= +
= ⋅ +
=
=
e
cosθ
cosθ
cosθ
a
p
2 3
4
3
2
=
=
=
senθ
senθ
senθ
b
p
2
4
1
2
=
=
=
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é 
π_
6
 rad.
As raízes quadradas (n = 2) são obtidas por:
w
2
w
n 2 2z . cos isen
n n
k 2 k 2
6 6z 4 cos isen 
2 2
p k kθ π θ π
π ππ π
    + ⋅ + ⋅
= +    
    
    
+ ⋅ + ⋅    
 = +   
            
230
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Como k deve variar de 0 à n – 1, calculamos as raízes quadradas com k 
= 0 e k = 1:
( )
( )
0 0
1 1
k 0 w 2 cos isen w 2 cos15 isen15 
12 12
13 13k 1 w 2 cos isen w 2 cos15 isen15 
12 12
π π
π π
    
= ⇒ = + ⇒ = ° + °    
    
  
= ⇒ = + ⇒ = - ° - °  
  
Assim, as raízes quadradas de 2 3 + 2i são
 ( ) ( )2 cos15 isen15° e 2 cos15 isen15°° + - ° - .
Exemplo 2:
Determine as raízes cúbicas de 8.
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular o valor o módulo de z:
Temos a = 8 e b = 0, então
E assim р = 8.
Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:
2 2
2 2
z a b
z 8 0
z 64
z 8
= +
= +
=
=
e
cosθ
cosθ
cosθ
a
p
8
8
1
=
=
=
senθ
senθ
senθ
b
p
0
8
0
=
=
=
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
231
Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do 
seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é 0° ou 0 rad.
As raízes cúbicas (n = 3) são obtidas por:
Como k deve variar de 0 à n – 1, calculamos as raízes quadradas com k = 0, 
k = 1 e k = 2:
n
w
3
w
w
2 2z cos isen
n n
0 2 0 2z 8 cos isen
3 3
2 2z 2 cos ise 
3 3
n
p
    + ⋅ + ⋅
= ⋅ +    
    
   + ⋅ + ⋅
= +
   
   

  
   
 ⋅ ⋅
= + 
   
k k
k k
k k
θ π θ π
π π
π π
Assim, as raízes cúbicas de 8 são os números 2, – 1 + 3 e – 1 – 3
( ) ( )( ) ( )0 0 0
1 1 1
2 2 2
k 0 w 2 cos 0 isen 0 w 2 1 i 0 w 2
2 2 1 3k 1 w 2 cos isen w 2 i w 1 3i
3 3 2 2
4 4 1 3k 2 w 2 cos isen w 2 i w 1 3i
3 3 2 2
π π
π π
= ⇒ = + ⇒ = + ⋅ ⇒ =
     
= ⇒ = + ⇒ = - + ⇒ = - +             
     
= ⇒ = + ⇒ = - - ⇒ = - -             
6 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE NÚMEROS 
COMPLEXOS
A escola, no decorrer dos séculos, se transformou na instituição responsável 
por garantir às gerações mais jovens os conhecimentos e os valores legitimados 
pelas gerações mais antigas, que os produziram e os consolidaram. Portanto, a 
função social da escola vem sendo a de ensinar às novas gerações a lógica sob a 
qual esta mesma sociedade foi estruturada.
A matemática originou-se a partir da necessidade humana material. 
Neste contexto cabe à escola buscar estratégias para que o aluno abstraia estas 
ideias a fim de transformá-las em conceitos. É nesta etapa do processo de ensino-
aprendizagem que a Matemática passou a ser, para muitos, difícil e chata, pois a 
linguagem matemática tornou-se formal, precisa e rigorosa.
Atualmente, o “ensino mecânico” já não supre as necessidades básicas para 
a formação de um cidadão ativo na sociedade, visto que vivemos num mundo 
232
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
moderno, com um fantástico avanço tecnológico, que se move com o auxílio de 
pessoas dinâmicas, criativas, sociáveis, coerentes e que saibam buscar informações.
 
Este panorama exige uma nova postura frente ao ensino que se ministra. 
É necessário renovar constantemente a prática docente para poder acompanhar as 
mudanças que ocorrem rapidamente à nossa volta. Como mediador e não apenas 
transmissor de conhecimentos, é importante fazer com que o aluno possa também 
participar de seu aprendizado, se tornando um ser ativo, pensante e agente. 
À medida que vamos nos integrando ao que se denomina uma sociedade 
da informação crescentemente globalizada, é importante que a Educação 
se volte para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de 
resolver problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de 
aperfeiçoar conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente. 
(PCN´S, 2000, p.40)
Nesse sentido, é necessário lembrar que a apropriação do conhecimento 
matemático se dá por um trabalho gradativo, interativo e reflexivo. Portanto, o 
professor deve perceber a forma de raciocinar, elaborar e resolver determinados 
problemas e assim ser o mediador entre o conhecimento historicamente produzido 
e sistematizado e aquele adquirido socialmente pelo aluno.
Assim, a introdução de novos métodos de ensino é oportunidade de 
desenvolvimento, pois desta forma o aluno experimenta, descobre, inventa, 
aprende e confere habilidades. Este espaço é importante para que haja o exercício 
da relação afetiva do aluno com o mundo, com as pessoas e com os objetos, pois 
proporciona um ensino significativo para o aluno, de acordo com sua realidade.
Logo, para que o ato de aprender seja significativo para o aluno, o ato de 
ensinar deve estar diretamente ligado com sua realidade e, acima de tudo, deve ter 
informações e ensinamentos importantes no meio onde vive.
Considerando esse contexto, é importante que o ensino dos números 
complexos no Ensino Médio seja contemplado, primeiramente, com a história do 
surgimento deste conjunto numérico.
É fundamental inserir os fatos abordados (descobertas matemáticas) no 
momento histórico em que aconteceram, tornando a disciplina mais atraente e concreta 
ao aluno. Esse trabalho pedagógico pode ser um bom instrumento de motivação da 
aprendizagem, tão necessária e tão difícil de ser atingida em nossa prática escolar. 
A motivação refere-se à carga energética colocada no ato de conhecer. [...] 
A aprendizagem significativa depende, além do nível de representação, 
da carga afetiva envolvida. Tal colocação nos leva a pensar sobre o 
papel do aluno como corresponsável pela motivação, como um dos 
agentes de um bom clima durante as aulas, como alguém que, também, 
é um provocador. Querendo conhecer sempre mais, instiga o professor 
a produzir mais. Nesse ponto é fundamental fazer da sala de aula 
um ambiente de boas relações interpessoais para que se descubra a 
melhor maneira de trabalhar o assunto a ser tratado. Mais uma vez, a 
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
233
Matemática nas mãos de um bom contador de histórias para facilitar a 
interação professor-aluno. Um trabalho que será uma conquista diária, 
propiciada não pela vontade de querer agradar uma classe, mas pela 
clareza de objetivos. (MAESTRI, 1999, p. 11).
Cada novo conteúdo fundamenta-se em conceitos básicos, que foram 
desenvolvidos durante séculos. Um exemplo disto é a abordagem histórica 
realizada neste Caderno de Estudos.
Na matemática, a utilização de desafios pode ser um elemento significativo 
na compreensão dos conteúdos, pois é uma forma lúdica de aprender que conquista 
facilmente o interesse do aluno.
A prática dos desafios matemáticos estimula que o aluno passe por todos 
os processos de formação do pensamento matemático. 
Um exemplo de desafio para o estudo dos números complexos é um exercício 
de vestibular da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Veja:
Um quadrado mágico é um quadriculado com n2 quadrados menores que 
contém números de forma que a soma desses números em cada linha, em cada 
coluna, e nas duas diagonais é a mesma.
i i2 i3 i4
i5 i6 i7 i8
i9 i10 i11 i12
i13 i14 i15 i16
Para responder às solicitaçõespropostas, considere o número complexo i2 
= -1 e o quadrado acima.
a) Calcule i2, i3, i4, ... i16.
b) Verifique se o quadrado acima é um quadrado mágico.
c) Calcule a soma de todos os números que compõem o quadrado.
Os desafios matemáticos apresentam-se como estratégias de ensino que têm 
como efeito incrementar, orientar, consolidar a motivação do aluno, em oposição a 
outras estratégias que a prejudicam.
Lembre-se de que o segredo para obter sucesso na relação de ensino-
aprendizagem também está na motivação. Se existe motivação, as coisas são feitas 
com empenho e prazer, resultando em trabalhos bons e úteis.
234
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
LEITURA COMPLEMENTAR
CARL FRIDRICH GAUSS (1777-1855)
Gauss nasceu em Brunswick, norte 
da Alemanha, no dia 30 de abril de 1777. 
Sua família era humilde e não possuía 
estudo. Seu pai não apoiava a ideia de que 
Gauss estudasse, mas sua mãe, ao contrário, 
o incentivava. Gauss casou-se duas vezes. 
Dentre seus variados interesses estavam a 
História, a Literatura, a Política internacional 
e as finanças públicas.
Sua educação secundária e superior 
foi assegurada pelo duque de Brunswick, 
que se impressionava com as habilidades 
matemáticas de Gauss. Seus estudos se 
iniciaram na Escola Carolino, em sua cidade 
natal, onde completou os estudos em línguas 
clássicas e familiarizou-se com os trabalhos 
de Newton, Euler e Lagrange. Em 1795 Gauss deixou Brunswick para estudar na 
Universidade de Göttingen, formando-se em 1798.
O menino precoce Gauss, aos 12 anos, criticava os Fundamentos da Geometria; 
com 13 anos, projetava uma Geometria não euclidiana; por volta dos 15 ou 16 anos 
de idade descobriu o Teorema do Número Primo e concebeu a Lei Gaussiana - ou 
da Distribuição Normal - da Teoria das Probabilidades. Com 18 anos, inventou o 
método dos mínimos quadrados e, aos 22 anos, determinou as funções elípticas.
Gostava muito de estudar, mas estava indeciso entre tornar-se um filólogo 
ou um matemático. No dia 30 de março de 1796, ao que parece, essa decisão foi 
tomada, quando optou pela Matemática. Conseguira construir, segundo as regras 
euclidianas, o polígono regular de dezessete lados. Nota-se que já eram conhecidas 
as construções, com régua e compasso, do triângulo equilátero e do pentágono 
regular, além de outros polígonos regulares, cujo número de lados fosse múltiplo 
de 2, 3 e 5, mas de nenhum outro com número primo de lados. A descoberta de 
Gauss foi publicamente anunciada numa revista literária.
Nesse mesmo dia, Gauss começou a escrever um diário composto por 
19 páginas que talvez seja o documento mais importante de toda a História da 
Matemática. Nele encontram-se 146 breves enunciados de diversos resultados. O 
último enunciado tem data de 9 de julho de 1814. O conteúdo do diário só foi 
publicado em 1901, pelo matemático Felix Klein.
TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
235
Uma das obras mais importantes de Gauss é a Disquisitiones Arithmeticae, 
publicada em 1801, considerada o marco inicial da moderna Teoria dos Números, 
além de ser importantíssimo por trazer uma abordagem rigorosa e moderna da 
Matemática. Salvo alguns poucos resultados matemáticos antigos, o trabalho 
é inteiramente original. Na parte inicial se encontra a primeira demonstração 
do Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo inteiro n>1 pode 
ser escrito de forma única como um produto de primos. Na parte central fala-
se da congruência quadrática, formas e resíduos, e na última seção encontra-se a 
teoria do polinômio ciclotômico, com suas aplicações para a construtibilidade de 
polígonos regulares.
Em sua tese de doutorado, publicada em 1799 em Helmstädt, encontra-
se uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra. Esse teorema 
garante que toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas e, em 
sua demonstração, Gauss utilizou números complexos e a geometria do plano 
complexo com total segurança, além de inaugurar a era das demonstrações de 
existência, importantes para a Matemática pura. A demonstração apresentada 
em sua tese baseia-se em parte em considerações geométricas. Em 1816, Gauss 
publicou duas demonstrações e, em 1850, publicou uma terceira, esforçando-se 
para encontrar uma prova inteiramente algébrica.
Outras publicações de Gauss: Theoria Motus Corporum Coelestium (1809), 
considerada a bíblia dos astrônomos por mais de um século; Disquisitiones generales 
circa superficies curvae (1827), onde ele criou a Geometria Diferencial intrínseca 
das superfícies curvas, introduziu as coordenadas curvilíneas u e v numa 
superfície e obteve a forma diferencial quadrática ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2 para 
o elemento de comprimento de arco ds, que tornou possível determinar curvas 
geodésicas; formulando também os conceitos de curvatura gaussiana e curvatura 
integral. Outro grande trabalho foi um artigo publicado em 1830 sobre resíduos 
biquadráticos, cujas ideias inauguraram a Teoria Algébrica dos Números. A partir 
de 1830, Gauss se ocupou com a Física, realizando estudos em diversos ramos, 
como a Óptica, onde introduziu o conceito de comprimento focal de um sistema de 
lentes e inventou as lentes grandes angulares de Gauss para telescópios e objetivas.
Embora tenha publicado muito, vários de seus estudos não o foram, pois 
Gauss preferia mergulhar em um novo estudo em lugar de escrever sobre as 
descobertas feitas.
Gauss passou os anos de 1845 a 1851 atualizando os fundos monetários da 
Universidade de Göttingen. Esse trabalho lhe deu uma experiência em práticas 
financeiras e, com isso, fez sua fortuna através de investimentos astutos em 
companhias privadas.
 
236
UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS
Gauss morreu em Göttingen no dia 23 de fevereiro de 1855, coincidindo 
com o incremento da Revolução Industrial. A crença oficial no progresso pacífico 
começava a ser substituída pela realidade de uma época de crises. Daí em diante, 
a figura do cientista integral, interessado em todos os aspectos do conhecimento 
humano, se tornou praticamente uma raridade. Por isso, o desaparecimento de 
Gauss marcou o fim de uma era.
FONTE: E-CÁLCULO. Mapa da história: Gauss. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
gauss.htm>. Acesso em: 10 jul. 2010.
237
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico você estudou outra forma de representar os números 
complexos, denominada forma trigonométrica ou polar. Também aprendeu a 
realizar operações com os números complexos nesta forma.
É importante lembrar que:
• Um número complexo não nulo z = a + bi tem sua forma trigonométrica ou polar:
z = р(cosθ + isenθ).
• O produto de dois números complexos na forma trigonométrica é expresso pela 
fórmula:
z1 • z2 = р1р2 (cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)).
• O quociente de dois números complexos na forma trigonométrica é dado por:
( ) ( )( )1 1 1 2 1 2
2 2
z p
cos isen
z p
θ θ θ θ= - + - .
• A potenciação de números complexos na forma trigonométrica é dada pela 1ª 
Fórmula de Moivre:
zn = рn(cos(nθ) + isen(nθ)).
• A radiciação de números complexos na forma trigonométrica é dada pela 2ª 
Fórmula de Moivre:
n
w
2 2z cos isp en 
n n
k kθ π θ π    + ⋅ + ⋅
= +    
     .
238
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades referentes aos 
conceitos e definições estudadas neste tópico. 
1 Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
a) z = 3 + 3i
b) z = 3 - i
c) - 5
d) 8i
2 Represente na forma algébrica os complexos:
a) z 4 cos isen 
4 4
5 5b) z 6 cos isen 
4 4
c) z 3 cos isen 
2 2
11 11d) z 2 cos isen 
6 6
π π
π π
π π
π π
 
= + 
 
 
= + 
 
 
= + 
 
 
= + 
 
3 Sabendo que ( )1z 5 cos isen π π= + e 2z 3 cos isen 3 3
π π 
= = 
 
, obtenha z1 • z2.
4 Dados os complexos 1z 3 cos isen 5 5
π π 
= + 
 
, 2
6 6z 4 cos + is
3
en 
4
π π 
=  
  
e 
3
7 7z 2 cos + isen 
3 3
π π 
=  
 
, calcule:
2
3
1 2
3
z
a) 
z
z z
b) 
z
⋅
239
5 Calcule, na forma trigonométrica, o produtoz1 • z2, sabendo que 
1 2
5 5z 6 cos isen e z 3 cos isen 
6 6 4 4
π π π π   
= + = +   
    .
6 Dado o número z 3 cos isen 
4 4
π π 
= + 
 
, determine z5.
 
7 Determine o produto z1 • z2 e o quociente 
z1__
z2
 para 1
2 2z 2 cos isen 
3 3
π π 
= = 
 
 e 
2z 3 cos isen 4 4
π π 
= + 
  .
8 Usando a fórmula de Moivre, calcule as potências:
9 Calcule as raízes quadradas de 4 cos isen 
6 6
π π 
+ 
 
.
10 Calcule as raízes cúbicas de 27.
( )3
6
a) 1 i
1 3b) i
2 2
-
 
+  
 
240
241
REFERÊNCIAS
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São Paulo: FTD, 2009.
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matica/funfam/geometria/geo-ang.htm>. Acesso em: 17 set. 2010.
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ANOTAÇÕES
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