A Considere uma funcao de duas variaveis positiva, isto e, f(x,y) ≥ 0. Se a funcao f esta limitada a uma regiao retangular R, o volume V do solido que esta acima da regiao retangular e abaixo da superficie z = f(x, y) e obtido por meio da expressao V = SR S para calcular o volume do sólido que esta acima da regiao R = [0,2] x [1,2] e abaixo da superficie f(x,y) = x + 3y2. Assinale a alternativa que representa o volume do sólido considerado: 11 u.v. f(x,y) dA. Utilize a expressão acima B 12 u. C 16 u.v. D 15 u.v. E 13 u.v.

Question

A  Considere uma funcao de duas variaveis positiva, isto e, f(x,y) ≥ 0. Se a funcao f esta limitada a uma regiao retangular R, o volume V do solido...

Ed · Answer

Para calcular o volume $ V $ do sólido acima da região retangular $ R = [0,2] \times [1,2] $ e abaixo da superfície $ f(x,y) = x + 3y^2 $, precisamos calcular a integral dupla da função sobre a região $ R $.

A expressão para o volume é:

$$
V = \iint_R f(x,y) \, dA
$$

Substituindo $ f(x,y) $:

$$
V = \int_0^2 \int_1^2 (x + 3y^2) \, dy \, dx
$$

Vamos calcular essa integral passo a passo.

1. **Integral interna** (em relação a $ y $):
   $$
   \int_1^2 (x + 3y^2) \, dy = \left[ xy + y^3 \right]_1^2 = \left[ 2x + 8 \right] - \left[ x + 1 \right] = 2x + 8 - x - 1 = x + 7
   $$

2. **Integral externa** (em relação a $ x $):
   $$
   V = \int_0^2 (x + 7) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 7x \right]_0^2 = \left[ \frac{4}{2} + 14 \right] - \left[ 0 \right] = 2 + 14 = 16
   $$

Portanto, o volume $ V $ do sólido é $ 16 \, u.v. $.

A alternativa correta é: **C) 16 u.v.**

Pré-cálculo

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