LMAT815 Geometria Plana 2

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ITA18 - Matemática
LMAT8-15 Geometria Plana 2
Questão 1
(OBM – 201" ) Na figura a seguir sabe-se que ABCDEFGH é um octógono regular, ABIJK é um
pentágono regular e ABLM é um quadrado. Determine a medida em graus do ângulo 
 representado na figura pela letra 
a) 81º
b) 90º
c) 92º
d) 99º
e) 102º
felipe13games@gmail.c
om
Questão 2
(OBM)
Na figura abaixo A, D e B são pontos colineares. ADE e DBC, são triângulos retângulos com ângulo
reto A e B respectivamente.Se ; , e , então x+y é igual a:
a) felipe13games@gmail.c
om
b) 
c) 
d) 
e) 
felipe13games@gmail.c
om
Questão 3
(ITA - 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede
40º. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15º. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que
DBC = 35º. Então, o ângulo EDB vale:
a) 35º
b) 45º
c) 55º
d) 75º
e) 85º
felipe13games@gmail.c
om
Questão 4
No quadrilátero convexo e . A razão entre a distância de 
 ao circuncentro de e a medida do segmento de reta é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
felipe13games@gmail.c
om
Questão 5
(OBM - 2015)
No desenho abaixo, o segmento CF é tangente ao semicírculo de diâmetro AB. Se ABCD é um
quadrado de lado 4, determine o comprimento de CF.
felipe13games@gmail.c
om
a) 9/2
b) 5
c) 1/2
d) 23/4
e) 6
felipe13games@gmail.c
om
Questão 6
(OBM - 2013)
Seja ABC um triângulo retângulo em A. Seja D o ponto médio de AC. Sabendo que BD = 3DC e que AC
= 2, a hipotenusa do triângulo é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
felipe13games@gmail.c
om
Questão 7
(OBM - 2013)
Na figura abaixo o ponto O é o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e E.
Sabendo que o diâmetro AB e a corda CD são perpendiculares e que o valor em graus do ângulo é:
felipe13games@gmail.c
om
a) 35º
b) 10º
c) 20º
d) 30º
e) 55º
felipe13games@gmail.c
om
Questão 8
(OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CA�GURU SEM FRONTEIRAS - 2014)
Um quadrado, apoiado sobre uma reta, tem os outros dois vértices sobre duas circunferências de
raio 1 tangentes entre si e à reta de apoio, conforme figura ao lado. Quanto mede o lado do
quadrado?
a) 2/5
b) 1/4
c) 1/
d) 1/5
e) 1/2
felipe13games@gmail.c
om
felipe13games@gmail.c
om
Questão 9
(OBM - 2012)
Na figura a seguir, o ângulo é reto; a reta r corta os segmentos AB e BC em D e E, respectivamente;
as retas CD e AE se cortam em F; P e Q são as projeções ortogonais de A e C sobre a reta r,
respectivamente.
Sendo o ângulo entre as retas CD e AE igual a , a medida de , em graus, é:
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 160
felipe13games@gmail.c
om
Questão 10
(OLIMPÍADA ARGENTINA) Na figura:
Dado que ABC é um triângulo retângulo em C. ADE é um triângulo retângulo em A. ED = 2 x AB e o
ângulo EBC = 18º, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo ABE é:
a) 30º
b) 54º felipe13games@gmail.c
om
c) 36º
d) 60º
e) 40º
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om
Questão 11
(OBM) Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo
os pontos médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros
quadrados no mapa ao lado. Qual é a área do quarto lote, em metros quadrados, representado pela
região destacada no mapa?
a) 240
b) 220
c) 300
d) 230
e) 260
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Questão 12
(OLIMPÍADA COLOMBIANA) Na figura abaixo ABC é um triângulo retângulo. Inscrito neste triângulo
temos o retângulo HIJE de altura h.
Se DEFG e JKLM são quadrados de lados a e b respectivamente, podemos afirmar que:
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om
a) h = (a+b)/2
b) h = (a+b)/3
c) h = a + b
d) h = 2(a+b)
e) h = 3(a+b)
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Questão 13
(OLIMPÍADA AUSTRALIANA) Determine, em graus, o valor de S:
S = u + v + w
a) 90
b) 100
c) 120
d) 150
e) 180
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Questão 14
(OBM) Seja ABC um triângulo retângulo em A. O ponto D pertence ao lado AC e é tal que BD = CD.
Sejam M o ponto médio de BC e N a interseção de AM e BD. Sendo N o ponto médio de AM, qual a
medida em graus, do ângulo ?
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a) 15
b) 22,5
c) 30
d) 37,5
e) 45
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Questão 15
No triângulo retângulo ABC, , AB = 5 cm e BC = 9 cm. Se I é o incentro de ABC, determine o
comprimento do segmento CI.
felipe13games@gmail.c
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Questão 16
(OBM - 2012)
O teorema de Morley diz que, ao traçarmos as retas que dividem cada ângulo interno de um
triângulo ABC em três ângulos iguais, obtemos um triângulo equilátero chamado triângulo de Morley
de ABC, como o que está destacado na figura a seguir:
Qual é a medida do lado do triângulo de Morley de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos
medem 2?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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Questão 17
(OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em
R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL, em graus, é , , quanto mede o ângulo LRP?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
felipe13games@gmail.c
om
Questão 18
(OLIMPÍADA ITALIANA) Dado os ângulos A, B, C e D, quanto vale a soma E + F?
a) A + B + C+ D
b) (A + B + C + D) / 2
c) 360º – A – B – C – D
d) 360º + A + B – C – D
e) nenhuma das alternativas. 
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Questão 19
(OMU) Considere um ponto P no interior de um retângulo ABCD e tal que , e .
Determine o comprimento do segmento .
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Questão 20
No triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC, BP é bissetriz do ângulo ABC, e . Se
os lados AB e BC medem 6 e 10 respectivamente, PM mede:
a) 1
b) 2
c) 
d) 
e) 
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Questão 21
(OBM - 2012)
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No triângulo ABC, seja AD a altura relativa a BC. Quantos triângulos não congruentes satisfazem 
 com AD = 2012 e BD e CD ambos inteiros? Note que AB e AC não precisam ser inteiros.
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Questão 22
Considere um triângulo ABC com ângulos BAC = 50º, ABC = 60º, seja M o ponto médio de AB, seja
um ponto P pertencente ao lado BC tal que AC + PC = PB, determine a medida do ângulo MPC.
 
felipe13games@gmail.c
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Questão 23
(OMU) Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero. Mostre que a soma das medidas dos
três segmentos com origem em P e o ponto de intersecção da perpendicular a cada um dos lados do
triângulo é igual a medida de uma das alturas do triângulo, como ilustra a figura abaixo. (Teorema
de Vincenzo Viviani)
felipe13games@gmail.c
om
Questão 24
(Triângulo Russo) Este problema clássico de geometria já sofreu várias alterações de seu original
proposto no l ivro russo normalmente dito "Livro do Lidsky" (Lidsky V., Ovsyannikov L., Tulaikov A.,
Shabunin M.)
O triângulo ABC é isósceles, AB = BC. O ângulo ABC mede 20º, DAC mede 60º e ECA mede 50º.
Determine a medida do ângulo .
 
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