Para mostrar que a soma das medidas dos três segmentos que vão do ponto P até os pontos de interseção das perpendiculares aos lados do triângulo equilátero é igual à altura do triângulo, siga os seguintes passos: 1. Defina o triângulo equilátero: Seja \( ABC \) um triângulo equilátero com altura \( h \). 2. Identifique o ponto P: Considere um ponto \( P \) no interior do triângulo. 3. Desenhe as perpendiculares: Trace as perpendiculares de \( P \) até os lados \( BC \), \( CA \) e \( AB \). Denote os pontos de interseção como \( D \), \( E \) e \( F \), respectivamente. 4. Observe as alturas: As alturas do triângulo equilátero são todas iguais e correspondem à medida \( h \). 5. Use a propriedade das áreas: A área do triângulo \( ABC \) pode ser expressa de duas maneiras: - Usando a base \( BC \) e a altura \( h \): \( A = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \). - Usando os segmentos \( PD \), \( PE \) e \( PF \) como alturas relativas às bases \( BC \), \( CA \) e \( AB \): \( A = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PD + \frac{1}{2} \cdot CA \cdot PE + \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PF \). 6. Igualdade das áreas: Como as áreas são iguais, podemos escrever: \[ \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PD + \frac{1}{2} \cdot CA \cdot PE + \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PF \] 7. Simplifique: Cancelando \( \frac{1}{2} \) e considerando que \( BC = CA = AB \) (já que é um triângulo equilátero), temos: \[ h = PD + PE + PF \] Portanto, a soma das medidas dos segmentos \( PD \), \( PE \) e \( PF \) é igual à altura \( h \) do triângulo equilátero.