Determinantes e suas Propriedades

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Disciplina: Algebra linear e Geometria analítica 
Prof.: Bruna Fabris - Unochapecó 
 
DETERMINANTES – ORDEM 1,2 E 3 
1. O que é um Determinante? 
O determinante é um tipo de função que associa um número real a uma matriz 
quadrada. Ele é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que 
compõe a matriz. 
• O determinante nos diz como uma matriz transforma áreas ou volumes. 
• Ele pode indicar se um sistema de equações tem solução. 
• Podemos calcular determinantes com fórmulas específicas para cada tipo de 
matriz. 
 Se uma matriz representa uma transformação linear no plano, o determinante nos diz se 
essa transformação estica, encolhe, inverte ou colapsa o espaço. 
Notação: o determinante de uma matriz A pode ser expressa pela representação |A| ou det 
[aij]. Atenção não confunda com módulo (valor absoluto). 
1.1 Interpretação Geométrica 
Imagine um quadrado de área 1. Se aplicarmos uma matriz de transformação a esse 
quadrado, ele pode: 
• Crescer (determinante maior que 1) 
• Encolher (determinante menor que 1) 
• Girar ou espelhar (determinante negativo) 
• Colapsar em uma linha ou ponto (determinante igual a 0) 
A fórmula do determinante nos ajuda a quantificar essa mudança. 
2. Cálculo de Determinantes 
2.1 Determinante de uma matriz 1×1 
Se temos uma matriz de ordem 1: 
 
O determinante é simplesmente: 
 
Exemplo: 
Dada a matriz: 
 
O determinante é: 
 
2.2 Determinante de uma matriz 2×2 
O determinante de matriz de ordem dois é obtido por meio do produto dos elementos da 
diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária. 
Se temos a matriz: 
 
O determinante é calculado por: 
 
Exemplo: 
 
O valor 2 significa que a transformação dobrou a área original. 
2.3 Determinante de uma matriz 3×3 (Regra de Sarrus) 
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n = 3, isto é, uma matriz do tipo 3 × 3, podemos 
definir seu determinante por meio de um método prático, chamado regra de Sarrus. 
Para uma matriz 3x3: 
 
A Regra de Sarrus facilita o cálculo do determinante seguindo os passos: 
1. Repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz: 
 
2. Multiplique os elementos das diagonais principais e some os resultados: 
3. Multiplique os elementos das diagonais secundárias e subtraia os resultados: 
4. O determinante será a soma da etapa 2 menos a soma da etapa 3: 
 
 
Exemplo: 
 
O determinante é 0, indicando que a transformação achatou o volume em uma linha. 
 
 
3. Propriedades dos Determinantes 
1️. Se a matriz tem uma linha ou coluna zerada, seu determinante é zero. 
 
2. Se duas linhas ou colunas são idênticas, o determinante é zero. 
 
 
3. O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 
 
4. Se trocamos duas linhas de posição, o determinante troca de sinal. 
 
4. Exercícios 
1. Calcule o determinante da matriz 2×2 abaixo: 
 
2. Use a Regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo: 
 
3. Se o determinante de uma matriz 3×3 for 0, o que isso significa geometricamente? 
4. Qual o efeito de um determinante negativo em uma transformação geométrica? 
DETERMINANTES – ORDEM n ≥ 3 – LAPLACE 
 
1. Matriz de ordem maior ou igual a 3 
Sendo A uma matriz de ordem n ≥ 3 , utilizamos o Teorema de Laplace para definirmos 
o seu determinante. 
 
1.1 Menor complementar 
Chamamos de menor complementar do elemento aij de A, o determinante da matriz que 
obtemos eliminando a linha i e a coluna j. Representamos por Dij o menor complementar 
do elemento aij da matriz A. 
Exemplo: 
 
 
1.2 Cofator 
Chamamos de cofator do elemento aij, o produto de (−1️ ) i +j pelo menor complementar 
Dij do mesmo elemento aij da matriz A. Representamos o cofator do elemento aij por Aij 
, logo: 
 
 
Exemplo: 
Dada a matriz A, calcule o cofator do elemento a 1️1️ 
A= 1️ 2 3 
 -1️ 3 -1️ 
 0 4 5 
 
cof (a1️1️) = (-1️) 1️+1️ . D1️1️ 
 
Passo 1️ . Elimina a linha e coluna do elemento (a 1️1️) 
Passo 2. Calcular o determinante do menor complementar 
D1️1️ = 3. 5 – -1️.4 = 1️5- (-4) = 1️9 
Passo3. Calcula a expressão 
(-1️) 1️+1️ = (-1️) 2 = 1️ 
Passo 4. Realizar o produto dos fatores 
cof (a1️1️) = (-1️) 1️+1️ . D1️1️ 
cof (a1️1️) =1️ . 1️9 
cof (a1️1️) = 1️9 
 
1.3 Operando com Laplace 
O determinante de A= (aij)nxn, uma matriz quadrada de ordem n,com n ≥ 3 , é igual à soma 
dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. 
Dada a matriz A nxn, com referência na primeira coluna, temos pelo Teorema de Laplace: 
 
 
Onde a11 = elemento e A11 é o cofator 
OBS. Podemos empregar o Teorema de Laplace escolhendo como referência qualquer 
linha ou qualquer coluna da matriz dada. Para facilitar os cálculos é conveniente 
escolhermos a linha ou a coluna com a maior quantidade de zeros. 
Exemplo: 
 
 
 
2. Exercícios 
 
3. Estudo complementar 
Assista: 
https://youtu.be/qKWM0lH78ck?si=7YtkGYA2jeWoHecn 
Explore: 
Calculadora de Matrizes 
Referência: 
Leonardo Alcântara Portes, Cláudia Marques de Oliveira Farias. – Geometria 
analítica e álgebra vetorial. Londrina : Editora Distribuidora Educacional S.A., 
2016. 224 p. 
 
 
https://youtu.be/qKWM0lH78ck?si=7YtkGYA2jeWoHecn
https://matrixcalc.org/pt/