Para resolver a integral \(\int x e^{2x} \, dx\) usando integração por partes, vamos aplicar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^{2x} dx\) \(\Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x}\) Agora, aplicamos a fórmula: \[ \int x e^{2x} \, dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx \] Calculando a integral restante: \[ \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = \frac{1}{4} e^{2x} \] Substituindo de volta, temos: \[ \int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \] Fatorando \(e^{2x}\): \[ = e^{2x} \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \right) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{1}{2} e^{2x}(x - \frac{1}{2}) + C\) B) \(\frac{1}{2} e^{2x}(x + \frac{1}{2}) + C\) C) \(e^{2x}(x - 1) + C\) D) \(e^{2x}(x + 1) + C\) A alternativa correta deve ser equivalente a \(e^{2x} \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \right) + C\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos a forma da alternativa A, podemos reescrever: \(\frac{1}{2} e^{2x}(x - \frac{1}{2}) + C\) é a única que se aproxima, mas não é a correta. Portanto, parece que não há uma alternativa correta entre as opções fornecidas. Você pode verificar se as alternativas estão completas ou se há um erro na formulação.