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Álgebra Linear

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4. Sejam ~u e ~v dois vetores entre os quais o ângulo formado é de 60◦. Determine o ângulo entre os vetores abaixo.

(a) ~u e −~v.
(b) −~u e ~v.
(c) −~u e −~v.
(d) 2~u e 3~v.
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Respostas

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Para determinar o ângulo entre os vetores dados, vamos usar a propriedade dos ângulos entre vetores. 1. Ângulo entre \(\mathbf{u}\) e \(-\mathbf{v}\): - O ângulo entre \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) é de 60°. - O vetor \(-\mathbf{v}\) inverte a direção de \(\mathbf{v}\), então o ângulo entre \(\mathbf{u}\) e \(-\mathbf{v}\) será \(180° - 60° = 120°\). 2. Ângulo entre \(-\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\): - O vetor \(-\mathbf{u}\) inverte a direção de \(\mathbf{u}\), então o ângulo entre \(-\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) também será \(180° - 60° = 120°\). 3. Ângulo entre \(-\mathbf{u}\) e \(-\mathbf{v}\): - Ambos os vetores estão invertidos, então o ângulo entre eles será \(60° + 180° = 240°\) (ou seja, o ângulo é o mesmo que entre \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\), mas em uma direção oposta). 4. Ângulo entre \(2\mathbf{u}\) e \(3\mathbf{v}\): - O ângulo entre \(2\mathbf{u}\) e \(3\mathbf{v}\) é o mesmo que entre \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\), que é 60°, pois a multiplicação por um escalar não altera o ângulo. Resumindo: - (a) \(120°\) - (b) \(120°\) - (c) \(240°\) - (d) \(60°\) Portanto, os ângulos entre os vetores são: - Para (a) e (b): \(120°\) - Para (c): \(240°\) - Para (d): \(60°\) Se precisar de um único ângulo, a resposta para (a) e (b) é \(120°\).

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1. A figura abaixo representa um paraleleṕıpedo reto de base retangular. Decida se cada uma das alternativas abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
A
B
C
G
F
E
H
D
(a) −−→ DH = −−→ BF
(b) −−→ AB = −−→ HG.
(c) −−→ AB é paralelo a −−→ CG.
(d) |−→ AC| = |−−→ HF |.
(e) −−→ BG é paralelo a −−→ ED.
(f) Os vetores −→ AC, −−→ BC e −−→ CG são coplanares.
(g) Os vetores −→ AC, −−→ DB e −−→ FG são coplanares.
(h) −−→ DC é paralelo ao plano que contém os pontos H, E e F.

2. Em cada item, represente geometricamente os vetores: ~u + ~v, ~u − ~v, ~v − ~u, −~u − ~v e ~u − 2~v (lembre-se de a origem do vetor é irrelevante, isto é, você pode desenhar o vetor pedido a partir de qualquer ponto).

(a) ~u + ~v
(b) ~u − ~v
(c) ~v − ~u
(d) −~u − ~v
(e) ~u − 2~v

5. Sejam A, B e C os vértices de um triângulo e M , N e P os pontos médios dos segmentos de reta AB, BC e CA, respectivamente.

(a) Escreva os vetores −−→ BP , −−→ AN e −−→ CM em termos dos vetores −−→ AB e −→ AC.
(b) Mostre que −−→ BP + −−→ AN + −−→ CM = −→ 0.
(c) Mostre que o segmento de reta que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e que sua medida é a média das medidas das bases.

6. Sejam A = (1,−1, 3) e B = (2,−2, 1). Determine os vetores abaixo.

(a) −−→ AB.
(b) −−→ BA.

7. Considere o vetor ~u = (1,−1, 4) e o ponto A = (2, 1, 2). Determine o que se pede.

(a) O ponto B, sabendo que −−→ AB = ~u.
(b) O ponto C, sabendo que −→ CA = ~u.

8. Sejam A = (2,−3, 1) e B = (4, 5,−2).

(a) Determine o ponto médio do segmento AB.
(b) Determine os pontos que dividem o segmento AB em cinco partes iguais.

10. Sejam A = (1,−1, 3) e B = (2,−2, 1). Determine os vetores abaixo.

(a) 2 −−→ AB.
(b) 1/2 −−→ BA.

11. Considere o vetor ~u = (1,−1, 4) e o ponto A = (2, 1, 2). Determine o que se pede.

(a) O ponto D, sabendo que −−→ AD = 2~u.
(b) O ponto E, sabendo que 3 −→ EA = ~u.

12. Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.

(a) ~u = (1, 2) e ~v = (2, 1).
(b) ~u = (2,−1) e ~v = (−2, 1).
(c) ~u = (0, 0) e ~v = (3,−5).
(d) ~u = (1,−1, 2) e ~v = (2,−1, 1).
(e) ~u = (1,−1, 2) e ~v = (−2, 2,−4).
(f) ~u = (0, 1, 2) e ~v = (0, 0, 0).

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