Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x,y,z) = (-2y+z, -x+y) \): I. T é uma transformação linear. Para verificar se \( T \) é linear, precisamos checar se \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) e \( T(cu) = cT(u) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^3 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Após a verificação, podemos concluir que \( T \) é uma transformação linear. Portanto, essa afirmação é verdadeira. II. T(v) = (0,0) se e só se v = (0,0,0). Para que \( T(x,y,z) = (0,0) \), temos as equações: 1. \( -2y + z = 0 \) 2. \( -x + y = 0 \) Resolvendo essas equações, encontramos que a única solução é \( (0,0,0) \). Portanto, essa afirmação é verdadeira. III. T pode ser definido pela matriz [ 0 −1 −2 1 1 0 ]. A matriz associada à transformação linear \( T \) deve ser uma matriz \( 2 \times 3 \). A forma correta da matriz que representa \( T \) é: \[ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Portanto, essa afirmação é falsa. IV. Se {v1, v2, v3} ∈ ℝ³ é linearmente independente, então T(v1), T(v2), T(v3) ∈ ℝ² também são linearmente independentes. Isso não é necessariamente verdadeiro, pois a transformação \( T \) pode mapear vetores linearmente independentes em vetores que não são linearmente independentes em \( \mathbb{R}^2 \). Portanto, essa afirmação é falsa. V. O conjunto imagem de T é um subespaço vetorial de ℝ² de dimensão 1. A imagem de \( T \) é gerada por vetores que podem ser expressos como combinações lineares de um vetor não nulo. Como a transformação tem um núcleo não trivial, a dimensão da imagem é 1. Portanto, essa afirmação é verdadeira. Agora, resumindo as afirmações verdadeiras: - I: Verdadeira - II: Verdadeira - III: Falsa - IV: Falsa - V: Verdadeira Assim, as afirmações corretas são I, II e V. Portanto, a alternativa correta é: c) I, II, V.