Determinantes de Matrizes

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Determinantes 
de Matrizes
Prof. ª Bruna Fabris
Matemática
Teorema de Chio
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem n 3, vamos abaixar a
ordem utilizando uma regra prática dada por Chio, que consiste em:
Suprimir da matriz a linha e a coluna da matriz que
contêm um elemento aij = 1.
Subtrair de cada elemento da matriz o produto dos
elementos que se acham nas extremidades das
perpendiculares traçadas desse elemento à linha e à
coluna eliminadas.
Teorema de Chio
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem n 3, vamos abaixar a
ordem utilizando uma regra prática dada por Chio, que consiste em:
Calcular o determinante da matriz que foi obtida
da matriz inicial de acordo com (1) e (2) e
multiplicar o resultado por −1 𝑖+𝑗.
Calcular, pela Regra de Chio, o determinante
D =
1 4 2 0
0 3 2 −1
2 2 −3 2
1 3 1 3
Suprimir da matriz a linha e a coluna da matriz que
contêm um elemento aij = 1.
I.
3 2 −1
2 −3 2
3 1 3
I.
3 2 −1
2 −3 2
3 1 3
II.
3 − 0 ∙ 4 2 − 0 ∙ 2 −1 − 0 ∙ 0
2 − 2 ∙ 4 −3 − 2 ∙ 2 2 − 2 ∙ 0
3 − 1 ∙ 4 1 − 1 ∙ 2 3 − 1 ∙ 0
=
3 2 −1
−6 −7 2
−1 −1 3
Subtrair de cada elemento da matriz pelo produto
dos elementos das extremidades das perpendiculares
traçadas desse elemento à linha e à coluna eliminadas.
D =
1 4 2 0
0 3 2 −1
2 2 −3 2
1 3 1 3
III. det 𝐴 = −1 2 ∙
3 2 −1
−6 −7 2
−1 −1 3
Det A = 1. (-24) = -24
Calcular o determinante da matriz que foi obtida
da matriz inicial de acordo com (1) e (2) e
multiplicar o resultado por −1 𝑖+𝑗.
Cof. a11= −1 1+1
Cof.a11= −1 2
Propriedades
Se uma fila de uma matriz possui todos os seus elementos iguais a 
zero, então seu determinante é igual a zero.
1 2 3
𝑎 𝑏 𝑐
0 0 0
= 0
0 12 15
0 13 16
0 12 30
= 0
Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais ou proporcionais, 
então seu determinante é igual a zero.
1 2 3
𝑏 𝑐 𝑑
2 4 6
= 0
𝑎 3 3𝑎
𝑏 4 3𝑏
𝑐 5 3𝑐
= 0
Propriedades
Se uma fila da matriz é uma combinação linear de outras filas 
paralelas, então o seu determinante é igual a zero.
𝑎 𝑏 𝑐
7 8 9
𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1
= 0
1 3 4
2 1 3
0 4 4
= 0
Se duas matrizes são quadradas e de mesma ordem, então o 
determinante do produto das matrizes é igual ao produto dos 
determinantes de cada matriz.
det 𝐴 ∙ 𝐵 = det 𝐴 ∙ det 𝐵
Propriedades
Se todos os elementos situados acima, ou abaixo, da diagonal 
principal de uma matriz são iguais a zero, então o determinante 
dessa matriz é obtido através do produto dos elementos da 
diagonal principal.
1 0 0
2 2 0
1 1 3
= 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
1 2 3
0 2 4
0 0 1
= 1 ∙ 2 ∙ 1 = 2
Multiplicando-se a primeira linha da matriz A por 2 e a segunda por 3, obtém-se a
matriz B. Se det(A) = 5, então det(B) é:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝐵 =
2 ∙ 𝑎11 2 ∙ 𝑎12
3 ∙ 𝑎21 3 ∙ 𝑎22
Supondo que a matriz A é 2x2 e a B também, temos
det 𝐴 = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 = 5
Fazendo o determinante de A, temos
det 𝐵 = 2𝑎11 ∙ 3𝑎22 − 2𝑎12 ∙ 3𝑎21 = 6 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 6 ∙ 𝑎12 ∙ 𝑎21
det 𝐵 = 6 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 = 6 ∙ det 𝐴 = 6 ∙ 5 = 30
Fazendo o determinante de B, temos
O valor do determinante de A.B é:
𝐴 =
1 5 −1 3
0 2 −2 4
0 0 3 −1
0 0 0 4
𝑒 𝐵 =
−1 0 0 0
3 −4 0 0
1 2 1 0
2 1 3 2
det 𝐴 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
det 𝐵 = −1 ∙ −4 ∙ 1 ∙ 2 = 8
Pela propriedade VIII, se todos os elementos 
situados acima, ou abaixo, da diagonal principal 
de uma matriz são iguais a zero, então o 
determinante dessa matriz é obtido através do 
produto dos elementos da diagonal principal, 
temos
O valor do determinante de A.B é:
𝐴 =
1 5 −1 3
0 2 −2 4
0 0 3 −1
0 0 0 4
𝑒 𝐵 =
−1 0 0 0
3 −4 0 0
1 2 1 0
2 1 3 2
det 𝐴 ∙ 𝐵 = det 𝐴 ∙ det 𝐵
det 𝐴 ∙ 𝐵 = 24 ∙ 8
det 𝐴 ∙ 𝐵 = 192
Pela propriedade VII, se duas matrizes são 
quadradas e de mesma ordem, então o 
determinante do produto das matrizes é igual ao 
produto dos determinantes de cada matriz, 
temos
Seja uma matriz A = (aij)3 x 3 cujo determinante é igual a 5, então, o det (4A) é igual
a:
det 4𝐴 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ det 𝐴
64 ∙ 5 = 320
Pela propriedade V, se uma fila de um 
determinante é multiplicada (ou dividida) por um 
número, então o determinante fica multiplicado 
(ou dividido) por esse número, temos
Trocar a linha e 
coluna para a11=1
Obrigado!