TrabalhodeAlgebra

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CAMPUS DE CRATEÚS
CURSO DE ENGENHARIA DE MINAS
VITÓRIA FERNANDES PEREIRA
TRABALHO DE ÁLGEBRA LINEAR
CRATEÚS/CE
2023
VITÓRIA FERNANDES PEREIRA
TRABALHO DE ÁLGEBRA LINEAR
Trabalho de álgebra linear, da disciplina de Álgebra 
linear, do curso de Engenharia de Minas.
Professor(a): Maria do Rosário Alves Patriota.
CRATEÚS/CE
2023
SUMÁRIO
1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES................................................................. 4
2. CONCEITOS IMPORTANTES…. .................................................................. 4
2.1. Núcleo e Imagem…………................................................................................. 4
2.2. Isomorfismos…………........................................................................................ 4
3. TEOREMAS IMPORTANTES........................................................................ 4
3.1. Teorema do Núcleo e da Imagem….................................................................... 4
3.2. Teorema da Dimensão…………….................................................................… 5
4. APLICAÇÕES................................................................................................... 5
4.1. Aplicações Lineares e Matrizes……………………………….……………….. 5
4.2. Aplicações à Óptica.............................................................................................. 6
5. REFERÊNCIAS ................................................................................................ 7
4
1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as 
operações de adição e multiplicação por escalar. Formalmente, seja V e W dois espaços 
vetoriais sobre o mesmo corpo F, uma função T: V → W é uma transformação linear se, para 
todos os u, v em V e todos os escalares a em F, as seguintes propriedades são satisfeitas:
1.T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(au) = aT(u)
2. CONCEITOS IMPORTANTES
2.1. Núcleo e Imagem
• Núcleo (ou kernel): O núcleo de uma transformação linear T denotado por ker(T), é o 
conjunto de todos os vetores em V que são mapeados para o vetor nulo em W:
ker(T) = {v E V | T(v) = 0}.
• Imagem (ou imagem de T): A imagem de uma transformação linear T, denotada por 
Im(T), é o conjunto de todos os vetores em W que são imagens de algum vetor em V: 
Im(T) = {w E W | T(u) = w}.
2.2. Isomorfismos
• Uma transformação linear T: V → W é um isomorfismo se for uma bijeção (injetora e 
sobrejetora). Dois espaços vetoriais relacionados por um isomorfismo são 
considerados isomórficos e, essencialmente, " iguais ". 
3. TEOREMAS IMPORTANTES
3.1. Teorema do Núcleo e da Imagem
• Teorema do Núcleo: Se T: V → W é uma transformação linear, então ker(T) é um 
subespaço vetorial de V.
5
• Teorema da Imagem: Se T: V → W é uma transformação linear, então Im(T) é um 
subespaço vetorial de W.
3.2. Teorema da Dimensão
• Teorema da Dimensão: Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V → W é 
uma transformação linear, então dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)).
4. APLICAÇÕES
4.1. Aplicações Lineares e Matrizes
As transformações lineares desempenham um papel fundamental no estudo das matrizes, e 
suas aplicações são vastas em diversas áreas. Aqui estão algumas das principais aplicações de 
transformações lineares no contexto das matrizes: 
• Representação de Transformações Lineares: 
As transformações lineares podem ser representadas por matrizes. Dada uma 
transformação linear T: Rn → Rm, existe uma matriz A tal que T(v) = Av, onde v é um 
vetor coluna.
• Sistemas Lineares:
Sistemas lineares de equações podem ser expressos de forma matricial, onde as 
variáveis e os coeficientes são organizados em matrizes. Resolver tais sistemas 
envolve o uso de transformações lineares e suas propriedades. 
• Espaços Vetoriais e Subespaços:
A multiplicação de uma matriz por um vetor é uma transformação linear. O espaço das 
soluções de um sistema homogêneo (onde o lado direito é o vetor nulo) é o núcleo da 
matriz associada, um subespaço importante. 
• Autovalores e Autovetores: 
O estudo de autovalores e autovetores está intrinsecamente ligado às transformações 
lineares. As matrizes diagonais são exemplos de transformações lineares que são 
particularmente simples nos sistemas de coordenadas fornecidos pelos autovetores. 
• Geometria Linear: 
6
Transformações lineares são essenciais para entender e representar operações 
geométricas. Matrizes de rotação, translação e escala são exemplos de transformações 
lineares que podem ser expressas em termos de matrizes. 
Essas aplicações destacam a importância das transformações lineares no estudo das 
matrizes, evidenciando como os conceitos da álgebra linear têm implicações práticas em 
diversas disciplinas. 
4.2. Aplicações à óptica
As transformações lineares desempenham um papel significativo na óptica, que é a 
área da física que estuda a luz e seus fenômenos. Aqui estão algumas aplicações importantes 
de transformações lineares na óptica: 
• Refração e Reflexão:
A refração e reflexão da luz ao passar através de diferentes meios podem ser 
modeladas por transformações lineares. Matrizes de transformação são utilizadas para 
descrever as mudanças nas direções e intensidades da luz incidente e refletida. 
• Lentes e Espelhos:
As propriedades ópticas de lentes e espelhos podem ser analisadas por meio de 
transformações lineares. Matrizes de transformação são empregadas para modelar a 
formação de imagens e as características ópticas desses dispositivos. 
• Matrizes de Jones para Polarização:
Na óptica polarizada, as matrizes de Jones são usadas para representar transformações 
lineares que descrevem a mudança na polarização da luz ao atravessar meios 
anisotrópicos, como cristais. 
• Óptica Matricial:
A óptica matricial é uma abordagem que utiliza transformações lineares para analisar 
sistemas ópticos compostos por elementos ópticos, como lentes, espelhos e 
polarizadores. Essa abordagem é particularmente útil para sistemas ópticos complexos. 
• Sistemas Ópticos em Redes de Computadores:
Em redes ópticas de comunicação, as transformações lineares são usadas para modelar 
a propagação de sinais ópticos por fibras ópticas, considerando fenômenos como 
atenuação e dispersão. 
7
Estas aplicações evidenciam a importância crucial das transformações lineares na 
modelagem e compreensão de uma variedade de fenômenos ópticos. A utilização de matrizes 
e transformações lineares proporciona uma abordagem matemática precisa para a análise e o 
design de sistemas ópticos de natureza complexa. 
5. REFERÊNCIAS
BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. 3° edição. ed. [S. l.]: Harbra, 1984. 
NORMAS ABNT. Disponível em: https://www.normasabnt.org/. Acesso em: 9 Dez. 2023.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ. Biblioteca Universitária. Guia de normalização 
de trabalhos acadêmicos da Universidade Federal do Ceará. Fortaleza: Biblioteca Univer-
sitária, 2013. Disponível em: https://biblioteca.ufc.br/wp-content/uploads/2019/10/guia-de-
citacao-06.10.2019.pdf. Acesso em: 9 Dez. 2023.
https://www.normasabnt.org/