Relatório Sistema Lineares

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Relatório de Prática 
 
 
Nome da Prática: Sistema Lineares e transformações Lineares 
Nome do Aluno: Ranna M Castro 
Data de Execução: 08.04.2025 
 
 
 
 
Introdução 
 
Sistema Linear – Conceito 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente. Os sistemas 
lineares são formados por equações que possuem incógnitas e são associadas entre si. 
Conceitos de sistemas lineares 
• Um sistema linear pode ter várias equações e incógnitas. 
• A solução de um sistema linear é o resultado de todas as equações lineares. 
• Um sistema linear é impossível quando não é possível encontrar uma solução única ou infinitos 
resultados. 
• Um sistema linear é possível determinado (SPD) quando possui uma única solução. 
• Um sistema linear é formado por letras e números, tendo um símbolo de igualdade (=) no meio. 
• O lado esquerdo ao sinal é chamado de 1º membro e o lado direito é chamado de 2º membro 
 
Transformações Lineares 
Uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar entre 
dois espaços vetoriais. Também é conhecida como aplicação linear ou mapa linear. 
Propriedades 
• Preserva a estrutura vetorial 
• Mantém as propriedades dos vetores, como soma e multiplicação por escalar 
• É uma função que leva vetores de um espaço vetorial para vetores de outro espaço vetorial 
Aplicações 
• São fundamentais nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações 
Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros 
• São vitais em praticamente todas as áreas da ciência e outras áreas da matemática 
 
 
Exemplos e Resultados 
 
Peculiaridades dos sistemas lineares 
 
• São formados por expressões onde o maior expoente das incógnitas é igual a 1 
• Podem ser resolvidos por meio de diferentes métodos 
• A solução de um sistema linear é o resultado de todas as equações lineares 
• A escolha do método adequado é um passo crucial para a resolução eficaz de problemas 
• Cada método tem suas próprias vantagens e desvantagens 
 
Aplicações dos sistemas lineares 
 
• Processamento de dados 
• Tecnologia da informação 
• Criação de softwares 
• Taxas de fluxo de um sistema de tráfego 
• Distribuição de água e energia 
• Balanceamento de equações químicas 
 
Exercícios 
1 - São considerados métodos de resolução de sistemas lineares, exceto: 
A) Regra de Cramer 
B) Escalonamento 
C) Método da adição 
D) Método da substituição 
E) Balanceamento 
 
Resposta - Alternativa E 
Das alternativas propostas, somente o balanceamento não é um método utilizado para resolver sistemas 
lineares. 
 
 
Peculiaridades das transformações lineares 
 
• São também chamadas de aplicações lineares ou mapas lineares 
• Quando o domínio e o contradomínio coincidem, são chamadas de operadores lineares 
• São vitais em praticamente todas as áreas da ciência 
• São úteis em aplicações matemáticas e científicas 
• Preservam a estrutura vetorial dos espaços em que atuam 
• A composição de transformações lineares também é uma transformação linear 
 
Exemplos de transformações lineares 
 
• A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear 
• Uma transformação linear no plano pode ser interpretada a partir da equação matricial Ax=b 
 
Exercícios 
Exercício 1: Obter a expressão geral da transformação linear T:R3→R2T:R3→R2 definida de modo 
que T(1,0,0)=(1,0)T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1)T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1)T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma 
geral, podemos obter o vetor v∈R3v∈R3, tal que T(v)=(1,2)T(v)=(1,2). 
Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z)v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da 
base canônica C={e1,e2,e3}⊂R3C={e1,e2,e3}⊂R3, formada pelos 
vetores e1=(1,0,0)e1=(1,0,0), e2=(0,1,0)e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)e3=(0,0,1). 
 
 (x,y,z)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) 
 =(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)=(a,b,c)(x,y,z)=a 
 (1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)=(a,b,c) 
 
 Assim, obtemos x=ax=a, y=by=b e z=cz=c e como TT é uma transformação linear, segue que: 
 
(x,y,z)=T[x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)]=T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)]=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1)=(x+y+z
,y−z)T(x,y,z)=T[x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)]=T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)]=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1)=(
x+y+z,y−z) 
 
A forma geral desta transformação linear é: 
T(x,y,z)=(x+y+z,y−z) 
 
Conclusão 
 
A Discussão de Sistema Linear é um passo crucial após a tradução do problema para o sistema de equações correspondentes, 
pois é nesta fase que se classifica o sistema quanto ao número de soluções, permitindo compreender a natureza do sistema. 
O entendimento dos Termos Independentes e Coeficientes, bem como a sua distinção, é vital para a resolução e discussão 
de sistemas lineares. 
A Forma Matricial de um sistema linear é uma ferramenta poderosa para a resolução e manipulação dos sistemas, 
proporcionando um novo enfoque para a análise dos sistemas. 
Os Métodos de Resolução apresentados oferecem ao estudante várias abordagens para resolver sistemas lineares, cada uma 
com suas próprias vantagens e desvantagens. 
As transformações lineares são as funções que preservam a estrutura vetorial -ou seja, as operações e e os axiomas de adição 
e multiplicação por um escalar. E o estudo das propriedades dessas transformações lineares é um dos objetos centrais da 
álgebra linear e nesse texto culminará com as Formas Normal de Jordan e na Forma Racional. 
As transformações lineares são vitais em praticamente todas as áreas da ciência e outras áreas da matemática. Praticamente 
todas as áreas da ciência moderna contêm modelos onde as equações são aproximadas por equações e transformações 
lineares (aproximando a função pela sua derivada/"argumentos de expansão de Taylor"). 
Referência Biliográfica 
 
• https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/sistemas-lineares 
• https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/sistemas-
lineares/#:~:text=Veja%20tamb%C3%A9m:-
,O%20que%20s%C3%A3o%20sistemas%20lineares?,o%20s%C3%ADmbolo%20matem%C3%A1tico%20da%20chave 
 
• https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/alinear/tlinear4.html 
• https://eaiamigo.com.br/blog/transformacoes-lineares-
resumo/#:~:text=Transforma%C3%A7%C3%B5es%20lineares%20s%C3%A3o%20aplica%C3%A7%C3%B5es%20entre
,soma%20e%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20por%20escalar 
• https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear#:~:text=Em%20%C3%A1lgebra%20linear%2C
%20uma%20transforma%C3%A7%C3%A3o,aplica%C3%A7%C3%A3o%20linear%20ou%20mapa%20linear 
 
 
 
 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/sistemas-lineares
https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/sistemas-lineares/#:~:text=Veja%20tamb%C3%A9m:-,O%20que%20s%C3%A3o%20sistemas%20lineares?,o%20s%C3%ADmbolo%20matem%C3%A1tico%20da%20chave
https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/sistemas-lineares/#:~:text=Veja%20tamb%C3%A9m:-,O%20que%20s%C3%A3o%20sistemas%20lineares?,o%20s%C3%ADmbolo%20matem%C3%A1tico%20da%20chave
https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/sistemas-lineares/#:~:text=Veja%20tamb%C3%A9m:-,O%20que%20s%C3%A3o%20sistemas%20lineares?,o%20s%C3%ADmbolo%20matem%C3%A1tico%20da%20chave
https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/alinear/tlinear4.html
https://eaiamigo.com.br/blog/transformacoes-lineares-resumo/#:~:text=Transforma%C3%A7%C3%B5es%20lineares%20s%C3%A3o%20aplica%C3%A7%C3%B5es%20entre,soma%20e%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20por%20escalar
https://eaiamigo.com.br/blog/transformacoes-lineares-resumo/#:~:text=Transforma%C3%A7%C3%B5es%20lineares%20s%C3%A3o%20aplica%C3%A7%C3%B5es%20entre,soma%20e%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20por%20escalarhttps://eaiamigo.com.br/blog/transformacoes-lineares-resumo/#:~:text=Transforma%C3%A7%C3%B5es%20lineares%20s%C3%A3o%20aplica%C3%A7%C3%B5es%20entre,soma%20e%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20por%20escalar
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear#:~:text=Em%20%C3%A1lgebra%20linear%2C%20uma%20transforma%C3%A7%C3%A3o,aplica%C3%A7%C3%A3o%20linear%20ou%20mapa%20linear
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear#:~:text=Em%20%C3%A1lgebra%20linear%2C%20uma%20transforma%C3%A7%C3%A3o,aplica%C3%A7%C3%A3o%20linear%20ou%20mapa%20linear