Para resolver o sistema linear utilizando a Regra de Cramer, precisamos seguir alguns passos. O sistema dado é: 1) \( x + 2y - z = 3 \) 2) \( 2x - y + 3z = 9 \) 3) \( -x + y + 5z = 8 \) Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes \( A \) e o vetor dos termos independentes \( B \): \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 8 \end{bmatrix} \] ### Passo 1: Calcular o determinante de \( A \) (\( D \)) \[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 5 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: \[ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 5 - 3 \cdot 1 = -5 - 3 = -8 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 - 3 \cdot (-1) = 10 + 3 = 13 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = 2 - 1 = 1 \] Substituindo os valores: \[ D = 1 \cdot (-8) - 2 \cdot 13 - 1 \cdot 1 = -8 - 26 - 1 = -35 \] ### Passo 2: Calcular os determinantes \( D_x \), \( D_y \) e \( D_z \) Para \( D_x \), substituímos a primeira coluna de \( A \) por \( B \): \[ D_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 9 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 5 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_x \): \[ D_x = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 9 & -1 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: \[ D_x = 3 \cdot (-8) - 2 \cdot (9 \cdot 5 - 3 \cdot 8) - 1 \cdot (9 \cdot 1 - (-1) \cdot 8) \] \[ = 3 \cdot (-8) - 2 \cdot (45 - 24) - 1 \cdot (9 + 8) \] \[ = -24 - 2 \cdot 21 - 17 = -24 - 42 - 17 = -83 \] Para \( D_y \), substituímos a segunda coluna de \( A \) por \( B \): \[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & 5 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_y \): \[ D_y = 1 \cdot \begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: \[ D_y = 1 \cdot (9 \cdot 5 - 3 \cdot 8) - 3 \cdot (10 + 3) - (16 + 9) \] \[ = 1 \cdot (45 - 24) - 3 \cdot 13 - 25 = 21 - 39 - 25 = -43 \] Para \( D_z \), substituímos a terceira coluna de \( A \) por \( B \): \[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & 8 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_z \): \[ D_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 9 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: \[ D_z = 1 \cdot (-8 + 9) - 2 \cdot (16 + 9) + 3 \cdot (2 + 1) \] \[ = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 25 + 3 \cdot 3 = 1 - 50 + 9 = -40 \] ### Passo 3: Calcular as variáveis \( x \), \( y \) e \( z \) Agora, usando a Regra de Cramer: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-83}{-35} = \frac{83}{35} \approx 2,37 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-43}{-35} = \frac{43}{35} \approx 1,23 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-40}{-35} = \frac{40}{35} \approx 1,14 \] ### Resumo da Solução As soluções do sistema são: \[ x \approx 2,37, \quad y \approx 1,23, \quad z \approx 1,14 \] Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!