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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
 
 
 
 
GEOMETRIA PROJECTIVA 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES DE TRABALHO DE CAMPO DA DISCIPLINA DE 
GEOMETRIA PROJECTIVA 
 
 
 
 
José Pinto Manuel Navalha 
Código: 708203717 
Turma: B 
 
 
 
 
 
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática 
Disciplina: Geometria Projectiva 
Ano de Frequência: 4º Ano 
Tutor: Fernando Alfredo Muchanga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo, Maio de 2024 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
1.1. Introdução 
A Geometria é parte integrante nos currículos escolares e de aplicação prática no nosso dia-a-
dia. Geralmente a Geometria é vista como insignificante para o aluno. O domínio desse 
conteúdo deve ser estimulado através de pesquisas de fatos históricos acerca da geometria e 
suas aplicações nas construções, na agricultura, na pecuária e na resolução de problemas, que 
envolvem cálculos e medidas. A Geometria, inicialmente, é o conhecimento imediato da nossa 
relação com o espaço e os problemas colocados por este conhecimento é que nos levam à 
construção gradativa do saber geométrico. Com este trabalho pretende-se apresentar o objectivo 
de estudo dessa cadeira as suas 
aplicações na vida real. 
O presente trabalho trata-se de uma resolução de 3 exercícios sobre a Geometria Projectiva. O 
trabalho foi elaborado na base de pesquisa bibliográfica e apresenta a seguinte estrutura: 
capitulo I: Introdução, objectivos, metodologia, capitulo II: resolução das actividades, e por fim 
capítulo III: Conclusão e Referências Bibliográficas. 
 
1.2. Objectivos: 
1.2.1. Objectivo geral 
 Resolver a ficha de exercícios da cadeira de Geometria Projectiva na vida prática. 
1.2.2. Objectivos Específicos 
 Usar teorema de desargues e teorema de Staudt e seus casos particular para resolver 
exercícios; 
 Fazer a demonstração da aplicação da Geometria Projectiva na vida prática; 
 Definir num quadrivertice ou quadrilátero e os conjuntos de quartos pontos ou rectas 
que formam um quadruplo harmónico. 
 
1.3. Metodologia 
Para o desenvolvimento do presente trabalho foram utilizadas pesquisas bibliográficas. A 
pesquisa bibliográfica baseou-se na seguinte obra: ATIYAH, M. O que é geometria? In: 
PAVANELLO, R.M. O que ensinar de matemática hoje? Revista Temas e Debates, SBEM, 
1989, ano II, n.2, p.07-09. OLIVA, W.M. Geometria não euclidiana. Revista do professor de 
matemática. SBM, n.2, 1983. p.28-31. Cremona, Luigi. El´ements de G´eom´etrie Projective. 
Paris, Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1875. 
No âmbito das figuras usou-se software geogebra na produção das mesmas. 
CAPITULO II: RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES 
Actividade 01 
Baseando-se no princípio de dualidade no espaço, formule as propriedades duais das 
seguintes: 
a) A uma recta passam infinitos planos. 
Dual: por um ponto passa infinitas rectas. 
b) Um plano e uma recta que não se pertencem intersectam-se um ponto. 
Dual: um plano e uma recta que não se pertences determinam um plano. 
c) Nem todos os planos contem um único ponto. 
Dual: Nem todas as rectas são definidas por um único plano. 
Actividade 02 
Dadas duas rectas a e b, tirar, por um ponto exterior P, uma recta que passe pelo ponto de 
encontro das outras duas, sem o conhecer. 
 
Resolução: 
Procedimentos: 
Primeiro: Precisamos traçar uma terceira recta que vai concorrer com as outras duas dadas 
num ponto que esta fora dos limites de desenho. Para isso, conhecemos apenas um ponto P 
dessa recta. 
Usando a ideia de Desargues e, as duas rectas dadas como sendo as rectas que unem vértices 
correspondentes de dois triângulos correspondentes, marcamos sobre a recta a os pontos A e A’ 
e sobre a recta b os pontos B e B’. 
Segundo: Consideremos o ponto dado P como o terceiro vértice de modo a obter o triângulo 
ABP que terá como correspondente o triângulo A’B’P’. Observe que na configuração de 
Desargues, as rectas que unem vértices correspondentes são concorrentes num ponto chamado 
centro e, os lados correspondentes intersectam-se em três pontos que pertencem a mesma recta, 
eixo de perspectividade. Assim sendo temos apenas um ponto do eixo que chamaremos de L 
que surge pela intersecção dos lados (AB) e (A´B´) e os outros dois pontos do eixo já não estão 
identificados. Para identifica-los traçamos o eixo que devera passar pelo ponto L e intersectar 
os lados (AP) e (BP) obtendo por essas intersecções os pontos N e M, respectivamente. A 
posição do eixo não interessa desde que intersecte os lados (AP) e (BP) razão pela qual usou-
se na resolução dois eixos com posições diferentes para evidenciar que a recta (PP´) sempre 
será única. 
Terceiro: A seguir precisamos traçar as rectas (A´N) e (B´M) que intersectaram-se no ponto 
P´ obtendo assim o terceiro vértice do triângulo A´B´P´ que é perspectivo ao triângulo ABP. 
Portanto, pelo teorema de Desargues temos certeza absoluta que a recta (PP´) intersectará as 
outras duas, a e b, no mesmo ponto de concorrência. 
 
Actividade 03 
Dados dois pontos A e B e uma recta r, determinar a intersecção de r com (AB), sem traçar 
(AB). (dica: completar o quadrivertice ABCD e usar o teorema de Staudt tomando a recta 
r como eixo de perspectividade). 
Resolução: 
 
 
 
CAPITULO III: CONSIDERAÇÕES FINAIS E REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
3.1. Conclusão 
Este trabalho objectivou investigar como os livros didácticos da disciplina Geometria Projectiva 
estão abordando as aplicações desta disciplina, tendo em vista as inúmeras formas de 
aplicabilidade que a mesma apresenta no nosso quotidiano, e com a finalidade de se ter um 
melhor aproveitamento no processo de ensino e aprendizagem. Na geometria projetiva, o 
teorema de Desargues afirma que: Dois triângulos estão em perspectiva axial se, e somente se, 
estiverem em perspectiva central. Quando o teorema é estudado no espaço tridimensional, o 
eixo de perspectiva é a recta de fuga. Um quadrúplo harmónico de pontos é definido num 
quadrivétice e é o conjunto dos quatros pontos na recta que une os pontos diagonais. Assim, o 
quadruplo harmónico é constituído pelos dois pontos diagonais e dois pontos de intersecção das 
rectas que passam pelo terceiro ponto diagonal com o lado diagonal. Tudo o que nos é 
comunicado do mundo que nos cerca, por meio do sentido da visão, é uma imagem projectada. 
A Geometria Projectiva é o campo da matemática que estuda as relações que se estabelecem 
entre o objecto real e sua imagem projectada, sendo assim, podemos dizer que é a geometria do 
que vemos e, como tal, compartilha o carácter não-euclidiano das geometrias que se propõem 
a descrever o mundo físico. 
 
 
3.2. Referencias Bibliográficas 
I. ATIYAH, M. O que é geometria? In: PAVANELLO, R.M. O que ensinar de 
matemática hoje? Revista Temas e Debates, SBEM, 1989, ano II, n.2, p.07-09. 
II. II. OLIVA, W.M. Geometria não euclidiana. Revista do professor de matemática. 
SBM, n.2,1983. p.28-31. 
III. III. Cremona, Luigi. El´ements de G´eom´etrie Projective ´ . Paris, Gauthier-Villars, 
Imprimeur-Libraire, 1875. 
IV. Manual da ucm do modulo geometria projectiva, elaborado por Fernando Alfredo 
Muchanga,