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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Após termos revisado e ampliado as temáticas relativas às matrizes e 
seus determinantes, estamos preparados para revisar e ampliar conceitos 
acerca dos sistemas lineares de equações. Como bem sabemos de nossos 
estudos preliminares em Matemática, os sistemas de equações são utilizados 
para modelar a maior parte das situações que podem ser resolvidas com o uso 
de Matemática. Também presumimos, ao longo desta abordagem, que já 
conhecemos a resolução de formas simples como sistemas contendo duas ou 
três incógnitas e/ou equações. 
Nosso objetivo é generalizar o método de resolução de equações e, para 
isso, o uso de matrizes, especialmente a técnica para determinar matrizes 
inversas por meio da matriz adjunta, facilitará nosso trabalho. Além disso, 
precisaremos estreitar os laços entre as disciplinas de Geometria Analítica e 
Álgebra Linear, exportando da primeira a interpretação geométrica de uma 
equação. 
TEMA 1 – RELAÇÕES COM GEOMETRIA ANALÍTICA 
Algumas equações são chamadas de “equações lineares” justamente 
porque sua representação no espaço vetorial (plano ou espaço cartesiano) é 
realizada por uma linha, podendo ser uma reta, um plano, ou ainda, algum outro 
objeto nesse estilo. Em Álgebra Linear, temos o objetivo de generalizar tais 
interpretações imaginando mais de três dimensões, mas toda investigação que 
faremos é feita até a dimensão que podemos observar. 
1.1 Coordenadas de um ponto e de um vetor 
Em Geometria Analítica, quando imaginamos o espaço cartesiano ℝ3 
aprendemos que as retas e os planos são subconjuntos desse espaço. Também 
aprendemos que qualquer ponto do espaço pode ser representado por meio das 
suas coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 de forma que 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3. É importante destacar 
que devemos ter cuidado em diferenciar o ponto 𝑃 do vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ de mesma 
coordenada. 
 
 
3 
Figura 1 – Ponto P 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
1.2 Eixos coordenados 
As coordenadas do ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) são escritas em referência aos seus 
eixos coordenados. No espaço vetorial conhecido como espaço cartesiano, há 
três eixos, chamados de eixo 𝑥, eixo 𝑦 e eixo 𝑧. O eixo 𝑥 é formado por todos os 
pontos que têm coordenadas 𝑦 = 𝑧 = 0. Dessa forma, denotamos como 
{𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘(1,0,0), 𝑘 ∈ ℝ}. Nessa notação, concluímos que o eixo 𝑥, assim 
como os demais eixos, são formados por infinitos pontos. Entretanto, para o 
eixo 𝑥 todos esses pontos podem ser escritos como combinação linear do 
versor 𝑎 = (1,0,0). 
Figura 2 – Eixo 𝑥 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
De forma similar, concluímos que o eixo 𝑦 é definido como um eixo 
coordenado formado por infinitos pontos gerados pela combinação linear do 
versor 𝑎 = (0,1,0), gerando o conjunto {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘(0,1,0), 𝑘 ∈ ℝ}. Dessa 
forma, são todos os vetores que apresentam coordenadas 𝑥 = 𝑧 = 0. 
 
 
4 
Figura 3 – Eixo 𝑦 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Por sua vez, o eixo 𝑧 é definido como um eixo coordenado formado por 
infinitos pontos gerados pela combinação linear do versor 𝑎 = (0,0,1), gerando 
agora o conjunto {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘(0,0,1), 𝑘 ∈ ℝ}. Esses vetores terão coordenadas 
em que 𝑦 = 𝑧 = 0. As imagens indicam visualmente o que são cada um desses 
eixos. 
Figura 4 – Eixo 𝑧 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
1.3 Planos coordenados 
Além dos eixos coordenados, no sistema cartesiano também 
reconhecemos os planos coordenados. Embora geometricamente sejam 
planos, algebricamente a diferença dos eixos coordenados é que apenas uma 
de suas coordenadas é nula. Vejamos, por exemplo, o plano 𝑥𝑦: esse é gerado 
pela combinação linear dos vetores 𝑎 = (1,0,0) e �⃗� = (0,1,0), gerando o 
conjunto {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘1(1,0,0) + 𝑘2(0,1,0); 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ). Aqui, todos os infinitos 
pontos pertencentes a esse plano terão coordenada 𝑧 = 0. 
De forma similar, o plano 𝑥𝑧 é o plano gerado pela combinação linear dos 
vetores 𝑎 = (1,0,0) e �⃗� = (0,0,1). Este será o conjunto {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘1(1,0,0) +
𝑘2(0,0,1); 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ}. Por sua vez, o plano 𝑦𝑧 é gerado pela combinação linear 
dos vetores 𝑎 = (0,1,0) e �⃗� = (0,0,1) sendo dado por {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = 𝑘1(0,1,0) +
 
 
5 
𝑘2(0,0,1); 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ). Novamente, as imagens indicam visualmente o que são 
cada um desses planos. 
Figura 5 – Plano 𝑥𝑦 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Figura 6 – Plano 𝑥𝑧 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Figura 7 – Plano 𝑦𝑧 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
1.4 Equações da reta e do plano 
As retas (eixos) e planos cartesianos são casos específicos da reta 𝑟 e do 
plano Π. Afinal, sabemos que por meio de um ponto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∈ 𝑟 e um vetor 
diretor da reta 𝑟 dado por 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) podemos escrever uma das equações 
da reta 𝑟 dada em sua forma paramétrica como 𝑟: {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑣1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣2
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑣3
. 
 
 
6 
Também sabemos que um plano pode ser definido por meio de um ponto 
𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∈ Π e de seu vetor normal �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Dessa forma, toda equação 
do plano é dada por: Π: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑. 
O interessante é percebermos que toda equação da forma 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 +
𝑐𝑥3 +⋯+ 𝑛𝑥𝑛 +⋯ = 𝑘 são, geometricamente, um plano ou uma reta, a 
depender da visualização que temos. 
TEMA 2 – SISTEMAS LINEARES 
Se toda equação linear pode ser representada geometricamente, a 
solução de um sistema linear também pode ser analisada geometricamente. É 
essa análise que possibilitará diferenciar o que é um sistema possível, 
impossível, determinado ou indeterminado. 
2.1 Sistemas de equações no ℝ𝟐 
Uma equação linear do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 é uma reta composta por infinitos 
pontos (𝑥, 𝑦). Sendo assim, um sistema linear composto por duas equações e 
duas incógnitas estará comparando a posição relativa entre duas retas no plano. 
A forma geral desse sistema será dada por: {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 = 𝑏2
. 
Suas posições relativas poderão ser: I) concorrentes, quando interceptam 
em apenas um ponto, indicando a existência de um a única solução; II) 
coincidentes, quando as equações, mesmo diferentes, representam a mesma 
reta, indicando a existência de infinitas soluções; III) paralelas, quando não 
ocorre intersecção entre as retas, indicando que não existe solução desse 
sistema. 
Figura 8 – Concorrentes 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
 
 
7 
Figura 9 – Coincidentes 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Figura 10 – Paralelas 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
2.2 Sistemas de equações no ℝ𝟑 
Na visualização tridimensional, uma equação linear do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 =
𝑑 é um plano composto por infinitos pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
Figura 11 – Visualização tridimensional 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Figura 12 – Visualização tridimensional 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
 
 
8 
Figura 13 – Plano composto por infinitos pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Ao observar um sistema de duas equações e três incógnitas, estaremos 
comparando a posição relativa entre dois planos. Vejamos que a forma geral 
desse sistema será agora dada por: {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
. 
Agora suas posições relativas poderão ser: I) coincidentes, quando as 
equações, mesmo diferentes, representarem o mesmo plano, indicando infinitas 
soluções na forma do próprio plano; II) paralelas, quando não ocorre intersecção 
entre os planos, indicando que o sistema não tem solução; III) concorrentes em 
uma reta, quando a intersecção dos planos forme uma reta de pontos 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
que satisfaz as equações de ambos os planos. Observemos, nas figuras a seguir 
(Figuras 14, 15 e 16), a ocorrência dessas três situações. 
Figura 14 – Coincidentes 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Figura 15 – Paralelos 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
 
 
9 
Figura 16 – Concorrentes 
 
Fonte: Pianezzer, 2022. 
Geometricamente, observamos que duasequações de três incógnitas 
nunca definirão um único ponto, o que explica porque não surge um sistema 
possível e determinado. Entretanto, havendo três equações e três incógnitas, 
estaremos resolvendo o sistema dado por: {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3
. 
Nesse caso, suas posições relativas podem ser: I) concorrentes em um 
ponto, existindo uma única possibilidade de intersecção, ou seja, uma única 
solução; II) intersecção vazia, não existindo um caso em que os três planos se 
interceptam simultaneamente; III) concorrentes em uma reta, em que a 
intersecção dos três planos forme uma reta, isto é, infinitas soluções. 
2.3 Sistemas lineares 
Como vamos generalizar os sistemas lineares, é interessante que 
sejamos capazes de escrever um sistema linear geral formado por 𝑚 equações 
e 𝑛 incógnitas. Nesse caso, será dado por: {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
. 
É interessante perceber como o sistema de equações, por carregar uma 
grande quantidade de informações, tem sua representação escrita em uma 
forma extensa. É por isso que decidimos escrevê-la de forma sucinta utilizando 
as matrizes. Assim, escrevemos a matriz dos coeficientes 𝐴𝑚×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛, a 
matriz das incógnitas 𝑋𝑛×𝑙 = [𝑥𝑖𝑗]𝑛×𝑙 e a matriz dos termos independentes 
𝐵𝑛×𝑙 = [𝑏𝑖𝑗]𝑛×𝑙. Dessa forma, podemos usar os conhecimentos acerca de 
produtos de matrizes para perceber que o sistema definido anteriormente pode 
 
 
10 
ser simplificado na forma 𝐴𝑋 = 𝐵. Além disso, a matriz dos coeficientes de ordem 
𝑚 × 𝑛 fará o sistema de equações ser de dimensão 𝑚× 𝑛. 
TEMA 3 – POSTO E NULIDADE DE UMA MATRIZ 
Lembre-se de que os problemas que recaem em sistema de equações 
lineares vêm de problemas rotineiros. Por exemplo, em alguns casos estamos 
tratando de equações do tipo 2𝑥 + 3𝑦 = 50, em que 𝑥 representa a quantidade 
de maçãs que custa R$ 2,00, 𝑦 a quantidade de bananas que custa 𝑅$ 3,00, e 50 
o preço total gasto na compra das frutas. Devemos saber que apenas essa 
informação não é o suficiente para determinar a quantidade precisa de maçãs e 
bananas compradas, visto que poderíamos ter (10,10) ou (16,6) ou tantas outras 
infinitas soluções. 
Entretanto, nem toda informação adicional possibilita resolver esse tipo de 
sistema. Ao informar que 4𝑥 + 6𝑦 = 100, estaremos gerando uma equação que 
carrega as mesmas informações de antes. Dessa forma, para eliminarmos as 
informações (equações) repetidas, devemos compreender o conceito de posto e 
nulidade de uma matriz. 
3.1 Posto de uma matriz 
As equações do exemplo anterior são equações linearmente 
dependentes, por carregarem consigo a mesma informação. O posto de uma 
matriz determina para nós a quantidade de linhas linearmente independentes 
da matriz, isto é, indica quantas equações restam após eliminarmos aquelas que 
apresentam a mesma informação. 
Vejamos, por exemplo, o caso das matrizes dos coeficientes a seguir: 
 𝐴 = [
0 1 0
0 0 0
], 𝐵 = [
1 1 0 0
0 1 − 1
0 0 0 0
0 0 0 0
], 𝐶 = [
1 0 0
0 1 2
0 0 1
]. 
A forma com que as matrizes foram escritas faz com que identifiquemos 
que 𝐴 tem uma única linha linearmente independente, 𝐵 tem duas linhas 
linearmente independentes, enquanto 𝐶 tem as três linhas linearmente 
independentes. Embora vamos definir, formalmente, o conceito de 
independência linear futuramente, já podemos observar que isso diz respeito à 
quantidade de informações repetidas que a matriz carrega. Nesse caso, 
 
 
11 
devemos observar que, se 𝐴 é uma matriz de ordem 𝑚 × 𝑛, o posto da matriz 
é determinado pelo número de linhas linearmente independentes da matriz. 
3.1.1 Definição de posto de uma matriz 
Consideremos uma matriz 𝐴 de ordem 𝑚 × 𝑛. O posto da matriz 𝐴 será a 
ordem da maior submatriz não singular da matriz dada. Denotamos o posto da 
matriz 𝐴 por 𝑝(𝐴). Vejamos, por exemplo, o que ocorre com a matriz 
𝐴 = [
1 3 5
0 −1 2
0 2 −4
]. 
Como é uma matriz de terceira ordem, seu posto poderá ser 0, 1, 2 ou 3. 
Para isso, devemos investigar as submatrizes com essas dimensões. 
Começamos pela submatriz de dimensão 3, que é a própria matriz 𝐴. Como 
det(𝐴) = 0, concluímos que 𝐴 é uma matriz singular. Partindo para as matrizes 
de dimensão 2, verificamos se existe alguma submatriz que seja não singular. 
Uma das possibilidades é a matriz 𝐴1 = [
0 −1
0 2
], que é submatriz de 𝐴. 
Entretanto, como det(𝐴1) = 0, concluímos que 𝐴1 também é singular. É 
importante observar que ainda de ordem 2 existem várias outras submatrizes 
que podem ser geradas a partir de 𝐴. Um desses casos é a matriz 𝐴2 = [
3 5
−1 2
]. 
Esse método para determinar o posto pode ser exaustivo para matrizes 
maiores em razão da quantidade de cálculos de determinante, mas, nesse caso, 
concluímos que det(𝐴2) = 11, indicando que existe uma submatriz de 𝐴 de 
ordem 2 que é não singular. Como todas as submatrizes de 𝐴 de terceira ordem 
são singulares (apenas ela mesma), concluímos que 𝑝(𝐴) = 2. 
3.2 Nulidade de uma matriz 
Se a matriz 𝐴 do caso anterior é de dimensão 3, mas tem posto 2, significa 
que nela estão contidas informações excessivas acerca do problema avaliado. 
É com base nessa análise que definimos a nulidade de uma matriz. 
3.2.1 Definição de nulidade de uma matriz 
Uma matriz qualquer 𝐴 de dimensão 𝑚 × 𝑛 tem sua nulidade definida 
como a diferença entre o número de colunas (𝑛) e seu posto (𝑝). Como notação, 
 
 
12 
escrevemos 𝑛𝑢𝑙(𝐴) = 𝑛 − 𝑝. Vejamos, por exemplo, o caso da matriz 
𝐵 = [
1 2 3
3 5 7
4 6 5
]. 
Ao calcular o determinante da submatriz de maior ordem (no caso ela 
mesma), concluímos que det(𝐵) = 3. Como a matriz 𝐵 é não singular, 
concluímos que 𝑝(𝐵) = 3; tendo 𝐵 apenas 𝑛 = 3 colunas, concluímos que 
𝑛𝑢𝑙(𝐵) = 3 − 3 = 0. Entretanto, no caso da matriz 𝐶 = [
1 3 2
3 8 9
1 2 5
], podemos 
afirmar que det(𝐶) = 0. Logo, a matriz é singular e esgotamos todas as 
possibilidades de submatrizes de terceira ordem. 
Então, analisamos algumas submatrizes de segunda ordem, como é o 
caso de 𝐶1 = [
3 9
1 5
] e 𝐶2 = [
1 3
3 8
]. Qualquer umas delas é não singular, visto 
que det(𝐶1) = 6 e det(𝐶2) = −1. Logo, 𝑝(𝐶) = 2. Como 𝑛 = 3, concluímos que 
𝑛𝑢𝑙(𝐶) = 3 − 2 = 1. É fundamental destacar que o propósito do uso de posto e 
nulidade é concluir sobre o tipo de equações existentes nos sistemas de 
equações, entretanto, a técnica para determinação do posto é exaustiva de 
forma que nos é interessante estudarmos o que são as matrizes e sistemas 
equivalentes. 
TEMA 4 – MATRIZES E SISTEMAS EQUIVALENTES 
Vamos retornar ao problema da quantidade de maçãs e bananas. As 
equações 2𝑥 + 3𝑦 = 50 e 4𝑥 + 6𝑦 = 100 são equivalentes porque carregam o 
mesmo tipo de informação. Nesse caso, ao multiplicarmos a primeira equação 
por 2, geramos uma nova equação, mas ambas apresentam a mesma solução. 
Essa é uma das três operações elementares que não alteram as informações do 
sistema de equações. 
4.1 Operações elementares 
São três as operações elementares que podem ser realizadas, tanto nas 
matrizes como nos sistemas, que os tornarão equivalentes: I) podemos trocar 
uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); II) podemos multiplicar uma 
linha ou uma coluna inteira por um número real qualquer; ou III) podemos somar 
 
 
13 
uma linha (ou coluna), mesmo multiplicada pelo número real qualquer, com outra 
linha (ou coluna). 
Vejamos que o sistema dado por {
𝑦 = 𝑘1
𝑥 = 𝑘2
 tem matriz dos coeficientes dada 
por 𝐸1 = [
0 1
1 0
]. Ao trocarmos ambas as linhas, é evidente que se trata da 
mesma matriz (sistema), dados por {
𝑥 = 𝑘2
𝑦 = 𝑘1
 ou 𝐸2 = [
1 0
0 1
]. O sistema dado por 
{
𝑥 = 𝑘1
𝑦 = 𝑘2
𝑧 = 𝑘3
 de matriz 𝐴 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] é equivalente à matriz obtida ao multiplicara 
terceira linha por três: {
𝑥 = 𝑘1
𝑦 = 𝑘2
3𝑧 = 3𝑘3
ou 𝐴1 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 3
]. Também podemos obter 
uma matriz equivalente a esse último apresentado se somarmos a segunda com 
a terceira linha e substituirmos no lugar da terceira: {
𝑥 = 𝑘1
𝑦 + 3𝑧 = 𝑘2 + 3𝑘3
3𝑧 = 3𝑘3
 ou 𝐴2 =
[
1 0 0
0 1 3
0 0 3
]. 
Embora a matriz gerada aqui seja mais complexa que as suas outras 
versões equivalentes apresentadas, geralmente os problemas estão em formas 
complexas e a solução se evidencia ao escrever uma matriz equivalente na sua 
forma mais simplificada (forma escada). 
4.2 Matrizes equivalentes 
Duas matrizes são consideradas equivalentes quando conseguimos obter 
uma da outra por meio de operações elementares. Ao encontrarmos matrizes 
equivalentes, certas características ocorrem; por exemplo, ambas as matrizes 
terão o mesmo posto. Para utilizarmos as matrizes para resolvermos o sistema 
linear da forma 𝐴𝑋 = 𝐵, costumamos analisar a matriz aumentada (ampliada), 
denotada por 𝐴𝑢 = [𝐴 ⋮ 𝐵]. Nesse caso, à matriz de coeficientes adicionamos 
uma última coluna contendo a matriz dos termos independentes. Vejamos o caso 
do sistema a seguir: {
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 7𝑥3 = 2
2𝑥2 + 𝑥3 = 3
, cujas matrizes são 𝐴 = [
1 3 5
1 2 7
0 2 1
] e 
𝐵 = [
1
2
3
]. 
 
 
14 
Nesse caso, 𝐴𝑢 = [
1 3 5 1
1 2 7 2
0 2 1 3
]. Se encontrarmos uma matriz �̃�𝑢 que 
seja equivalente à 𝐴𝑢, então o sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 será equivalente à �̃�𝑋 = �̃�. Como 
os sistemas equivalentes têm a mesma solução, a determinação de sistemas 
equivalentes mais simples que os do problema original fará com que a solução 
seja fácil de ser obtida. 
TEMA 5 – CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES 
Na primeira temática, discutimos as soluções que sistemas de equações 
podem assumir do ponto de vista geométrico. Algebricamente, o sistema pode 
ser possível (determinado ou indeterminado) ou impossível, trazendo estreitas 
relações com o observado nas posições relativas de retas e planos. 
5.1 Caracterização dos sistemas lineares 
Um sistema de equações é possível se tiver solução. Entretanto, no caso 
em que essa solução é única, será considerado possível e determinado e, 
tendo infinitas soluções, será considerado possível e indeterminado. Não 
tendo nem mesmo uma solução, será considerado um sistema impossível. O 
interessante aqui é que podemos classificar o tipo de sistema analisado 
observando o posto da matriz 𝐴 e da matriz 𝐴𝑢, isto é, 𝑝(𝐴) e 𝑝(𝐴𝑢): 
• se 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴𝑢), o sistema é possível. Nesse caso, se 𝑝(𝐴) = 𝑛, será 
possível e determinado. Se 𝑝(𝐴)