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GEOMETRIA 
ANALÍTICA E 
ALGEBRA LINEAR
PROF.a REBECCA MANESCO PAIXÃO
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof.a Rebecca Manesco Paixão
GEOMETRIA 
ANALÍTICA E 
ALGEBRA LINEAR
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
07
14
25
34
47
60
68
82
92
98
109
115
125
135
148
MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
DETERMINANTES 
MATRIZ ADJUNTA, MATRIZ INVERSA E 
SISTEMAS LINEARES
VETORES 
ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 
ESPAÇOS VETORIAIS: COMBINAÇÃO LINEAR, 
DEPEDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR E 
BASE E DIMENSÃO
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
AUTOVALORES E AUTOVETORES
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO
ESTUDO ANALÍTICO DA RETA
RETAS E PLANOS DO 3
CÔNICAS
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
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INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) estudante! Sou a professora Rebecca Manesco Paixão, graduada 
em Engenharia Ambiental e Sanitária e licenciada em Matemática, especialista em 
Segurança do Trabalho, mestre e doutora em Engenharia Química, com estágio de 
doutoramento realizado em Portugal.
E é com prazer que apresento a você o livro de “Geometria Analítica e Álgebra Linear”, 
o qual encontra-se dividido em 15 capítulos, preparados com o intuito conceituar 
tópicos importantes da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. 
Desta forma, iniciaremos nossos estudos com as matrizes. No capítulo 1 definiremos 
o que são matrizes e conheceremos os tipos de matrizes que existem. No capítulo 2, 
conheceremos as operações que podem ser efetuadas com matrizes, a saber, soma, 
subtração, multiplicação e multiplicação por escalar. No capítulo 3 vamos aprender 
a calcular determinantes de matrizes de dimensão 1, 2, 3 e de ordem superior. E, por 
fim, no capítulo 4 conheceremos alguns tipos de matrizes especiais, como a adjunta 
e a inversa, bem como a resolução de sistemas lineares por meio de matrizes.
Em um segundo momento, estudaremos os vetores no capítulo 5, que caracterizam 
as grandezas vetoriais, e na sequência, veremos espaço e subespaço vetorial, conceitos 
de combinação linear, dependência e independência linear. Trabalharemos também com 
transformações lineares, que são uma classe de funções vetoriais, e aprenderemos a 
encontrar autovalores e autovetores.
Nos capítulos 11, 12 e 13, faremos um estudo analítico do ponto, da reta e do plano. 
E por fim, nos capítulos 14 e 15, veremos cônicas e superfícies quádricas.
Bons Estudos!
Professora Dra. Rebecca Manesco Paixão.
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CAPÍTULO 1
MATRIZES
Olá caro(a) estudante! Iniciaremos nossos estudos referentes à disciplina de 
Geometria Analítica e Álgebra Linear com as matrizes.
É importante destacar que o cálculo matricial é de fundamental importância em 
várias áreas do conhecimento, possuindo aplicações na matemática, na engenharia, na 
econômica, na física, e entre outras áreas. Além disso, os conceitos introdutórios que 
veremos neste capítulo serão importantes para a discussão dos próximos conteúdos 
que veremos ao longo da presente disciplina. Vamos lá?
1.1 Introdução às matrizes
Uma matriz consiste de uma tabela com os elementos dispostos em linhas e 
em colunas. A definição dada por Anton e Rorres (2012, p. 26) é a de que “é um 
agrupamento retangular de números. Dizemos que os números nesse agrupamento 
são as entradas da matriz”.
Desta forma, chamamos de matriz m×n (lê-se: “m por n”) com m∈ * e n∈ *, uma 
tabela formada por m×n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, 
a dimensão da matriz diz respeito ao seu tamanho: número de linhas e número de 
colunas, nesta ordem.
Veja abaixo, um exemplo de matriz com 2 linhas e 3 colunas:
Uma matriz pode ser representada de três formas distintas: escrevendo seus 
elementos entre parênteses, colchetes ou entre duas barras verticais duplas. Abaixo, 
seguem exemplos ilustrando matrizes do tipo (2 linhas por 2 colunas):
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• 
• 
• 
Neste estudo, caro(a) estudante, iremos utilizar os colchetes para escrever os 
elementos das matrizes.
Por definição, a matriz é indicada por uma letra maiúscula, e seus elementos por letras 
minúsculas, acompanhada de dois índices: o primeiro, que indica a linha à qual o elemento 
pertence, e o segundo, que indica a coluna à qual o elemento pertence. Assim, por exemplo, 
a matriz A do tipo 2×3 (2 linhas por 3 colunas), é representada da seguinte forma:
Na matriz acima, lemos os elementos da seguinte forma: a11 (lê-se “a-um-um”) é o 
elemento que está na 1ª linha e na 1ª coluna. a12 (lê-se “a-um-dois”) é o elemento que 
está na 1ª linha e na 2ª coluna. E, assim por diante.
De forma genérica, a representação da matriz A do tipo m×n se dá da seguinte forma:
A matriz A também pode ser indicada como: A=(a_ij)m×n, em que 1≤i≤m e 1≤j≤n.
Perceba caro(a) estudante, que quando representamos o elemento da matriz como 
aij, estamos nos referindo ao elemento que ocupa a i-ésima linha e a j-ésima coluna 
da matriz. 
Exemplo 1.1: Seja a matriz B= , então, podemos dizer que B é uma matriz do 
tipo 3×2, pois possui 3 linhas e 2 colunas. Além disso, seus elementos são:
• b11=1
• b12=0
• b21=2
• b22=4
• b31=5
• b32=7
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Dentre as aplicações das matrizes, as mesmas podem ser utilizadas na representação 
de dados, de uma forma compacta. Assim, por exemplo, vamos considerar a tabela 
abaixo que ilustra a altura e o peso de três pessoas:
Pessoa Altura (cm) Peso (kg)
1 160 55
2 171 87
3 165 70
Tabela 1.1: Altura e peso de três pessoas
Fonte: a autora.
A partir dos dados apresentados na Tabela 1.1, podemos montar a matriz C, do 
tipo 3×2:
1.2 Classificação das matrizes
As matrizes podem ser classificadas de acordo com algumas características que 
apresentam:
• Matriz linha: matriz formada por uma única linha, sendo também denominada 
de vetor-linha.
Exemplo 1.2: A=[0 5 4]
A é uma matriz linha, do tipo 1×3.
Exemplo 1.3: B=[1 -2 4 3 -7]
B é uma matriz linha, do tipo 1×5.
• Matriz coluna: matriz formada por uma única coluna.
Exemplo 1.4: C=
C é uma matriz coluna, do tipo 2×1.
Exemplo 1.5: D=
D é uma matriz coluna, do tipo 3×1.
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• Matriz quadrada: matriz formada pelo mesmo número de linhas e de colunas, 
ou seja m=n.
Exemplo 1.6: E= 
E é uma matriz quadrada, do tipo 2×2.
Exemplo 1.7: F= 
F é uma matriz quadrada, do tipo 3×3.
• Matriz retangular: matriz retangular que possui mais linhas do que colunas, ou 
vice-versa, de modo que m≠n.
Exemplo 1.8: G= 
G é uma matriz retangular, do tipo 3×2.
Exemplo 1.9: H= 
H é uma matriz retangular, do tipo 2×3.
• Matriz nula ou matriz zero: matrizLI.
Desta forma, concluímos que o conjunto {M1,M2,M3,M4} gera o espaço V e é LI; logo, 
o conjunto forma uma base para o espaço das matrizes de ordem 2×2.
Teorema. Seja uma base B={ 1, 2,..., n } de um espaço vetorial V, cada vetor de V é 
escrito de maneira única como combinação linear de 1, 2,..., n.
Definição. Considerando B={ 1, 2,..., n } base de um espaço vetorial e ∈V em que 
a1 1+a2 2+⋯+an n. Os números a1,a2,…,an são chamados de coordenadas de em 
relação à base B, e escrevemos 
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Exemplo 7.12: O vetor =(1,-2) pode ser escrito como =(1,0)-2∙(0,1) na base 
β={(1,0),(0,1)}. Portanto, 
Teorema. Sejam 1, 2,..., n vetores não nulos que geram um espaço vetorial V, então, 
dentre estes vetores, é possível extrair uma base de V.
Teorema. Considerando V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de 
vetores 1, 2,..., n. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente 
LD, e, portanto, qualquer conjunto LI de V tem no máximo n vetores.
Caro estudante, uma consequência destes teoremas é que qualquer base de um 
espaço vetorial finitamente gerado sempre tem o mesmo número de elementos, tal 
que este número é chamado de dimensão de V.
7.5.2 Dimensão de um espaço vetorial
Se V é um espaço vetorial que possui uma base com n vetores, então, qualquer 
outra base de V também tem n vetores, ou seja, qualquer base de V tem n elementos. 
O número n é chamado de dimensão de V, e é representado por dimV=n.
Teorema. Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo 
número de vetores.
Exemplo 7.13: Por definição, temos que: dim{0}=0, dim 2=2 e dim 3=3.
Exemplo 7.14: Determine a dimensão de D, se D é o espaço vetorial constituído 
das matrizes diagonais 2×2.
Um elemento genérico de D pode ser escrito como:
Uma vez que possui apenas duas variáveis independentes, a e b, então, a dimensão 
de D é 2, ou seja, dim D=2.
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Perceba caro(a) estudante, que no exemplo acima, pode ser escrito como:
Logo, o conjunto α gera D, e é linearmente independente. Portanto, 
α é uma base de D (no caso, a base mais simples, denominada de base canônica).
Exemplo 7.15: Determine a dimensão do subespaço S={(x,y,z)∈ 3 |2x+y+z=0}. 
Para isto, precisamos isolar z em 2x+y+z=0, tal que z=-2x-y.
Logo, para qualquer vetor (x,y,z)∈S, tem-se que:
Conclui-se que todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1,0,-2) e (0,1,-1). 
Como os dois vetores geradores de S são LI, então, o conjunto {(1,0,-2),(0,1,-1)} é uma 
base de S, o que implica que dim S=2.
Teorema. Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V com dimensão finita pode 
ser completado de modo a formar uma base para V.
Como consequência do teorema acima, caro(a) estudante, temos que se dim V=n, então, 
qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. Além disso, se dimV= n, então, 
qualquer conjunto com mais de n elementos será necessariamente LD.
7.5.3 Propriedades relativas à base e à dimensão
1. Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado
2. Seja B={ 1, 2,..., n } uma base de um espaço vetorial V, todo conjunto com mais 
de n vetores de V é LD
3. Em um espaço vetorial, duas bases quaisquer têm o mesmo número de vetores
4. Seja uma base de um espaço vetorial V, tal que B={ 1, 2,..., n }, então qualquer 
vetor ∈V se exprime como uma combinação linear dos vetores de B
5. Se V é um espaço vetorial tal que dimV=n e S é um subespaço vetorial de V, 
então dim S≤n
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6. A determinação da dimensão de um subespaço vetorial se dá pelo número de 
variáveis livres de seu vetor genérico
7.6 Mudança de base
Caro(a) estudante, para finalizar o presente capítulo, é importante que você saiba 
mudar os vetores de uma base para outra. Este método é denominado de mudança 
de base.
Sejam as bases α={ 1, 2,..., n} e β={ 1, 2,..., n} de um espaço vetorial V. Para um 
determinado vetor que pertence a V, podemos escrevê-lo utilizando qualquer uma 
das bases dadas:
=a1 1+a2 2+...+an n
=b1 1+b2 2+...+bn n
Podemos então, escrever:
Também é possível escrever os vetores 1 da base β utilizando os vetores da base α:
Substituindo essas equações em =b_1 1+b_2 2+...+b_n n, obtemos que:
Cuja expressão pode ser reescrita como:
Por outro lado, 
E, desta forma, podemos escrever:
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Estas equações podem ser escritas no formato matricial como:
Ou seja, , tal que a matriz é denominada de matriz 
mudança da base β para a base α.
Atente-se caro(a) estudante que se é conhecido e deseja-se encontrar , basta 
tomar a inversa de , uma vez que .
Exemplo 7.16: Sejam α={(1,3),(-1,4)} e β={(-1,0),(-2,-1)} bases de 2, determine a 
matriz de mudança de base de α para β.
Devemos calcular . As matrizes são e , 
tal que . Portanto, 
Exemplo 7.17: Sejam α={(1,0),(0,1)} e β={(1,-1),(1,1)} bases de 2, encontre a matriz 
mudança da base α para a base β, e escreva o vetor =(3,-2) na base β utilizando a 
matriz encontrada.
Devemos calcular . As matrizes são e , 
tal que . Portanto, 
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A matriz encontrada pode ser utilizada para mudança de qualquer vetor da base α 
para a base β. Então, para =(3,-2):
Portanto, o vetor , quando escrito na base β, é dado por .
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CAPÍTULO 8
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Caro(a) estudante, lembra-se da definição de função? 
Seja:
Em que f é uma função, se a cada elemento x∈A existe um único elemento y∈B, tal 
que y=f(x). Neste caso, A é chamado de domínio de f, B é o contradomínio de f, x é a 
variável independente e y é a variável dependente. 
Em nosso estudo, veremos um tipo especial de função linear, cujo domínio 
e contradomínio são espaços vetoriais reais. Isso significa que tanto a variável 
independente quanto a variável dependente pertencem a espaços vetoriais reais, de 
modo que a imagem da soma de vetores seja igual à soma dessas imagens, e a imagem 
de um vetor multiplicado por um escalar α é o produto deste escalar pela imagem do 
vetor. Matematicamente falando, essas funções são chamadas de Transformações 
Lineares.
Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V 
em W, T:V→W, sendo T uma função, em que cada vetor ∈V tem um só vetor ∈W, 
indicado por =T( ).
Por definição, uma transformação linear satisfaz às seguintes condições:
• 
• 
para e 
No caso especial em que V=W, dizemos que uma transformação linear é um operador 
linear de V.
Exemplo 8.1: Seja é uma transformação linear. 
De fato, considerando que e são vetores genéricos do , 
então, temos que:
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Proposição. T:V→W é uma transformação linear se T( +α∙ )=T( )+α∙T( ), para 
quaisquer e em V e para qualquer α em .
Em particular, quando V=W, uma transformação T:V→V também é chamada de 
operador linear.
Exemplo 8.2: A função T : → , dada por T(x)=7x é uma transformação linear. De 
fato, sejam =x1 e =x2 vetores de e α∈ , então:
Genericamente, toda matriz Am×n determina a transformação linear TA:
n→ m onde a 
imagem TA ( ) é o produto da matriz Am×n pelo vetor-coluna n×1: Am×n⋅ n×1=(A∙ )m×1=TA ( ) 
(STEINBRUCH e WINTERLE, 1997).
Da mesma forma, toda transformação linear T : n→ m pode ser representada por 
uma matriz de ordem m×n.
Exemplo 8.3: Seja a matriz e um vetor coluna, então, o 
produto é:
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E, portanto, TA (x,y)=(x+y,-3y,-x+5y)8.1 Propriedades da transformação linear
1. Se é uma transformação linear, a imagem do vetor é o vetor 
: 
2. Se é uma transformação linear, tem-se que 
, para e . Isso significa que a imagem 
de uma combinação linear dos vetores e é uma combinação linear das 
imagens e com os mesmos coeficientes e 
Exemplo 8.4: Seja uma transformação linear e 
uma base do , e sabendo que , e , para 
determinar , primeiramente é preciso expressar o vetor como combinação 
linear dos vetores da base:
O que nos leva ao sistema:
Resolvendo o sistema, verificamos que a1=0, a2=1 e a3=2. Então, (3,2,1)=v2+2v3
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Aplicando T, obtém-se que:
8.2 Núcleo e imagem de uma transformação linear
Vamos agora definir núcleo e imagem de uma transformação linear, bem como 
conhecer suas respectivas propriedades.
8.2.1 Núcleo de uma transformação linear
Chamamos de núcleo de uma transformação linear o conjunto de todos 
os vetores que são transformados em . Este conjunto é indicado por :
Atente-se que , pois uma vez que 
Exemplo 8.5: O núcleo da transformação linear 
é o conjunto :
O que nos leva ao seguinte sistema:
Cuja solução é x=0 e y=0. Portanto, N(T)={(0,0)}.
8.2.2 Imagem de uma transformação linear
A imagem de uma transformação linear T:V→W diz respeito ao conjunto dos vetores 
∈W que são imagens de vetores ∈V. Este conjunto é indicado por Im(T):
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Atente-se que, se Im(T)=W, dizemos que T é sobrejetora. Isto significa que para 
todo ∈W, existe pelo menos um ∈V tal que T( )= .
Atente-se que Im(T)≠∅, pois 0=T(0)∈Im(T). 
Exemplo 8.6: Seja T: → , T(x,y,z)=(x,y,0) a projeção ortogonal do sobre o plano 
x0y. A imagem de T é o próprio plano x0y, tal que:
8.2.3 Propriedades do núcleo e da imagem de uma transformação linear
I. O núcleo de uma transformação linear T:V→W é um subespaço vetorial de V. 
Sejam 1 e 2 vetores pertencentes ao N(T) e α um número real qualquer, então:
• T( 1)=0, T( 2)=0 e T( 1+ 2)=T( 1)+T( 2)=0+0=0, ou seja, 1+ 2∈N(T)
• T(α∙ 1)=α∙T( 1)=α∙0=0, ou seja, α∙ 1∈N(T)
II. A imagem de uma transformação linear T:V→W é um subespaço vetorial de W
III. Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T:V→W uma transformação 
linear, então dim N(T)+dim Im(T)=dimV 
Exemplo 8.7: Seja T: → , T(x,y)=(x-2y,2x+3y), verifique se o vetor (5,3) pertence 
ao conjunto Im(T). 
Para isto, é necessário que exista (x,y)∈ tal que T(x,y)=(x-2y,2x+3y)=(5,3).
Seja o sistema
Resolvendo o sistema, verifica-se que x=3 e y=-1. Portanto, (5,3)∈Im(T).
8.2.4 Transformações lineares injetoras e sobrejetoras
Definição. Seja T:V→W uma transformação linear de um espaço vetorial V em um 
espaço vetorial W, dizemos que T é uma transformação injetora se T transformar 
vetores distintos de V em vetores distintos de W.
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Definição: Seja T:V→W uma transformação linear de um espaço vetorial V em um 
espaço vetorial W, dizemos que T é uma transformação sobrejetora sobre W, se 
qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V.
Teorema. Se T:V→W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são 
equivalentes:
• T é injetora
• N(T)={0}
Teorema. Se V for um espaço vetorial de dimensão finita e T:V→V for um operador 
linear. As afirmações seguintes são equivalentes::
• T é injetora
• N(T)={0}
• T é sobrejetora, ou seja, Im(T)=V
Definição. Se uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora, dizemos 
que T é um isomorfismo e que os espaços vetoriais V e W são isomorfos.
Teorema. Qualquer espaço vetorial real de dimensão n é isomorfo a n.
Exemplo 8.8: Verifique se a transformação linear T: 2→ 2 dada por T(x,y)=(y,x) é 
injetora ou sobrejetora.
Para descobrir se a transformação linear T é injetora, é preciso determinar seu núcleo:
T(x,y)=(0,0)
(y,x)=(0,0)
Portanto, x=0 e y=0, logo, N(T)={(0,0)}, e então, a transformação linear é injetora.
Para verificar se a transformação linear T é sobrejetora, é preciso determinar sua 
imagem:
Im(T)={(y,x)|x,y∈ }
Im(T)={(y,0)+(0,x)|x,y∈ }
Im(T)={y∙(1,0)+x∙(0,1)|x,y∈ }
Verifica-se que a imagem é constituída de dois vetores, e, portanto, a dimensão é 
2. Uma vez que o contradomínio da transformação linear é o 2, então, a imagem é 
igual ao contradomínio. Conclui-se então que a transformação linear é sobrejetora.
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E, uma vez que a transformação linear dada é injetora e sobrejtora, então, é também 
um isomorfismo.
8.3 Matriz de uma transformação linear e operações com transformações lineares
Caro(a) estudante, trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas, 
muitas vezes, pode ser complicado. Desta forma, vamos agora definir matriz de 
uma transformação linear, bem como as operações que podem ser feitas com as 
transformações lineares: adição, produto e composta.
8.3.1 Matriz de uma transformação linear
Sejam T:V→W uma transformação linear, A={ 1, 2 } uma base de V e B={ 1, 2, 3 } 
uma base de W, então um vetor ∈V pode ser expresso por:
=x1 1+x2 2 ou A=(x1,x2)
E a imagem T( ) por:
T( )=y1 1+y2 2+y3 3 ou T(v)B=(y1,y2,y3)
Por outro lado, T( )=T(x1 1+x2 2)=x1∙T( 1)+x2∙T( 2)
Sendo T( 1) e T( 2) vetores de W, são combinações lineares dos vetores de B: 
T( 1)=a11 1+a21 2+a31 3
T( 2)=a12 1+a22 2+a_32 3
Substituindo esses vetores em T )=T(x1 1+x2 2)=x1∙T( 1)+x2∙T( 2), concluímos que:
T( )=x1∙(a11 1+a21 2+a_31 3)+x2∙(a12 1+a22 2+a32 3)
Ou,
T( )=(a11 x1+a12 x2)∙ 1+ (a21 x1+ a22 x2)∙ 2+(a31 x1+a32 x2)∙ 3
Comparando esta última igualdade com T( )=y1 1+y2 2+y3 3, conclui-se que:
y1=a11 x1+a12 x2
y2=a21 x1+a22 x2
y3=a31 x1+a32 x2
Ou, na forma matricial:
Ou, simbolicamente, por , em que é denominada de matriz 
de T em relação às bases A e B. 
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Repare caro(a) estudante, que esta matriz trata-se de um operador que transforma 
A (componentes de um vetor na base A) em T( )B (componentes da imagem de 
na base B).
Exemplo 8.9: Seja a transformação linear T: 3→ 2, T(x,y,z)=(2x-y+z,3x+y-2z) e as 
bases A={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} e B={(2,1),(5,3)}, vamos calcular T( )B, considerando 
que A=(3,-7,6). 
 
Para isto, primeiramente, é preciso determinar :
• 
Em que a11=-4; a21=2
• 
Em que a12=5; a22=-2
• 
Em que ; a13=13; a23=-5
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Portanto, 
Sabendo que , então tem-se que:
8.3.2 Operações com transformações lineares
8.3.2.1 Adição
Sejam T1 e T2 transformações lineares de V em W, a adição das transformações 
lineares T1 e T2 é a transformação linear: T1+T2:V→W, dada por:
→(T1+T2)( )=T1 ( )+T2 ( ),∀ ∈V 
Para somar duas transformações lineares T1 e T2, tanto T1 como T2 devem levar 
V em W, de modo que a soma das suas transformações lineares nada mais será do 
que a soma dos vetores que as representam.
Exemplo 8.10: Sejam as transformações lineares T1: 3 → 2 e T2:
3 → 2, definidas 
por:
=(v1,v2,v3)→T1 ( )=(v1+v2,2v1-v2+v3) e T2 ( )=(v1-2v2+v3,v1-v3)
A soma de T1 e T2 é dada por:
(T1+T2)( )=T1 ( )+T2 ( )
=(v1+v2,2v1-v2+v3)+(v1-2v2+v3,v1-v3)
=(2v1-v2+v3,3v1-v2)
8.3.2.2 Produto
Sejam T:V→W uma transformação linear e α∈R um escalar, então o produto da 
transformação linear T pelo escalar α é a transformação linear α∙T:V→W, dada por:
v→(α∙T)( )=α∙T( ),∀ ∈V 
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Isso significa que o produto de uma transformação linear por um escalar nada 
mais é que o produto do escalar pelo vetor que representa a transformação linear.
Exemplo 8.11: Seja a transformação T: 2→ 3, definida por: =(v1,v2)→T( )=(v1+v2,v1-
2v2,3v2),para determinar 2T basta fazer:
(2T)( )=2∙T( )
=2∙(v1+v2,v1-2v2,3v2)
=(2∙(v1+v2),2(v1-2v2),2∙(3v2))
=(2∙v1+2∙v2,2∙v1-2∙2v2),2∙3v2)
=(2v1+2v2,2v1-4v2,6v2 )
=T(2v)
8.3.2.3 Composta
Sejam T1:U→V e T2:V→W transformações lineares, a aplicação composta das 
transformações lineares T1 e T2, indicada por T2∘T1, é a transformação linear que leva 
U em W dada por:
→(T2∘T1)( )=T2 (T1 ( )),∀ ∈U
Exemplo 8.12: Sejam as transformações lineares T1 e T2 do 2 em 2, definidas por: 
=(v1,v2)→T1 ( )=(v1-v2,v2) e T2 ( )=(v1,2v2), para calcular T1∘T2, basta fazer:
(T1∘T2 )( )=T1 (T2 ( ))
=T1 (v1,2v2 )
=(v1-2v2,2v2)
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CAPÍTULO 9
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Caro(a) estudante, neste capítulo trabalharemos com os conceitos de autovalores 
e autovetores, também denominados de valores próprios e vetores próprios, 
respectivamente.
Considerando T:V→V um operador linear, um vetor ∈V, ≠0, é um autovetor de 
f, se λ∈R existe, tal que T( )=λ∙ . O número real λ é denominado de autovalor de T 
associado a .
ANOTE ISSO
“O vetor =0 sempre satisfaz a equação T( )=λ∙ para qualquer valor de λ. 
Entretanto, o vetor próprio é sempre um vetor não nulo” (STEINBRUCH; WINTERLE, 
1997, p. 159).
Exemplo 9.1: O vetor =(2,3) é autovetor do operador linear T: 2→ 2, T(x,y)=(x+2y,3x+2y), 
associado ao autovalor λ=4, uma vez que:
T( )=T(2,3)
=(2+2⋅3,3⋅2+2⋅3)
=(8,12)
=4∙(2,3)
=4
A matriz canônica de T é: 
E, considerando os produtos: 
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E,
Verifica-se que ao multiplicar o autovetor =(2,3) pelo autovalor associado λ=4 obtém-
se o mesmo resultado que ao multiplicá-lo pela matriz canônica de T:
λ∙ =A∙ →4 =A∙
Isto significa que ao multiplicar o autovetor pelo autovalor associado λ ou pela 
matriz canônica A de T obtém-se como resultado o mesmo vetor, que por sua vez, é 
múltiplo escalar de . Logo, pode-se afirmar que a matriz A atua na multiplicação por 
 como se fosse o número real λ.
Observações:
• Para qualquer valor de λ, o vetor =0 satisfaz a equação f( )=λ∙ . No entanto, o 
autovetor é sempre um vetor não nulo
• Quando T( )=λ∙ , ou seja, quando um vetor é autovetor de um operador linear 
T associado ao autovalor λ, o vetor α∙ , também é autovetor de T associado a 
λ, para qualquer α≠0
• Na simetria definida no 3 por T( )=- , qualquer vetor ≠0 é autovetor associado 
ao autovalor λ=-1
• O vetor =(0,1)∈ 2 é autovetor do operador linear definido por T(x,y)=(x,0) e 
associado a λ=0 
Agora que introduzimos autovalores e autovetores de operadores lineares, caro(a) 
estudante, estamos prontos para aprendermos a determinar os autovalores e os 
autovetores de uma determinada matriz . 
9.1 Determinação dos autovalores e autovetores de uma matriz A 
Considerando um operador linear T: 2→ 2 cuja matriz canônica é A= , é 
possível escrever que T( )=A∙ , uma vez que A é a matriz canônica de T.
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Se é um autovetor de T e λ é seu correspondente autovalor, tal que T( )=λ∙ , logo, 
A∙ =λ∙ , ou ainda A∙ -λ∙ =0.
Considerando que =I∙ , em que I é a matriz identidade, é possível escrever que 
A∙ -λ∙I∙ =0, ou ainda que (A-λ∙I)∙ =0.
Calculando =(x,y), obtém-se que:
Esta última igualdade representa um sistema homogêneo de 2 equações lineares 
com 2 variáveis:
O sistema acima só terá solução diferente da trivial se det A≠0. Assim, como deseja-
se vetores ≠0, logo, deve-se considerar que:
Ou simplificadamente, que det (A-λ∙I) =0.
Esta última equação é denominada de equação característica do operador T ou da 
matriz A, tal que suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. Quando 
det (A-λ∙I) =0 é expandido, ele resulta em um polinômio p(λ) de grau n, denominado 
de polinômio característico de T ou de A.
Geralmente, o polinômio característico de uma matriz n×n é da forma p(λ)=λn+c1 
λn-1+...+cn. Como um polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas, logo, 
λn+c1 λn-1+...+cn=0 tem no máximo n soluções distintas, ou seja, uma matriz n×n 
tem no máximo n autovalores distintos.
Exemplo 9.2: Encontre o polinômio característico de A= .
Para encontrar o polinômio característico da matriz A, é preciso calcular o determinante 
de A-λ∙I:
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Então, λ2-6λ+5 é o polinômio característico de A.
Exemplo 9.3: Se I é a matriz identidade de ordem n, então, o único autovalor é λ=1. 
Isto significa que qualquer vetor não nulo de n é um autovetor de I associado ao 
autovalor λ=1, uma vez que I∙ = =1∙ .
Com relação aos autovetores correspondentes aos autovalores encontrados, 
os mesmos são obtidos a partir da substituição de cada valor de λ na igualdade 
, sequencialmente, resolvendo o respectivo sistema 
homogêneo de equações lineares.
Exemplo 9.4: Seja o operador linear T: 2→ 2, T(x,y)=(x+2y,3x+2y), determine os 
autovalores e os autovetores. 
A matriz canônica de T é: 
Portanto, a equação característica é:
A equação acima tem raízes λ1=4 e λ2=-1.
Assim, o sistema homogêneo que permite a determinação dos autovetores é (A-λ∙I)∙
=0. Considerando =(x,y), obtém-se o sistema:
i) substituindo λ1=4, verifica-se que:
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Tal sistema admite uma infinidade de soluções próprias: , como vetores do 
tipo ou , x≠0, ou 1=x∙(2,3), que são os autovetores associados 
ao autovalor λ1=4.
ii) substituindo λ2=-1, obtém-se que:
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: y=-x, e assim, vetores do 
tipo 2=(x,-x) ou 2=x∙(1,-1), x≠0, são os autovetores associados ao autovalor λ2=-1.
Exemplo 9.5: Encontre as bases dos autoespaços da matriz .
Encontrar a base dos autoespaços significa encontrar os autovetores da matriz.
A equação característica é:
A equação acima tem raízes λ1=1 e λ2=2.
Assim, o sistema homogêneo que permite a determinação dos autovetores é (A-λ∙I)∙
=0. Considerando =(x,y), obtém-se o sistema:
i) substituindo λ1=1, verifica-se que:
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Então, o autovetor 1 é qualquer vetor cuja ordenada seja igual à abcissa, ou seja, 
1=(x,x).
ii) substituindo λ2=2, obtém-se que:
Então, o autovetor 2 é qualquer vetor cuja abcissa seja nula, ou seja, 2=(0,y).
Teorema. Se A for uma matriz n×n, então:
• λ é um autovalor de A
• O sistema (λ∙I-A)∙x=0 de equações tem soluções não triviais
• Existe algum vetor não nulo x tal que A∙x=λ∙x
• λ é uma solução da equação característica det(λ∙I-A)=0
• Existe no mínimo um autovetor correspondente a cada autovalor
• Os autovetores correspondentes a cada autovalor formam um espaço vetorial
9.1.1 Propriedades dos autovalores e autovetores
I. Se λ é um autovalor de um operador linear T:V→V, logo, o conjunto Sλ de todos 
os vetores ∈V, incluindo o vetor =0, tais que T( )=λ∙ , é um subespaço vetorial 
de V (Sλ={ ∈V|T( )=λ∙ })
II. As matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico, e assim, os 
mesmos autovalores
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CAPÍTULO 10
DIAGONALIZAÇÃO 
DE OPERADORES
Caro(a) estudante, já sabemos que dado o operador linear T:V→V, a cada base B 
de V corresponde a uma matriz TB, que representa T na base B. Assim, desejamos 
obter uma base do espaço vetorial V, tal que a matriz de T, nessa base, seja a mais 
simples possível. 
Propriedades.
I. Os autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T:V→V 
são linearmente independentes
II. Se T:V→V é um operador linear com dimV=n e T possui n autovalores distintos, 
então, o conjunto { 1, 2,..., n } formado pelos correspondentes autovetores é 
uma base de V
Por definição, se A e B são matrizes quadradasde dimensão n×n, então, se existir 
alguma matriz invertível P, tal que B=P-1∙A∙P, podemos dizer que a matriz B é semelhante 
a matriz A.
Assim, uma matriz quadrada A é diagonalizável, se ela for semelhante a alguma 
matriz diagonal, ou seja, se existir uma matriz invertível P tal que P-1∙A∙P é diagonal. 
Neste caso, dizemos que P diagonaliza A.
Lembre-se que matrizes semelhantes compartilham algumas propriedades. Nesse 
sentido, se P-1∙A∙P, significa que as matrizes A e B têm o mesmo determinante, uma 
vez que:
Teorema. Se A for uma matriz de dimensão n×n, então:
• A é diagonalizável
• A tem n autovetores linearmente independentes
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10.1 Como diagonalizar uma matriz
Você já sabe quando uma matriz pode ser diagonalizada, mas qual o procedimento 
adotado para diagonalizar uma matriz? Para tal, deve-se seguir os seguintes passos:
a) Confirme que a matriz é diagonalizável, encontrando n autovetores linearmente 
independentes. Para isso, encontre a base de cada autoespaço e, na sequência, 
junte todos esses vetores em um único conjunto C, tal que C tenha n elementos
b) Forme a matriz P=[p1 p2 ... pn ] que tem os vetores de C como vetores coluna
c) A matriz P-1∙A∙P será diagonal com os autovalores λ1,λ2,...,λn correspondentes aos 
autovetores 1, 2,..., n como entradas diagonais sucessivas
Exemplo 10.1: Considerando T: 2→ 2 definida por T(x,y)=(y,x), verifique se T é 
diagonalizável.
Por definição, T pode ser representada pela matriz A= . O primeiro passo é 
encontrar os autovalores e autovetores da matriz A. A equação característica é:
A equação do segundo grau acima tem raízes λ1=-1 e λ2=1. 
Considerando =(x,y), obtemos:
i) Substituindo λ1=-1::
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O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: y=-x, então, por 
exemplo, 1=(-1,1) é um autovetor associado ao autovalor λ1=-1.
ii) Substituindo λ2=1:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: y=x, portanto, 2=(1,1) 
é um autovetor associado ao autovalor λ2=1.
Como os autovalores são distintos, o c.onjunto formado pelos autovetores 1 e 2 
constitui uma base para o ², e assim, a matriz P é formada pelos autovetores que 
diagonalizam a matriz A:
Calculando a inversa da matriz P, verifica-se que:
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Portanto, para encontrar D, basta fazer:
Portanto, verifica-se que T é diagonalizável.
Exemplo 10.2: Encontre a matriz D que diagonaliza a matriz A= .
A equação característica é:
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A equação do segundo grau acima tem raízes λ1=5 e λ2=-1. 
Considerando =(x,y), obtemos:
i. Substituindo λ1=5:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: y= , então, por exemplo, 
1=(2,1) é um autovetor associado ao autovalor λ_1=5.
ii. Substituindo λ2=-1:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: y=-x, portanto, 2=(-1,1) 
é um autovetor associado ao autovalor λ2=-1.
A matriz P é formada pelos autovetores que diagonalizam a matriz A:
Calculando a inversa da matriz P, verifica-se que:
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Portanto, para encontrar D, basta fazer:
Teorema. Seja um operador linear T:V→V, se seus autovalores são distintos, então, 
seus autovetores associados formam um conjunto LI.
O teorema acima, caro(a) estudante, garante que se V é finitamente gerado, com 
dim V=n e T:V→V é um operador linear com n autovalores distintos, então, é possível 
exibir uma base com n autovetores LI.
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10.2 Diagonalização de matrizes simétricas
No tópico anterior, definimos que duas matrizes quadradas A e B são semelhantes 
se existir uma matriz invertível P, tal que D=P -1∙A∙P. Agora, teremos a oportunidade de 
abordar o caso especial, em que será possível encontrar uma matriz ortogonal para 
essa relação.
Por definição, uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua matriz transposta for 
igual a sua inversa, tal que: A -1=AT ou, equivalentemente, se A∙AT=AT∙A=I.
Assim, considerando as matrizes quadradas A e B, no caso particular de A ser 
simétrica, P será uma matriz de uma base ortogonal. E, em algumas situações, haverá 
o interesse de que a base P seja ortonormal, além de ortogonal, o que obtemos a partir 
da normalização de cada vetor.
Como a matriz P é ortogonal, logo, tem-se que P -1=PT e D=P -1∙A∙P⇔D=PT∙A∙P . Neste 
caso, diz-se que P diagonaliza A ortogonalmente.
Exemplo 10.3: Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica 
.
A equação característica é:
Resolvendo a equação do terceiro grau acima, verifica-se que os autovalores de T 
são λ_1=3, λ_2=6 e λ_3=9.
Considerando =(x,y,z), verifica-se que:
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i) Substituindo λ1=3:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: x= e y=z, e assim, 
1=(1,2,2) é um autovetor associado ao autovalor λ1=3.
ii) Substituindo λ2=6:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: x=-z e y=- , dessa 
forma, 2=(2,1,-2) é um autovetor associado ao autovalor λ2=6.
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iii) Substituindo λ3=9:
O sistema acima admite uma infinidade de soluções próprias: x=2z e y=-2z, e assim, 
3=(2,-2,1) é um autovetor associado ao autovalor λ3=9.
O próximo passo é normalizar os vetores 1, 2 e 3:
Dessa forma, a matriz P, P= , , cujas colunas são componentes dos 
vetores próprios ortonormais 1, 2 e 3 é ortogonal:
A matriz P diagonaliza A ortogonalmente, uma vez que :
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Observações:
• Se as colunas de P, além de ortogonais, são ortonormais, então, P é dita matriz 
ortogonal
• Para obter uma base ortonormal, basta calcular i = ,i=1,2,...,n, desde que 
i, i=1,2,...,n, sejam ortogonais
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CAPÍTULO 11
ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO
Caro(a) estudante, neste capítulo, iniciaremos nossos estudos sobre Geometria 
Analítica Plana. Podemos afirmar que a geometria analítica iniciou com a obra “La 
Geométrie” escrita por René Descartes (1596 – 1650), o qual introduziu as ideias de 
eixos e de coordenadas, permitindo traduzir um problema geométrico para a linguagem 
algébrica, dando assim, uma interpretação geométrica para determinadas equações.
“A geometria de Descartes estabelece relações entre álgebra e geometria e métodos 
que auxiliam a resolução de vários problemas. Nela, uma figura geométrica pode 
ter suas propriedades analisadas e estudadas por processos algébricos” (FACCHINI, 
2006, p. 582)
Vamos então estudar o ponto. Mas, antes de introduzir a representação de um ponto, 
é preciso definir o sistema de coordenadas no plano. Por definição, a representação 
gráfica de um ponto se dá no plano cartesiano.
O plano cartesiano é constituído de dois eixos perpendiculares que se interceptam, o 
eixo das abcissas (eixo x) e o eixo das ordenadas (eixo y). E desta forma, a localização 
de um ponto no plano cartesiano se dá a partir das coordenadas no plano, ou seja, 
P=P(x,y).
Segundo Boulos e Camargo (2014), no plano cartesiano, os eixos x e y, dividem-no 
em quatro regiões, denominadas de quadrantes, conforme apresentado na Figura 11.1:
• Os pontos pertencentes ao primeiro quadrante possuem abcissas eordenadas 
positivas
• Os pontos pertencentes ao segundo quadrante possuem abcissas negativas e 
ordenadas positivas
• Os pontos pertencentes ao terceiro quadrante possuem abcissas e ordenadas 
negativas
• Os pontos pertencentes ao quarto quadrante possuem abcissas positivas e 
ordenadas negativas
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Figura 11.1: Plano cartesiano.
Fonte: a autora.
Então, por exemplo, 
• O ponto A(2,3) possui coordenadas 2 e 3, 2 é a sua abcissa e 3 a sua ordenada
• O ponto B(-1,-5) possui coordenadas -1 e -5, -1 é a sua abcissa e -5 a sua ordenada
• O ponto C(-2,7) possui coordenadas -2 e 7, -2 é a sua abcissa e 7 a sua ordenada
• O ponto D(0,0) possui coordenadas 0 e 0, 0 é a sua abcissa e 0 a sua ordenada. 
O ponto D é denominado de origem
Figura 11.2: Pontos A(2,3), B(-1,-5), C(-2,7) e D(0,0) no plano cartesiano
Fonte: a autora.
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11.1 Distância entre dois pontos
Agora que já sabemos representar um ponto no plano, vamos entender como se 
dá a determinação da distância entre dois pontos. Sejam dois pontos qualquer no 
plano cartesiano A(x1,y1) e B(x2,y2), a distância d entre estes dois pontos é a medida 
do segmento :
Exemplo 11.1: Determine a distância entre os pontos A(2,-3) e B(1,-2).
Figura 11.3: Pontos A(2,-3) e B(1,-2) no plano cartesiano
Fonte: a autora.
Exemplo 11.2: Determine as coordenadas do ponto , sabendo que o mesmo pertence 
ao eixo , e que situa-se a 5 unidades de comprimento do ponto .
Uma vez que A pertence ao plano vertical, então, sabe-se que A(0,yA), e que d=5:
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Resolvendo a equação do segundo grau, verifica-se que yA=5 e yA=-3.
Então, são dois os pontos A procurados: A(0,5) e A1 (0,-3).
Figura 11.4: Pontos A(0,5), A1 (0,-3) e B(3,1) no plano cartesiano.
Fonte: a autora.
Observações:
O cálculo da distância entre dois pontos também é válido nos seguintes casos:
• Se é paralelo a um dos eixos coordenados
• Se A e B são coincidentes, e neste caso, d=0
11.2 Ponto médio de um segmento
As coordenadas do ponto médio M de um segmento que une os pontos A e B são 
determinadas considerando que a distância entre A e M (dAM) é a mesma entre B e M 
(dBM):
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Comparando os dois membros da equação acima, verifica-se que:
O que nos leva às coordenadas do ponto médio de um determinado segmento:
Exemplo 11.3: Determine as coordenadas do ponto médio do segmento, cujos 
extremos são os pontos A(2,-3) e B(4,-1):
E,
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Logo, as coordenadas do ponto médio do segmento são M(3,-2).
Figura 11.5: Pontos A(2,-3), B(4,-1) e M(3,-2) no plano cartesiano.
Fonte: a autora.
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CAPÍTULO 12
ESTUDO ANALÍTICO DA RETA
Caro(a) estudante, o estudo da reta no 2 baseia-se na determinação da equação 
geral da reta, coeficiente angular de uma reta, paralelismo e perpendicularidade, e por 
fim, distância entre ponto e reta.
12.1 Equação geral da reta
Seja a reta r que passa pelos pontos A(x�,y�) e B(xB,yB), e seja P(x,y) um ponto genérico 
de r, então, como A,B e P estão alinhados, verifica-se que:
Fazendo a=yA-yB, b=xB-xA e c=xA yB-xB yA, a equação acima pode ser reescrita como:
ax+by+c=0
Que é denominada de equação geral da reta.
Isto significa que para toda reta do plano cartesiano, é possível associar uma equação 
da forma ax+by+c=0, em que a≠0 e b≠0, em que x e y são as coordenadas de um 
ponto genérico da reta.
Exemplo 12.1: Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A(0,-1) e 
B(-4,5).
Considerando P(x,y) um ponto genérico da reta, então:
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Que é a equação da reta procurada.
Figura 12.1: Pontos A(0,-1) e B(-4,5) e a reta -6x-4y-4=0 no plano cartesiano.
Fonte: a autora.
12.1.1 Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta dada por dois pontos
Considerando os pontos A(xA,yA) e B(xB,yB) de uma reta r não perpendicular a Ox, o 
coeficiente angular m é dado por:
Com relação ao coeficiente linear, considerando a equação da reta ax+by+c=0, 
quando x=0, a equação se reduz a by+c=0, ou simplesmente, y=- . Isto significa que 
o ponto em que a reta r corta o eixo vertical é .
Este número, n=- é denominado de coeficiente linear da reta.
12.1.2 Equação reduzida da reta
Considerando os pontos A(xA,yA) e B(xB,yB) de uma reta r não perpendicular a Ox, 
então, se fizermos B-A, verifica-se que:
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Como , então:
Isolando y no primeiro membro de ax+by+c=0, verifica-se que:
Como e , então conclui-se que:
Em que y=mx+n é a equação reduzida da reta.
Perceba caro(a) estudante que a equação reduzida da reta imediatamente fornece 
o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta.
Exemplo 12.2: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e B(-1,3).
Para encontrar a equação da reta que passa pelos dois pontos, primeiramente, é 
preciso determinar o coeficiente angular:
Agora, utiliza-se o ponto A para determinar a equação da reta:
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Ou ainda, de forma reduzida:
Figura 12.2: Pontos A(2,1) e B(-1,3) e a reta 2x+3y-7=0.
Fonte: a autora.
Exemplo 12.3: Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(-1,4) e que tem 
coeficiente angular 2.
Ou ainda, na forma reduzida:
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Figura 12.3: Ponto A(-1,4) e a reta 2x-y+6=0.
Fonte: a autora.
12.2 Equação da reta que passa por um ponto
Seja r uma reta que passa por um ponto P0 (x0,y0), então, duas situações são possíveis:
• r é perpendicular em relação a Ox, e neste caso a equação de r é x=x0
• r é inclinada em relação a Ox, e seu coeficiente angular m é conhecido. Neste 
caso a equação de r é y-y0=m∙(x-x0)
12.3 Posições relativas de duas retas
Por definição, duas retas r e s são ditas coincidentes se todos os pontos da reta r 
são pontos de s, e vice-versa.
Retas paralelas são aquelas que não se interceptam, ou seja, não existe nenhum 
ponto comum às duas retas. Isto significa que elas possuem o mesmo coeficiente 
angular.
Duas retas r e s, com coeficientes angulares mr e ms, respectivamente, são paralelas 
se, e somente se mr=ms. Por exemplo, as retas y=2x+3 e y=2x-5 são paralelas. Observe 
a figura abaixo:
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Figura 12.4: Retas paralelas y=2x+3 e y=2x-5
Fonte: a autora
Duas retas r e s que possuem coeficientes angulares diferentes são ditas concorrentes. 
Nas retas concorrentes, existe um único ponto comum à ambas. Por exemplo, as retas 
y=x+2 e y=2x-1 são concorrentes. Observe a figura abaixo:
Figura 12.5: Retas concorrentes y=x+2 e y=2x-1 
Fonte: a autora.
Um caso especial de retas concorrentes são as retas perpendiculares. Duas retas 
r e s, com coeficientes angulares mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se, e 
somente se, mr=- . Por exemplo, as retas y=2x+1 e y=- x+3 são perpendiculares. 
Observe a figura abaixo:
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Figura 12.6: Retas perpendiculares y=2x+1 e y=- x+3 
Fonte: a autora
Caro(a) estudante, para estabelecermos a condição de perpendicularismo entre 
duas retas, vamos imaginar inicialmente uma reta obliqua r, que forma um ânguloθr com o eixo das abcissas. E, s⊥r de modo que a reta s forme um ângulo θs com o 
eixo das abcissas, também no seu sentido positivo.
Desta forma, verifica-se que: θs=θr+90º e ms=tg θs=tg (θr+90º ). Uma vez que que tg 
(θr+90º)=-cot θr=- , o que resulta em ms=- .
Exemplo 12.4: Encontre a reta que é paralela à reta y=x+4, e que passa pelo ponto 
(2,3).
Se a reta que se deseja encontrar é paralela à reta y=x+4, então, possui coeficiente 
angular 1. Como ela passa pelo ponto (2,3), então:
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Figura 12.7: Retas paralelas y=x+4 e y=x+1, e o ponto (2,3)
Fonte: a autora.
Exemplo 12.5: Encontre a reta que é perpendicular à reta y=3x-1, e que passa pelo 
ponto (-3,4).
Se a reta que se deseja encontrar é perpendicular à reta y=3x-1, então, possui 
coeficiente angular - . Como ela passa pelo ponto (-3,4), então:
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Figura 12.8: Retas perpendiculares 3x-1 e y=- x+3, e o ponto (-3,4)
Fonte: a autora.
12.4 Distância de um ponto a uma reta
Seja um ponto P0 (x0,y0), que não pertence à reta y=mx+n, então, a distância entre 
o ponto e a reta pode ser encontrada por meio da seguinte equação:
Exemplo 12.6: Encontre a distância entre o ponto P(1,-2) e a reta y=4x+3.
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Figura 12.9: Distância da reta y=4x+3 e o ponto P(1,-2)
Fonte: a autora
Exemplo 12.7: Determine a distância entre as retas y=-2x+8 e y=-2x+2.
As retas são paralelas, uma vez que apresentam o mesmo coeficiente angular. 
Então, a distância entre elas é igual à distância entre um ponto qualquer de uma delas 
com relação à outra. Vamos então pegar o ponto (-2,6) da reta y=-2x+2:
Figura 12.10: Distância entre as retas y=-2x+8 e y=-2x+2
Fonte: a autora.
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CAPÍTULO 13
RETAS E PLANOS DO 3
No presente capítulo, caro(a) estudante, daremos início ao estudo da geometria 
analítica no 3, trabalhando com conceitos relacionados às retas e planos no espaço 
tridimensional. 
13.1 Equação do plano 
Para iniciar, considere um plano π que passe pelo ponto P(x_0,y_0,z_0), ortogonal ao 
vetor (a,b,c). Seja o ponto A(x,y,z) um ponto qualquer que pertença ao plano π, então, 
podemos admitir vetores =(x-x_0,y-y_0,z-z_0) que também pertencem ao plano π.
Uma vez que o vetor é ortogonal ao plano, então, os vetores são ortogonais 
a , e assim, o plano consistirá do conjunto de vetores com coordenadas (x-x_0,y-
y_0,z-z_0) que são ortogonais a . Isto significa que o produto escalar entre e 
deve ser nulo, ou seja:
∙ =0
(a,b,c)∙(x-x0,y-y0,z-z0)=0
a∙(x-x0)+b∙(y-y0)+c∙(z-z0)=0
A equação acima, de acordo com Boulos e Camargo (2004), representa um plano 
no espaço.
Exemplo 13.1: Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A(1,2,3) que é 
ortogonal ao vetor =(-5,-4,1).
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Figura 13.1: Plano -5x-4y+z+10=0, ponto A(1,2,3) e vetor =(-5,-4,1).
Fonte: a autora.
Por meio do exemplo acima, caro(a) estudante, perceba que a partir do conhecimento 
da equação do plano, é possível encontrar o vetor normal ao plano apenas observando 
os coeficientes das variáveis x,y e z, os quais são as respectivas coordenadas do vetor 
normal ao plano.
Exemplo 13.2: Encontre um vetor normal ao plano 3x+2y-z+2=0.
Observando os coeficientes das variáveis x,y e z, conclui-se que =(3,2,-1). Vale a 
pena destacar que, por definição, qualquer vetor paralelo a também é normal ao 
plano, então, por exemplo, =(6,4,-2), =(-3,-2,1) e = também são vetores 
normais ao plano.
A partir do conhecimento de três pontos que pertençam ao plano, é possível determinar 
a equação do plano. Sejam os pontos P(x0,y0,z0), Q(x1,y1,z1) e R(x2,y2,z2) pertencentes ao 
plano π, a partir destes pontos, é possível construir os vetores e , que 
pertencem a π. Calculando o produto vetorial obtém-se um vetor perpendicular 
a e , que é perpendicular ao plano π, ou seja, 
Exemplo 13.3: Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,-3), B(0,-
2,1) e C(0,0,-1).
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Vamos agora determinar o vetor normal:
Utilizando o ponto A(1,0,-3), verifica-se que a equação do plano será dada por:
Figura 13.2: Plano -4x-2y-2z-2=0, pontos A(1,0,-3), B(0,-2,1) e C(0,0,-1) e vetor =(-4,-2,-2).
Fonte: a autora.
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ANOTE ISSO
Um plano que passa pela origem, ou seja pelo ponto P(0,0,0), tem equação da 
forma ax+by+cz=0.
13.2 Equação da reta no 3
Para determinar a equação da reta no espaço, é preciso conhecer um ponto pelo 
qual a reta passa, bem como a sua direção. Por definição, a direção da reta é obtida 
a partir do vetor diretor da reta, o qual é paralelo à reta considerada.
Seja uma reta r que passa pelo ponto P(x0,y0,z0), paralela ao vetor =(a,b,c), então, 
para um ponto Q(x,y,z) que pertence a reta r, o vetor deve ser paralelo a , ou seja, 
:
O que nos resulta em:
Ou ainda,
As equações acima são denominadas de equações paramétricas da reta r. É possível 
obter a equação da reta na forma simétrica isolando λ:
Exemplo 13.4: Obtenha a reta na forma paramétrica e na forma simétrica, que passa 
pelo ponto P(-1,0,3) e que é paralela ao vetor =(0,-1,-2).
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Equações paramétricas da reta:
Equações simétricas da reta:
Figura 13.3: Reta r=(-1,0,3)+λ(0,-1,-2) que passa pelo ponto P(-1,0,3) e que é paralela ao vetor =(0,-1,-2).
Fonte: a autora.
Perceba caro(a) estudante que a forma simétrica da reta do exemplo acima não 
contém a variável x, isto significa que a reta é paralela ao plano yz, e isto já era esperado, 
uma vez que =(0,-1,-2).
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Vamos agora compreender como é possível verificar se três pontos estão alinhados. 
Sejam os pontos P(x0,y0,z0), Q(x1,y1,z1) e R(x2,y2,z2), para que P, Q e R estejam alinhados, 
é necessário que os vetores e sejam paralelos, ou seja, =k∙ :
(x2-x1,y2-y1,z2-z1 )=k∙(x3-x1,y3-y1,z3-z1)
Que é a condição para alinhamento de três pontos.
Exemplo 13.5: Verifique se os pontos A(7,4,-7), B(5,2,-6) e C(-1,-4,-3) estão alinhados.
Isto indica que os pontos então alinhados.
Figura 13.4: Pontos A(7,4,-7), B(5,2,-6) e C(-1,-4,-3)
Fonte: a autora.
13.3 Posições relativas entre planos e retas
Para finalizar o presente capítulo, caro(a) estudante, vamos estudar as posições 
relativas entre retas e planos.
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13.3.1 Posições relativas entre planos
À começar com os planos, existem apenas dois casos: ou são paralelos, ou se 
cortam segundo uma reta. Sejam dois planos π1 e π2, eles são ditos paralelos se, e 
somente se, os seus vetores normais são paralelos, ou seja, o vetor normal é múltiplo 
do outro. Caso os vetores normais não sejam paralelos, então, o ângulo formado 
pelos planos é o mesmo ângulo definido pelos vetores normais. E, para encontrar tal 
ângulo, basta fazer:
Exemplo 13.6: Encontre o ângulo entre os planos π1:3x+2y-5z+2=0 e π1:-x+y+3z-2=0.
Os vetores normais aos planos são, respectivamente:
Uma vez que os vetores normais não são múltiplos, então, significa que os planos 
dados não são paralelos. Vamos agora determinar o ângulo θ:
13.3.2 Posições relativas entre retas
No caso de duas retas no espaço, três situações são possíveis: as retas são 
concorrentes, ou seja, se interceptam em um ponto, as retas são paralelas, ou,as 
retas são reversas, ou seja, não são paralelas e nem se interceptam.
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Para verificar se duas retas se interceptam, basta substituir os valores das variáveis 
x,y e z de uma na outra; se as equações resultantes forem satisfeitas, e nenhuma 
contradição for obtida, então, diz-se que as retas são concorrentes.
Exemplo 13.7: Considere as retas r: e s: , e verifique se são 
concorrentes.
Para verificar se as retas r e s são concorrentes, vamos substituir os valores de 
x,y e z de r em s:
De onde segue que e . Assim, conclui-se que as duas retas são 
concorrentes.
Neste caso, também é possível encontrar o ponto no qual elas se encontram; para 
isto, basta substituir λ ou γ em qualquer uma das equações paramétricas:
Então, o ponto de interseção é .
Figura 13.5: Retas r:(1,2,0)+λ(-2,4,-1) e s:(1,0,1)+γ(1,1,-1) e o ponto P
Fonte: a autora.
Para encontrar o ângulo que duas retas formam, basta encontrar o ângulo formado 
pelos vetores diretores das retas. E, antes de verificar um exemplo, é importante 
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destacar, caro(a) estudante, que duas retas concorrentes definem quatro ângulos, 
congruentes dois a dois (os dois opostos pelo vértice), tal que o ângulo definido entre 
as retas é definido como o menor dos ângulos.
Para o caso em que o ângulo calculado é nulo, as retas são ditas paralelas; e, para o 
caso do ângulo calculado ser reto, diz-se que as retas são ortogonais. É válido lembrar 
que uma reta ortogonal pode ser concorrente (perpendicular), ou não.
 
Figura 13.6: Retas concorrentes.
Fonte: a autora
Exemplo 13.8: Determine o ângulo formado pelas retas e .
Os vetores diretores da reta são:
Portanto, 
Por fim, caro(a) estudante, para determinar a interseção entre um plano e uma reta, 
basta substituir a equação da reta na equação do plano, e quando houver interseção, 
verificar em que ponto ela ocorre.
Exemplo 13.9: Encontre, se houver, a interseção da reta e o plano 
π:2x-4y+z-6=0. 
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Substituindo os valores de x,y e z na equação do plano:
Substituindo λ=-2 na equação da reta: x=2-2∙(-2)→x=6, y=3+(-2)→1 e z=-2. Isto significa 
que a reta r e o plano π se interceptam no ponto P(6,1,-2).
Figura 13.7: Plano π:2x-4y+z-6=0, reta r:(2,3,0)+λ(-2,1,1) e o ponto P(6,1,-2).
Fonte: a autora.
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CAPÍTULO 14
CÔNICAS
Cônicas são obtidas a partir da interseção de um plano com um cone de revolução. 
Conforme apresenta a Figura 14.1, isto pode levar à uma parábola, uma elipse ou uma 
hipérbole. Observe:
Figura 14.1: Cônicas. (a) parábola. (b) elipse. (c) hipérbole.
Fonte: WINTERLE (2000, p. 160).
14.1 Parábola
Seja uma reta R e um ponto F pertencentes a um plano π, com F não pertencente 
a reta R, e seja a distância p entre F e R, então, o conjunto de pontos P pertencentes 
a π, equidistantes de F e R é denominado de parábola:
Parábola={P∈π| = }
Figura 14.2: Elementos da parábola
Fonte: WINTERLE (200, p. 162).
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Os elementos da parábola são:
• O ponto F é o foco
• V é o vértice, ponto de interseção da parábola com o seu eixo
• d é a reta diretriz
• Eixo é a reta e que passa por F e é perpendicular a d
Considerando p o parâmetro, e uma parábola com eixo sobre x, e vértice na origem, 
então, o foco e o vértice são representados pelos pontos F(p,0) e V(0,0), respectivamente. 
Uma vez que as coordenadas do ponto genérico são P=(x,y), então, a distância entre 
o foco e a parábola é dada por:
E, a distância entre o ponto P da parábola e a reta diretriz d é dada por:
Pela definição de parábola, verifica-se que:
Que é a equação de uma parábola com vértice na origem e eixo sobre x e reta 
diretriz paralela ao eixo y.
Para o caso em que o vértice da parábola está em um ponto genérico V(x0, y0), a 
equação da parábola com reta diretriz paralela ao eixo y é dada por:
Perceba caro(a) estudante que o sinal será positivo se o vértice estiver à esquerda 
do foco, e negativo se o vértice estiver à direita do foco.
Para o caso em que a parábola tenha o vértice na origem, mas com eixo sobre o 
eixo y e reta diretriz paralela ao eixo x, a equação seria:
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E, para o caso em que o vértice da parábola está em um ponto genérico V(x0, y0), 
a equação da parábola com reta diretriz paralela ao eixo x é dada por:
Neste caso, o sinal será positivo se o vértice estiver abaixo do foco, e negativo se 
o vértice estiver acima do foco.
Exemplo 14.1: Encontre a equação da parábola com vértice V(2,5) e foco F(2,4).
O parâmetro p é igual a distância do vértice ao foco. E, como a abcissa do foco 
coincide com a abcissa do vértice, então, a reta diretriz da parábola é paralela ao eixo 
x. Como o vértice está acima do foco, então, o sinal é negativo:
A equação da parábola é:
Figura 14.3: Parábola 
Fonte: a autora.
Exemplo 14.2: Determine o vértice da parábola 2y2+5x+8y-7=0.
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Para encontrar o vértice V da parábola, é preciso, primeiramente, organizar os termos 
da equação:
Para que y2+4y seja um quadrado perfeito, basta somar e subtrair 4:
Comparando a equação anterior com , verifica-se que a parábola 
possui reta diretriz paralela ao eixo y, com vértice em V(3,-2).
Figura 14.4: Parábola 
Fonte: a autora.
14.2 Elipse
Considerando dois pontos distintos F1 e F2 que pertencem a um mesmo plano π, 
e seja 2c a distância entre eles, então, elipse é o conjunto de pontos P pertencentes 
a π tais que a soma das distâncias dos pontos P a F1 e F2 é constante e igual a 2a:
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Os elementos da elipse encontram-se ilustrados na figura abaixo:
Figura 14.5: Elementos da elipse
Fonte: WINTERLE (2000, p. 178).
• Os pontos F1 e F2 são os focos
• A distância 2c entre os focos é chamada de distância focal
• O centro é o ponto médio C do segmento 
• O eixo maior é o segmento de comprimento 2a
• O eixo menor é o segmento de comprimento 2b e perpendicular a 
no seu ponto médio
• Os vértices são os pontos A1, A2, B1 e B2
Uma vez que a elipse da Figura 14.5 tem os eixos sobre os eixos x e y e possui os 
focos F1 e F2 sobre o eixo x, então, as coordenadas dos focos são F1=(-c,0) e F2=(c,0).
Uma vez que as coordenadas do ponto genérico são P(x,y), então, utilizando a 
equação da distância entre dois pontos, verifica-se que:
Figura 14.6: Hipérbole cujo eixo maior está sobre x
Fonte: WINTERLE (2000, p. 179).
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A partir da definição da elipse, pode-se escrever que :
Uma vez que, pelo Teorema de Pitágoras, , então:
A equação acima, caro(a) estudante, é a equação reduzida de uma elipse centrada 
na origem, com eixo maior sobre x, que possui o eixo maior medindo a e o eixo menor 
medindo b.
Para o caso em que a hipérbole tem eixo maior sobre y:
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Figura 14.7: Hipérbole cujo eixo maior está sobre x
Fonte: WINTERLE (2000, p. 179).
Para o caso em que o centro da elipse, ponto C, não estiver na origem, mas, for 
dado pelas coordenadas C(p,q), com o eixo maior paralelo ao eixo x e o eixo menor 
paralelo ao eixo y, e ainda, que possui o eixo maior medindo a, e o eixo menor medindo 
b, então, a equação reduzida da elipse pode ser escrita como:
Por fim, para o caso em que oeixo maior está paralelo ao eixo y, a equação da 
elipse é dada por:
Definimos ainda, a excentricidade da elipse como a razão e= . E, para o caso 
particular em que a=b, a elipse é uma circunferência.
Exemplo 14.3: Encontre a equação da elipse que possui centro no ponto C(-1,2), 
com eixos de medida 4 e 6, estando o eixo maior paralelo a x.
Uma vez que as medidas dos eixos são 4 e 6, então, a=3 e b=2:
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Figura 14.8: Elipse 
Fonte: a autora.
Exemplo 14.4: Determine o centro e a excentricidade da elipse x2+4y2-4x-32y+32=0.
Primeiramente, é preciso reescrever a equação da elipse para a forma reduzida, 
adicionando (4+64) e subtraindo (4+64):
Verifica-se então que o centro é C(2,4), e que as medidas dos semieixos são a=6 
e b=3.
Para encontrar a excentricidade, é preciso obter o valor do parâmetro c:
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Portanto, a excentricidade é:
Figura 14.9: Elipse 
Fonte: a autora.
14.3 Hipérbole
Considerando dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um mesmo plano β e 
seja 2c a distância entre eles, então, hipérbole é o conjunto de pontos P pertencentes 
a β tais que o valor absoluto da diferença das distâncias dos pontos P a F1 e F2 é 
constante e igual a 2a (0do eixo Oz, enquanto que ao longo do eixo Oy tem-se e ao longo do 
eixo Ox tem-se .
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15.3.2 Parabolóide hiperbólico
O parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz tem superfície dada pela equação 
.
Figura 15.6: Parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz
Fonte: WINTERLE (2000, p. 222).
As outras formas, que representam os parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos 
Oy e Ox, são e .
15.4 Superfícies cônicas
Seja a reta g de equações z=my no plano yz, a rotação desta reta em torno do eixo 
Oz resulta na superfície cônica circular, cuja equação é obtida a partir da equação da 
reta, substituindo y por :
Ou ainda, .
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Figura 15.7: Rotação da reta g em torno do eixo Oz.
Fonte: WINTERLE (2000, p. 223).
Perceba caro(a) estudante, na figura acima, que, o ponto O que separa as duas 
folhas é o vértice da superfície, e, a reta g é chamada de geratriz da superfície.
Uma superfície cônica mais geral, ao longo do eixo Oz, é representada por 
enquanto que e representam superfícies cônicas elípticas ao 
longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.
15.5 Superfícies cilíndricas
Considerando uma curva C plana e uma reta r fixa não-paralela ao plano de C, a 
superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g, chamada de reta geratriz, 
que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanente com a curva plana 
C (chamada de diretriz da superfície cilíndrica). 
Figura 15.8: Superfície cilíndrica
Fonte: WINTERLE (2000, p. 224).
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Perceba caro(a) estudante, que a superfície ilustrada na figura acima pode ser vista 
como um conjunto de infinitas retas paralelas, que são as infinitas posições da geratriz. 
Assim, caro(a) estudante, finalizamos nossos estudos sobre a presente disciplina 
de Geometria Analítica e Álgebra Linear.
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CONCLUSÃO
Caro(a) estudante, chegamos ao final do nosso material de “Geometria Analítica e 
Álgebra Linear”. Vamos relembrar tudo que vimos até aqui?
Iniciamos os estudos com conceitos introdutórios de Álgebra Linear, como as 
matrizes. Conhecemos os tipos de matrizes que existem, as operações que são 
efetuadas com as matrizes, bem como o cálculo de determinantes.
Na sequência, estendemos o conceito de vetor por meio das propriedades 
algébricas mais importantes dos vetores em como axiomas. Também definimos 
e exemplificamos espaços vetoriais, subespaços vetoriais, combinação linear e 
dependência e independência linear.
Nos capítulos finais, fizemos um estudo analítico da geometria plana, em que 
tivemos a oportunidade de trabalhar com conceitos de ponto e reta, tanto no como 
no . Finalizamos os estudos com as cônicas, que são curvas planas: circunferência, 
elipse, parábola e hipérbole, e as quádricas, relacionadas a sólidos geométricos.
Espero, caro(a) estudante(e) que o presente material tenha fornecido a você o 
entendimento dos principais tópicos vistos da Geometria Analítica e da Álgebra 
Linear. Sua participação das aulas, a leitura dos capítulos e a busca pelas referências 
complementares são essenciais para o seu aprendizado.
Bons Estudos!
Professora Dra. Rebecca Manesco Paixão.
GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ALGEBRA LINEAR
PROF.a REBECCA MANESCO PAIXÃO
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 156
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2012.
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria analítica – um tratamento vetorial. 3. ed. São 
Paulo: Editora Pearson, 2004.
KHAN ACADEMY. Disponível em: pt.khanacademy.org. Acesso em: 20 mai. 2022.
FACCHINI, W. Matemática para a escola de hoje. São Paulo: FTD, 2006.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. Ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à álgebra linear. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 1997.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. Ed. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
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	MATRIZES
	OPERAÇÕES COM MATRIZES
	DETERMINANTES 
	MATRIZ ADJUNTA, MATRIZ INVERSA E SISTEMAS LINEARES
	VETORES 
	ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 
	ESPAÇOS VETORIAIS: COMBINAÇÃO LINEAR, DEPEDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR E BASE E DIMENSÃO
	TRANSFORMAÇÕES LINEARES
	AUTOVALORES E AUTOVETORES
	DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
	ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO
	ESTUDO ANALÍTICO DA RETA
	RETAS E PLANOS DO R3
	CÔNICAS
	SUPERFÍCIES QUÁDRICASquadrada formada por elementos iguais a 
zero. Normalmente, é indicada por matriz zero.
Exemplo 1.10: 0= 
0 é uma matriz nula, do tipo 2×2.
Exemplo 1.11: 0= 
0 é uma matriz nula, do tipo 4×4.
• Matriz diagonal: matriz quadrada, cujos elementos aij são iguais a zero quando i≠j.
Exemplo 1.12: J= 
J é uma matriz diagonal, do tipo 3×3.
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Exemplo 1.13: K= 
K é uma matriz diagonal, do tipo 2×2.
• Matriz escalar: matriz diagonal, em que todos os elementos da diagonal principal 
são iguais entre si.
Exemplo 1.14: L= 
L é uma matriz escalar, do tipo 3×3.
Exemplo 1.15: M= 
M é uma matriz escalar, do tipo 2×2.
Matriz unidade ou matriz identidade: matriz quadrada de qualquer dimensão, que 
possui os elementos aij iguais a 1 quando i=j. Normalmente, é indicada por I.
Exemplo 1.16: I= 
I é denominada de matriz identidade, do tipo 3×3.
Exemplo 1.17: I= 
I é denominada de matriz identidade, do tipo 2×2.
ANOTE ISSO
A diagonal principal de uma determinada matriz A trata-se da coleção das entradas 
aij, em que i é igual a j. A diagonal principal de uma matriz quadrada une seu canto 
superior esquerdo ao canto inferior direito, enquanto que a diagonal secundária une 
os demais cantos. Veja o exemplo:
Os elementos a11, a22 e a33 constituem a diagonal principal, enquanto que os 
elementos a13, a22 e a31 constituem a diagonal secundária.
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• Matriz triangular superior: matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal 
são nulos, ou seja, se i>j, então aij=0.
Exemplo 1.18: N= 
N é denominada de matriz triangular superior, do tipo 3×3.
Exemplo 1.19: P= 
P é denominada de matriz triangular superior, do tipo 4×4.
• Matriz triangular inferior: matriz cujos elementos acima da diagonal principal 
são nulos, ou seja, se iLINEAR
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Exemplo 2.10: Seja a matriz D= e os escalares α=0, então α∙D será:
A partir do exemplo acima, caro(a) aluno(a), verificamos que a multiplicação de 
uma matriz de dimensão m×n pelo escalar 0, resulta na matriz nula de dimensão m×n. 
Matematicamente, podemos escrever que 0∙A=0.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
“Outra forma como a multiplicação escalar está relacionada à adição e subtração 
é pensar em A-B como A+(-B), o que, por sua vez, é igual a A+(-1)∙B. Isso é 
semelhante à forma como pensamos na subtração de dois números reais!”.
Fonte: KHAN ACADEMY (online) 
Exemplo 2.11: Sejam as matrizes A= e B= , então A-B é dado por: 
Sabendo que A-B=A+(-B), então:
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Sabendo que A+(-B)=A+(-1)∙B, então:
2.2.1 Propriedades do produto de uma matriz por um escalar
Sejam as matrizes A e B, e os escalares α e β, então, são válidas as seguintes 
propriedades, com relação ao produto de uma matriz por um escalar:
I. Propriedade associativa da multiplicação: (α∙β)∙A=α∙(β∙A)
II. Propriedade distributiva: (α+β)∙A=α∙A+β∙A
III. Propriedade distributiva: α∙(A+B)=α∙A+α∙B
IV. Propriedade da identidade multiplicativa: 1∙A=A
V. Propriedade multiplicativa de zero: 0∙A=0
VI. Propriedade multiplicativa de zero: α∙0=0
Como prova da propriedade distributiva α∙(A+B)=α∙A+α∙B, veja o exemplo que segue:
Exemplo 2.12: Sejam as matrizes A= e B= , e o escalar α=2, então:
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ISTO ESTÁ NA REDE
É possível comparar a matriz nula com o número real zero. Observe a Tabela 2.1:
Número zero Matriz nula
Adicionar zero a qualquer número α resulta 
no mesmo número α. (por exemplo, a+0=a)
Adicionar a matriz nula a qualquer matriz A resulta 
na mesma matriz A. (por exemplo, A+0=0+A=A)
Adicionar qualquer número ao seu oposto 
resulta em zero. (por exemplo, a+(-a)=0)
Adicionar qualquer matriz à sua oposta resulta 
na matriz nula. (por exemplo, A+(-A)=0)
Qualquer número vezes zero é zero. (por 
exemplo, a∙0=0)
A multiplicação escalar de uma matriz por 0 
resulta em uma matriz nula. (por exemplo, 0∙A=0)
Tabela 2.1: Comparação do número zero com a matriz nula.
Fonte: KHAN ACADEMY, online.
2.3 Multiplicação de matrizes
Seja a matriz A= (aij)m×p e a matriz B=(bij)p×n, então, o produto A∙B é a matriz C=(cij)m×n, 
cujos elementos são .
Na multiplicação de matrizes, caro(a) aluno(a), é importante que você se atente a 
alguns pontos:
I. A ordem em que as matrizes são multiplicadas importa, ou seja, se você trocar a 
ordem das matrizes, então, o resultado do produto será diferente. Esta observação 
é denominada de não-comutatividade
II. O produto só pode ser efetuado quando a matriz da esquerda tiver o número 
de colunas igual ao número de linhas da matriz da direita
III. A matriz resultante possui o número de linhas da matriz da esquerda e o número 
de colunas da matriz da direita
Exemplo 2.13: Sejam as matrizes A= e B= , vamos encontrar 
o produto A∙B e o produto B∙A.
A matriz A é do tipo 3×3, enquanto que a matriz B é do tipo 3×2. Isto significa que 
a multiplicação A∙B pode ser efetuada, uma vez que a matriz A possui 3 colunas e 
a matriz B possui 3 linhas, tal que a matriz resultante terá 3 linhas e 2 colunas; no 
entanto, a multiplicação B∙A não pode ser efetuada, uma vez que a matriz B possui 2 
colunas e a matriz A possui 3 linhas.
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Exemplo 2.14: Sejam as matrizes A= e B= , vamos encontrar 
o produto A∙B e o produto B∙A.
Como ambas as matrizes A e B são quadradas do tipo 3×3, então, podemos calcular 
os dois produtos A∙B e B∙A:
Agora, vamos fazer B∙A:
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A partir do exemplo acima, caro(a) estudante, podemos inferir que, de modo geral, 
os produtos A∙B e B∙A são diferentes, isto porque a multiplicação de duas matrizes não 
é comutativa. Na sequência, conheça as propriedades da multiplicação de matrizes.
2.3.1 Propriedades da multiplicação de matrizes
Seja α um escalar real, e as matrizes A, B e C de ordem n×n, são válidas as seguintes 
propriedades:
1. Propriedade associativa da multiplicação: A∙(B∙C)=(A∙B)∙C
2. Elemento neutro da multiplicação: A∙1=1∙A=A
3. Propriedade da distributividade: (A+B)∙C=A∙C+B∙C
4. Propriedade da distributividade: C∙(A+B)=C∙A+C∙B
5. (α∙A)∙B=A∙(α∙B)=α∙(A∙B)
6. Em geral: A∙B≠B∙A
Exemplo 2.15: Seja a matriz A= , encontre a matriz B, tal que A∙B=I2×2.
Precisamos encontrar a matriz B, tal que o produto A∙B resulte na matriz quadrada 
identidade. Então: 
Isto significa que:
Portanto, resolvendo os sistemas acima, conclui-se que , e .
Para tirar a prova, caro(a) estudante, basta fazer , e verificar que o 
resultado será .
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2.4 Transposição de matrizes
Seja a matriz A de ordem m×n, então, a matriz transposta, denotada por At, possui 
ordem n×m, e é resultante da troca das linhas com as colunas de A.
Exemplo 2.16: Seja a matriz A= , então a sua transposta será At= .
Perceba caro(a) estudante, que no exemplo acima, a matriz A é do tipo 3×2 e a sua 
transposta At é do tipo 2×3. Além disso, obtivemos a transposta fazendo a troca das 
linhas com as colunas da matriz A. Vamos ver mais um exemplo:
Exemplo 2.17: Considere a matriz B= , e determine a sua transposta.
Fazendo a troca das linhas com as colunas da matriz B, podemos encontrar a 
transposta BT:
No exemplo acima, a transposta coincidiu com a própria matriz. Para este caso 
em particular, damos o nome de matriz simétrica.
2.4.1 Propriedades da transposição de matrizes
Sejam A e B duas matrizes e o escalar α, então, com relação à transposição de 
matrizes, são válidas as seguintes propriedades:
• (A+B)t=At+Bt
• (At)t=A
• (A∙B)t=Bt ∙At
• (α∙A)t=α∙At
• It=I
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CAPÍTULO 3
DETERMINANTES 
Caro(a) estudante, no presente capítulo vamos estudar o conceito de determinante 
de uma matriz, o qual só poderá ser calculado se a matriz for quadrada (ou seja, se 
possuir o mesmo número de linhas e colunas). 
De modo geral, o determinante de uma matriz quadrada A é um número real, indicado 
por det A; e trata-se de uma função que associa um número real à matriz.
3.1 Ordem do determinante
Denominamos de ordem do determinante a ordem da matriz a que o mesmo 
corresponde. Desta forma, por exemplo, se a matriz quadrada é de ordem 2, então, 
o determinante também será de ordem 2. Analogamente, se a matriz quadrada é de 
ordem 3, então, o determinante também será de ordem 3.
3.2 Representação do determinante de uma matriz
Caro(a) estudante, a representação do determinante de uma determinada matriz A, 
designado por det A, é de maneira análoga à da matriz, mas colocando-o entre dois 
traços verticais:
Vamos na sequência, entender como se dá o cálculo do determinante de uma 
matriz, a depender de sua ordem.
3.3 Determinante de uma matriz de ordem 1
Por definição, em uma matriz de ordem 1, o determinante é o próprio elemento da 
matriz. Veja os exemplos que seguem:
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Exemplo 3.1: Seja a matriz A=[2], então, det A=2.
Exemplo 3.2: Seja a matriz B=[-1], então, det B=-1.
3.4 Determinante de uma matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2×2 é calculado a partir da 
diferença da multiplicação dos elementos da diagonal principal pela diagonal secundária. 
Por exemplo, seja a matriz A= , então:
Exemplo 3.3: Seja a matriz , então:
Exemplo 3.4: Seja a matriz , então:
3.5 Determinante de uma matriz de ordem 3
O determinantede uma matriz quadrada de ordem , considerando a matriz 
, é feito da seguinte forma:
Na prática, o cálculo acima pode ser efetuado de duas formas distintas:
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a) Desenvolvimento do determinante por uma linha:
Ou ainda,
b) Regra de Sarrus:
Na Regra de Sarrus, primeiramente copiamos as duas primeiras colunas da matriz 
A para o lado direito da mesma, tal que:
E, na sequência, efetua-se o produto entre os termos da matriz com as colunas 
copiadas, seguindo as setas abaixo:
Isto implica que:
Exemplo 3.5: Considerando a matriz , encontre o seu determinante.
Neste exemplo, vamos utilizar a Regra de Sarrus:
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Exemplo 3.6: Considerando a matriz , encontre o seu determinante.
Neste exemplo, vamos fazer o desenvolvimento do determinante por uma linha:
3.6 Determinante de uma matriz de ordem 4 ou superior
Caro(a) estudante, no cálculo do determinante de uma matriz de ordem igual ou 
maior que 4, precisamos utilizar o Teorema de Laplace. 
É importante destacar que a aplicação do Teorema de Laplace pode se dar em 
qualquer matriz de ordem n×n, com n>1, embora para matrizes de ordem 2×2 e 3×3, 
o cálculo seja mais simples por meio das formas apresentadas anteriormente.
Para entender o Teorema de Laplace, precisamos primeiramente conhecer três 
conceitos importantes: submatriz, menor complementar e cofator.
1.6.1 Submatriz
Seja uma matriz quadrada A de ordem n, uma submatriz Aij de A é uma matriz obtida 
a partir da eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna de A (ANTON e RORRES, 
2012). Por exemplo, considerando a matriz B= , então, as matrizes B11 
e B32 são submatrizes de B, em que:
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3.6.2 Menor complementar (Dij)
O menor complementar é definido como o determinante extraído de uma matriz 
quadrada, tal que para calculá-lo, é preciso eliminar uma linha e uma matriz da coluna. 
Desta forma, o menor complementar é definido como o determinante da matriz Dij.
Exemplo 3.7: Considerando a matriz , encontre D11 e D21.
Para encontrar D11, precisamos eliminar a linha e a coluna correspondentes ao 
elemento a11:
Desta forma, obtemos a matriz B= , tal que D11 será igual ao det B:
Para encontrar D21, precisamos eliminar a linha e a coluna correspondentes ao 
elemento a21: 
Desta forma, obtemos a matriz C= , tal que D21 será igual ao det C:
3.6.3 Cofator (Aij)
O cofator (ou também denominado de complemento algébrico) de um determinado 
elemento aij é um número Aij, tal que:
Aij=(-1)i+j∙Dij
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Em que i e j são os índices do elemento aij, e Dij é o menor complementar, ou seja, 
determinante da matriz, que é resultante da eliminação das linhas e das colunas para 
o elemento escolhido.
Exemplo 3.8: Considerando a matriz A= , encontre A13 e A22.
O cofator A13 será: 
Em que D13 é dado por:
Portanto, voltando A13:
E, o cofator A22 será:
Em que D22 é dado por:
Portanto, voltando A22:
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3.6.4 Teorema de Laplace
Agora, caro(a) estudante, que compreendemos menor complementar e cofator, 
estamos prontos para conhecer o Teorema de Laplace.
Por meio do Teorema de Laplace, podemos encontrar o determinante de uma 
determinada matriz quadrada, seguindo os seguintes passos:
1. Escolher aleatoriamente uma linha ou uma coluna
2. Somar os produtos dos elementos da linha ou da coluna escolhida, por seus 
cofatores
3. O determinante da matriz será o resultado encontrado no item anterior
Em suma, temos que, considerando uma determinada matriz A, pelo Teorema de 
Laplace, . Veja o exemplo abaixo para ficar mais claro:
Exemplo 3.9: Utilizando o Teorema de Laplace, encontre o determinante da matriz .
Neste exemplo, vamos escolher a primeira linha, que é a que contém o maior número 
de zeros (mas lembre-se que você pode escolher qualquer outra linha e coluna para 
efetuar os cálculos!). Assim, multiplicando os elementos da primeira linha escolhida 
pelos seus cofatores, encontramos:
Precisamos, agora, encontrar D11 e D13. 
Para encontrar D11, fazemos: 
Desta forma, obtemos a matriz B= , tal que D11 será igual ao det B:
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Para encontrar D13, fazemos: 
Desta forma, obtemos a matriz C= , tal que D13 será igual ao det C:
Então, voltando em det A=D11+2D13, verificamos que:
3.7 Propriedades dos determinantes
Agora que aprendemos a calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 
1, 2, 3, 4 e superior, vamos conhecer algumas das propriedades dos determinantes:
I. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta, 
ou seja, det A=det At 
II. Caso exista uma linha ou uma coluna na matriz igual a zero, então, o determinante 
será igual a zero
III. Caso existam duas filas paralelas, iguais ou proporcionais, o determinante será 
igual a zero
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IV. Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um número real k, o determinante 
fica multiplicado por k
V. O determinante do produto de um determinado número real k por uma matriz 
A será igual ao produto de k elevado a n, em que n é o número de linhas de A, 
pelo determinante de A, em que det (k∙A)=kn∙det A
VI. Se permutarmos duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz, o determinante 
da matriz mudará de sinal
VII. O determinante de uma matriz não se altera se somarmos aos elementos de 
uma linha os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma 
constante
VIII. Se os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, então, o 
determinante será o produto dos elementos da diagonal principal
IX. Teorema de Binet. Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n, então, o 
determinante do produto de A por B será igual ao produto dos determinantes 
de A e B, ou seja, det (A∙B)=det A ∙ det B
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CAPÍTULO 4
MATRIZ ADJUNTA, MATRIZ 
INVERSA E SISTEMAS LINEARES
4.1 Matriz adjunta
Antes de entendermos o que seria uma matriz adjunta, caro(a) estudante, precisamos 
conhecer a matriz dos cofatores.
Por definição, considerando uma determinada matriz quadrada A, de ordem n×n, 
a matriz dos cofatores é a matriz ∆ que se obtém a partir da substituição de cada 
elemento aij da matriz A pelo seu respectivo cofator Aij. Veja o exemplo que segue:
Exemplo 4.1: Seja a matriz quadrada A= , para encontrar a matriz dos cofatores, 
precisamos primeiramente obter os cofatores A11, A12, A21 e A22:
O cofator A11 será: 
O cofator A12 será: 
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O cofator A21 será: 
O cofator A22 será: 
Portanto, inserindo os cofatores obtidos nas devidas posições, é possível encontrar 
a matriz dos cofatores de , que é dada por:
Vamos então à definição de matriz adjunta. Seja A uma matriz quadrada de ordem 
n×n, então, a matriz adjunta A, adj A, é definida como a transposta da matriz dos 
cofatores de A, ou seja:
Exemplo 4.2: Encontre a matriz adjunta de A= .
Note que esta é a mesma matriz utilizada no exemplo 4.1, e já conhecemos a 
matriz dos cofatores: . Assim, a matriz adjunta será a sua transposta:
Teorema. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, em que det A≠0, então, A∙adj 
A=det A∙I_n.
Por exemplo, seja a matriz A= , a sua matriz adjunta será adj A= 
. Assim, o produto A∙adj A será:
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4.2 Matriz inversa
Vamos agora, caro(a) estudante, entender o que seria uma matriz inversa. 
Por definição, a inversão de matrizes só pode ser efetuada com matrizes quadradas, 
e assim, considerando uma determinada matriz quadrada A, se existir uma matriz 
quadrada B, de mesma dimensão que A, que satisfaça a seguinte condição A∙B=B∙A=I, 
então, diremos que a matriz B é a inversa da matriz A, também representada por A-1, 
ou seja: A∙A-1=A-1∙A=I.
Exemplo 4.3: Verifique se a matriz B= é a inversa da matriz A= .
Para verificar se B é a inversa de A, precisamos efetuar a multiplicação de uma pela 
outra, e verificar se o resultado é a matriz identidade.
Portanto, verifica-se que A e B são matrizes inversas.
Caro(a) estudante, para obter a inversa de uma matriz, também podemos utilizar 
a regra prática (STEINBRUCH e WINTERLE, 1997, p. 231-232): seja uma matriz A2×2, 
então, para encontrar A-1, podemos permutar “os dois elementos da diagonal principal, 
trocando os sinais dos dois elementos da diagonal secundária e dividindo os quatro 
elementos de A por det A=n”.
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Isto significa que a matriz A= só será invertível se (a11 a22 )-(a12 a21 )≠0, caso em 
que a inversa será .
Exemplo 4.4: Encontre a inversa da matriz A= .
Primeiramente, vamos encontrar o determinante:
Portanto, a inversa será:
Ou ainda, 
4.2.1 Propriedades da matriz inversa
Sejam as matrizes A e B, e o escalar α, então:
I. (A+B)-1=A-1+B-1
II. (α∙A)-1= A-1
III. (A-1)-1=A
IV. I-1=I
V. (A∙B)-1= B-1∙A-1
VI. det A-1= 
VII. Se uma matriz A possui inversa, a inversa é única
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4.3 Sistemas lineares
Vamos agora estudar sistemas lineares, mas antes, precisamos nos recordar do 
que é uma equação linear. Por definição, uma equação linear é aquela da forma a1 
x1+a2 x2+⋯+an xn=b, em que x1,x2,x3,…,xn são as variáveis, a1,a2,a3,…,an são os respectivos 
coeficientes das variáveis, e b é o termo independente.
Assim, um sistema linear nada mais é do que um conjunto de equações lineares, 
escritas da forma:
E assim, podemos associar uma matriz a um sistema linear, cujos coeficientes 
ocuparão as linhas e as colunas da matriz:
O formato matricial acima pode ser, simplesmente, escrito como:
Em que A representa a matriz dos coeficientes, X representa a matriz das incógnitas 
(ou matriz solução) e B representa a matriz dos termos independentes.
Exemplo 4.5: Considere o sistema 
Na forma matricial, o sistema acima é escrito como:
Então, a matriz incompleta é aquela formada apenas pelos coeficientes do sistema, 
ou seja:
Enquanto que a matriz completa é formada pelos coeficientes do sistema, e mais 
os termos independentes:
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ANOTE ISSO
Acredito que neste momento, caro(a) estudante, você deva estar se perguntando... 
Mas, e como saber se um determinado sistema linear possui solução?
Para verificar se um sistema linear possui solução, basta construir a matriz 
completa, e, na sequência, calcular o determinante da mesma. São 3 os possíveis 
resultados:
1. Sistema Possível e Determinado (SPD): o determinante é diferente de zero
2. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): o determinante é igual a zero
3. Sistema Impossível (SI): o determinante principal é igual a zero, e o determinante 
secundário é diferente de zero
Veja o esquema abaixo:
Caro(a) estudante, existem diferentes formas de se resolver um sistema linear a 
partir da utilização de matrizes, no entanto, neste estudo, veremos apenas dois deles: 
escalonamento e Regra de Cramer.
4.6.1 Escalonamento
A partir do escalonamento, transformamos o sistema linear em uma matriz, com 
vistas a obter o valor das incógnitas do sistema.
Escalonar um sistema significa resolver um sistema linear, a partir da transformação 
do sistema em outro equivalente, mas que seja de mais fácil resolução. Assim, para 
escalonar, podemos:
• Somar ou subtrair uma equação pela outra
• Multiplicar uma das equações por um número real, diferente de zero
• Trocar duas equações de posição entre si
• Multiplicar uma das equações por um número real, e somá-la ou subtraí-la da 
outra
• Dividir uma equação inteira por um número real, diferente de zero
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Exemplo 4.6: Resolva o sistema linear dado por:
Na forma matricial, o sistema acima é escrito como:
A matriz completa do sistema é dada por:
Vamos primeiramente subtrair a linha 2 com a linha 1, para anular o elemento a21: 
Agora, vamos anular mais um elemento, o a31, fazendo a subtração da terceira linha 
pelo dobro da primeira linha:
Vamos agora somar a segunda linha com a terceira linha, para anular a32:
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Desta forma, caro(a) estudante, chegamos à forma escalonada, tal que será possível 
encontrar o valor das incógnitas x, y e z, utilizando um sistema equivalente, e de fácil 
resolução:
Concluímos então que: 
Portanto, a solução do sistema é: x=3,y=2 e z=1. S={(3,2,1)}.
4.6.3 Regra de Cramer
A Regra de Cramer é utilizada na solução de um sistema linear do tipo possível 
e determinado (SPD), desde que o número de equações seja igual ao número de 
incógnitas; ou seja, aplica-se a sistemas com duas equações e duas variáveis, ou a 
um sistema com três equações e três variáveis.
Na resolução de um sistema linear de n equações e n incógnitas, devemos calcular 
o determinante da equação incompleta do sistema, e na sequência, substituir os 
termos independentes em cada coluna, para, por fim, calcular os seus respectivos 
determinantes D aplicando a Regra de Cramer. Neste sentido, os valores das incógnitas 
são calculados da seguinte forma:
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Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 4.7: Encontre o valor das incógnitas x,y e z do sistema que segue, utilizando 
a regra de Cramer:
Na forma matricial, o sistema acima é escrito como:
A matriz incompleta do sistema é dada por:
O determinante D da matriz incompleta M é:
Vamos agora substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz M, 
e formar a matriz que vamos denominar de Mx:
O determinante da matriz Mx é dado por:
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Substituindo os termos independentes na primeira coluna da matriz M, obtemos 
a matriz My:
O determinante da matriz My é dado por:
Por fim, substituindo os termos independentes na primeira coluna da matriz A, 
obtemos a matriz Mz:
O determinante da matriz Mz é dado por:
Assim, utilizando a Regra de Cramer, concluímos que:
Portanto, a solução do sistema é: x=1, y=2 e z=3. S={(1,2,3)}.
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4.7 Posto e grau de liberdade
Agora, caro(a) estudante, veremos uma técnica que nos permite resolver sistemas 
de equações lineares que não apresentam, necessariamente, aqueles cujo número 
de equações coincidem com o número de incógnitas. Mas para isto, precisamos 
primeiramente definir alguns conceitos importantes.
Matriz linha reduzida à forma escada. Uma determinada matriz de ordem m×n é 
linha reduzida à forma escada se:
1. O 1º elemento não nulo de uma matriz não nula é 1, chamado de pivô
2. Cada coluna que contém o 1º elemento não nulo de alguma linha tem todos 
os seus outros iguais a zero, ou seja, acima e abaixo de cada pivô, só temos 
elementos iguais a zero
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas
4. Se as linhas 1,...,r são as linhas não nulas, e, se o primeiro elemento não nulo 
da linha i ocorre na linhaki , então, k1CATÓLICA PAULISTA | 52
ANOTE ISSO
Uma outra forma de representar um vetor é por meio da utilização de vetores 
unitários. Tratam-se de vetores de comprimento igual a um, e que tem a direção 
dos eixos coordenados. No plano, podemos definir dois vetores unitários, e , que, 
respectivamente, são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y.
Sejam os vetores e , definimos por vetor soma desses vetores, indicado por , o 
vetor , conforme indicado na figura abaixo: 
 
Figura 5.6: a) Dois vetores arbitrários. b) Soma dos vetores.
Fonte: a autora.
Para o caso em que os vetores e são transladados paralelamente a eles mesmos, 
e colocados sobre uma mesma origem, então, na soma, obtemos um paralelogramo, 
conforme representado na figura abaixo:
Figura 5.7: A diagonal do paralelogramo representa o vetor 
Fonte: a autora.
Desta forma, se e representam os vetores e , respectivamente então:
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Na adição de vetores, considerando , e vetores, são válidas as seguintes 
propriedades:
I. Comutativa: 
II. Associativa: 
III. Existência do vetor nulo : significa que para todo existe , tal que 
IV. Para todo vetor , existe o vetor , tal que 
A diferença entre os vetores e , é indicada pelo vetor soma , tal que , 
ou seja: :
Figura 5.8: a) Dois vetores arbitrários. b) Diferença dos vetores.
Fonte: a autora.
Exemplo 5.3: Sejam os vetores e do , determine e .
E:
Exemplo 5.4: Sejam os vetores , e do , verifique 
que .
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E:
Vamos agora discutir sobre a multiplicação de um vetor por um escalar. Seja um 
vetor não nulo e k um número real (escalar), chamamos de produto de um número 
real k pelo vetor , o vetor , cuja direção é a mesma do vetor . Para o caso 
em que , o sentido é o mesmo de .
Figura 5.9: a) k=1. b) k>1. c) 0• Conjunto de matrizes Mn×m com as operações usuais de multiplicação de matrizes 
e multiplicação de matriz por um número real
• O espaço constituído pelo conjunto das funções reais com as operações de soma 
e produto por escala, definidos por ( f + g )( x ) = f (x) + g (x) e ( λ∙f )(x)= λ∙f (x)
Exemplo 6.3: Seja o conjunto de funções reais, . Para f e g funções 
reais de e , vamos mostrar que é um espaço vetorial sobre :
• (f+g)(x)=f(x)+g(x)
=g(x)+f(x)
=(g+f)(x)
• [f+(g+h)](x)=f(x)+(g+h)(x)
=f(x)+g(x)+h(x)
=(f+g)(x)+h(x)
=[(f+g)+h](x)
• (f+0)(x)=f(x)+0(x)
=f(x)
• [f+(-f)](x)=f(x)+(-f)(x)
=f(x)-f(x)
=0
=0(x)
• α∙[(β∙f)(x)]=α∙[β∙f(x)]
=α∙β∙f(x)
=(α∙β)∙f(x)
=[(α∙β)∙f](x)
• [(α+β)∙f](x)=(α+β)∙f(x)
=α∙f(x)+β∙f(x)
=(α∙f)(x)+(β∙f)(x)
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• [α∙(f+g)](x)=α∙(f+g)(x)
=α∙( f (x)+g(x))
=α∙f (x)+α∙g(x)
=(α∙f)(x)+(α∙g)(x)
• (1∙f)(x)=1∙f(x)
=f (x)
6.1 Propriedades do espaço vetorial
Com relação às propriedades dos espaços vetoriais, podemos afirmar que:
I. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição)
II. Cada vetor admite apenas um simétrico 
III. Para qualquer , se , então 
IV. Qualquer que seja , o oposto de é , ou seja, 
V. Quaisquer que sejam , então existe um, e somente um, tal que 
VI. Qualquer que seja , tem-se que . Em que o primeiro zero é o 
número real zero, e o segundo zero é o vetor 
VII. Qualquer que seja , tem-se que 
VIII. implica que ou 
IX. Qualquer que seja , tem-se que 
X. Quaisquer que sejam e , tem-se que 
6.2 Subespaço vetorial
Seja V um espaço vetorial, e S um subconjunto não vazio de V, então dizemos que 
S é um subespaço vetorial de V se .
Atente-se que para demonstrarmos que um determinado subconjunto S é um 
subespaço vetorial de V, deveríamos testar os axiomas vistos anteriormente, que 
são relativos à adição e à multiplicação por escalar. No entanto, como S é parte de 
V, como já sabemos que é um espaço vetorial, implica que não há tal necessidade.
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Exemplo 6.4: Seja , então, os conjuntos e 
 são subespaços de V. De fato, para S1:
• 
• 
Neste caso, geometricamente, o subespaço S1 é um plano que contém os eixos x,y 
e passa pela origem (0,0,0) do sistema tridimensional.
Analogamente, para S2:
• 
• 
Neste caso, geometricamente, o subespaço S2 é a reta contida em que coincide 
com o eixo x.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço 
vetorial V, e o conjunto {0}, denominado de subespaço zero ou subespaço nulo. 
Estes dois subespaços são subespaços triviais de V, enquanto que os demais 
subespaços, se existirem, são chamados de subespaços próprios.
Exemplo 6.5: Seja V= e S={(x,y)∈ |y=2x}, observe que S≠∅, uma vez que (0,0)∈S. 
Neste caso, S é o conjunto de pares ordenados que pertencem à reta y=2x. Então, 
podemos escrever S=(x,2x). Para =(x1,2x1)∈S e =(x2,2x2)∈S, temos que:
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• 
• 
Neste caso, geometricamente, o subespaço S representa uma reta que passa pela 
origem.
Exemplo 6.6: Seja V= 2 e S={(x,x2)|x∈ }, S não é um subespaço vetorial de V, pois, 
para =(x1,x1
2)∈S e =(x2,x2
2)∈S, temos que:
• 
Exemplo 6.7: Seja o conjunto-solução do sistema linear homogêneo 
 que encontra-se munido das operações usuais de soma e multiplicação por escalar, 
verifique se o mesmo constitui um subespaço de V=M3×1.
Escrevendo o sistema em sua forma matricial, temos que:
Precisamos fazer o cálculo dos vetores que satisfaçam o sistema, considerando o 
espaço vetorial M3×1. E, na sequência, verificar se esse conjunto é subespaço de M3×1.
Vamos considerar os seguintes vetores-solução:
Somando membro a membro das duas igualdades, temos que:
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Multiplicando por α a primeira igualdade, verificamos que:
Desta forma, concluímos que o conjunto-solução do sistema linear homogêneo é 
um subespaço vetorial de M3×1.
Caro(a) estudante, vamos agora imaginar a operação de interseção. Na interseção 
de dois subespaços, consideramos os elementos (vetores) que, simultaneamente, 
estão em ambos. E aí, nos surge a pergunta: o conjunto formado pela interseção de 
dois subespaços vetoriais seria por si só um subespaço vetorial? (FRANCO, 2016).
Teorema. Se S1,S2,...,Sn forem subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção 
desses subespaços também será um subespaço de V.
Vamos à demonstração do referido teorema. Para isto, vamos considerar os 
subespaços S1 e ,S2.
I. Sejam os vetores e pertencentes a S1∩ S2, então, e pertencem a S1 e a 
S2. Como S1 e S2 são subespaços vetoriais de V, + pertence a S1 e a S2, e 
portanto, pertence a S1∩ S2, satisfazendo assim a primeira condição
II. Seja o vetor pertencente a S1∩ S2, então, λ∙ pertence a S1 e a S2. Como S1 e 
S2 são subespaços vetoriais de V, λ∙ pertence a S1 e a S2, e portanto, pertence 
a S1∩ S2, satisfazendo assim a segunda condição
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CAPÍTULO 7
ESPAÇOS VETORIAIS: 
COMBINAÇÃO LINEAR, 
DEPEDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA 
LINEAR E BASE E DIMENSÃO
Caro(a) estudante, no presente capítulo trabalharemos com os conceitos de 
combinação linear, dependência e independência linear, e por fim, base e dimensão 
de um espaço vetorial.
7.1 Combinação linear
Considerando quaisquer conjuntos vetoriais que pertençam a um espaço vetorial V, 
sabemos que a soma desses vetores entre si, para qualquer que seja a combinação, 
terá como vetor resultante um vetor que também pertence a V. Analogamente, ao 
multiplicarmos cada vetor por um escalar real, teremos como resultado um vetor que 
também pertencente a V.
Desta forma, caro(a) estudante, sejam 1, 2,..., n os vetores do espaço vetorial V e 
a1,a2,...,an os escalares, dizemos que qualquer vetor V da forma =a1 1+a2 2+...+an n 
é uma combinação linear dos vetores 1, 2,..., n.
Teorema: Seja S um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V, tal que 
S={ }, então, o conjunto W de todas as combinações lineares possíveis de 
vetores em S é um subespaço de V.
Exemplo 7.1: No , o vetor =(10,16) é uma combinação linear dos vetores 1=(1,2) 
e 2=(3,4). De fato, uma vez que =4 1+2 2, então:
(10,16)=4∙(1,2)+2∙(3,4)
(10,16)=(1∙4,2∙4)+(3∙2,4∙2)
(10,16)=(4,8)+(6,8)
(10,16)=(4+6,8+8)
(10,16)=(10,16)
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Exemplo 7.2: Sejam os vetores 1=(1,-3,2) e 2=(2,4,-1) no 3, podemos escrever 
=(-4,-18,7) como uma combinação linear de 1 e 2. Para isso, precisamos determinar 
os escalares a1 e a2, tal que:
=a1 1+a2 2
(-4,-18,7)=a1∙(1,-3,2)+a2∙(2,4,-1)
(-4,-18,7)=(1∙a1,-3∙a1,2∙a1)+(2∙a2,4∙a2,-1∙a2)
(-4,-18,7)=(a1,-3a1,2a1)+(2a2,4a2,-a2)
(-4,-18,7)=(a1+2a2,-3a1+4a2,2a1-a2)
Assim, chegamos ao seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, verifica-se que a1=2 e a2=-3, e, portanto, =2 1-3 2.
 
Exemplo 7.3: Sejam os vetores 1=(1,-3,2) e 2=(2,4,-1) no 3, vamos determinar o 
valor de k, para que o vetor =(-1,k,-7) seja uma combinação linear de 1 e 2.
Já sabemos que: 
=a1 1+a2 2
Então:
Assim, chegamos ao seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, verifica-se que k=13, a1=-3 e a2=1. De fato:
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Uma propriedade importante às combinações lineares é a noção de subespaço 
gerado, que veremos no próximo tópico. 
7.2 Subespaço vetorial gerado
Sejam V um espaço vetorial e A={ 1, 2,..., n }⊂V, A≠∅, então, o conjunto S de todos 
os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço 
vetorial de V.
Se =a1 1+a2 2+...+an n e =b1 v 1+b2 2+...+bn n são dois quaisquer vetores de S,então, podemos escrever que:
• 
• 
Isso significa que + ∈S e α∙ ∈S por serem combinações lineares de 1, 2,..., n; 
logo, S é um subespaço vetorial de V.
Atente-se que S diz-se gerado pelos vetores 1, 2,..., n, ou gerado pelo conjunto A e 
é representado por S=[ 1, 2,..., n ] ou S=G(A).
Exemplo 7.4: Os vetores 1=(1,0) e v2=(0,1) geram o espaço vetorial V= 2, uma vez 
que qualquer par (x,y)∈ 2 é combinação linear de 1 e 2:
Exemplo 7.5: Determine se os vetores 1=(1,0,-1), 2=(0,1,2) e 1=(1,-1,1) geram o 3.
Para que os vetores gerem o 3, é preciso que qualquer vetor do 3 possa ser 
escrito como uma combinação linear deles, então:
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Assim, chegamos ao seguinte sistema:
Para que este sistema seja consistente para quaisquer valores de x,y e z, o 
determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero, conforme estudamos 
anteriormente. Isto resulta em:
Portanto, garante-se que os vetores geram o 3.
Exemplo 7.6: Seja um plano contido em 3, encontre 
um conjunto que gera este subespaço.
Da igualdade , verifica-se que , então, , e 
portanto, segue que:
Infere-se que S é gerado pelos vetores (1,0,1) e (0,1,1), ou seja, S=[(1,0,1),(0,1,1)].
Caro(a) estudante, no exemplo acima, em x+y-z=0, ao invés de isolar z, podíamos 
ter isolado x, e assim x=z-y:
E, portanto, outro conjunto que gera o subespaço S são os vetores (-1,1,0) e (1,0,1), 
ou seja, S=[(-1,1,0),(1,0,1)].
Analogamente, se isolarmos y em x+y-z=0, obtemos que y=z-x:
=(x,z-x,z)
=(x,-x,0)+(0,z,z)
=x∙(1,-1,0)+z∙(0,1,1)
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Logo, outro conjunto que gera o subespaço S são os vetores (1,-1,0) e (0,1,1), ou 
seja, S=[(1,-1,0),(0,1,1)].
Isto mostra que é possível exibir vários conjuntos que geram o mesmo subespaço.
7.3 Espaços vetoriais finitamente gerados
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir um conjunto finito A⊂V, tal 
que V=G(A). Atente-se que os exemplos de espaços vetoriais dados são de espaços 
vetoriais finitamente gerados. Ou seja, vimos que o 2 é gerado por um conjunto de 2 
vetores, e que o 3 é gerado por um conjunto de 3 vetores. Atente-se caro(a) estudante, 
que embora existam espaços vetoriais gerados por um conjunto de infinitos vetores, 
neste estudo, trataremos apenas dos espaços vetoriais finitamente gerados.
7.4 Dependência e independência linear
Caro(a) estudante, um conjunto de vetores será considerado linearmente 
independente (LI) quando nenhum elemento contido nesse conjunto for gerado por 
uma combinação linear dos demais. Por outro lado, um conjunto de vetores será dito 
linearmente dependente (LD), se ao menos um de seus elementos puder ser escrito 
como uma combinação linear dos demais elementos.
Sejam V um espaço vetorial e A={ 1, 2,..., n }⊂V, então temos que a equação a1 
1+a2 2+...+an n=0 admite, ao menos, a solução trivial a1=a2=...=an=0. E, sempre que 
isso acontecer, dizemos que os vetores 1, 2,..., n são LI, ou que o conjunto A é LI. No 
entanto, caso existam soluções ai≠0, então, dizemos que os vetores 1, 2,..., n são LD, 
ou simplesmente que o conjunto A é LD.
ANOTE ISSO
Teorema: um conjunto S de dois ou mais vetores é:
a) linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de S 
puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em S
b) linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em S puder ser 
expresso como uma combinação linear dos outros vetores em S
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Exemplo 7.7: No 2 os vetores canônicos 1=(1,0) e 2=(0,1) são LI. De fato:
Exemplo 7.8: Determine se os vetores são LI.
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, basta fazer:
Chegamos então ao sistema:
De onde verifica-se que a1=0 e a2=0. Portanto, conclui-se que os vetores 1 e 2 são 
linearmente independentes.
Exemplo 7.9: Determine se os vetores 1=(1,-2,3), 2=(5,6,-1) e 3=(3,2,1) formam 
um conjunto LI ou LD.
O que nos leva ao sistema:
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Existem várias formas de determinar se o sistema tem soluções não triviais. 
Resolvendo o sistema, verifica-se que , e . Portanto, pode-
se concluir que o sistema tem soluções não triviais, logo, os vetores são linearmente 
dependentes (LD).
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Geometricamente, dois vetores formam um conjunto LD quando estes vetores 
são colineares (ou seja, estão sobre uma mesma reta), ou são paralelos (ou seja, 
quando têm a mesma direção). Algebricamente, dois vetores formam um conjunto 
LD quando um é múltiplo do outro, ou seja, quando um vetor pode ser escrito como 
combinação linear do outro vetor.
7.4.1 Dependência e independência linear
1. O vetor =0 do espaço vetorial V é LD, uma vez que para qualquer a≠0, tem-se 
que a∙0=0
2. Um único vetor ≠0 do espaço vetorial é LI, uma vez que a igualdade a∙ =0 só 
se verifica para a=0
3. Se um conjunto A⊂V contém o vetor nulo, então A é LD 
4. Se em um conjunto de vetores não nulos A={ 1, 2,..., n } um deles é combinação 
linear dos outros, então o conjunto é LD
5. Se uma parte de um conjunto A⊂V é LD, então A também é LD
6. Se um conjunto A⊂V é LI, então qualquer parte A1 de A também é LI
7. Se A={ 1, 2,..., n }⊂V é LI e B={ 1, 2,..., n,w}⊂V é LD, então é combinação linear 
de 1, 2,..., n
 
7.5 Base e dimensão
Caro(a) estudante, vamos agora aprender a determinar se em um determinado 
conjunto de vetores que geram um espaço vetorial V, todos os vetores a ele pertencentes 
realmente são necessários para construir outros vetores que pertencem a este espaço.
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7.5.1 Base de um espaço vetorial
Nosso objetivo será encontrar um conjunto finito de vetores { 1, 2,..., n } de um 
espaço vetorial V tais que qualquer outro vetor ∈V possa ser escrito como uma 
combinação linear deles, ou seja =a1 1+a2 2+...+an n. Se nós pudermos encontrar 
esses vetores, para qualquer espaço vetorial V, então, estaremos determinando uma 
base para V. Atente-se que um conjunto B={ 1, 2,..., n }⊂V é uma base de V se duas 
condições forem satisfeitas: se B é LI, e se B gera V.
Teorema. Seja B={ 1, 2,..., n } um conjunto ordenado de vetores de um espaço vetorial 
V, então, B é uma base de V se as seguintes condições forem satisfeitas:
V=[ 1, 2,..., n]
B é LI
Exemplo 7.10: B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do 3, denominada de base 
canônica. De fato, B é um conjunto LI.
Seja (x,y,z)∈ 3 então x∙(1,0,0)+y∙(0,1,0)+z∙(0,0,1)
=(1∙x,0∙x,0∙x)+(0∙y,1∙y,0∙y)+(0∙z,0∙z,1∙z)
=(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z)
=(x+0+0,0+y+0,0+0+z)
=(x,y,z)
Logo, qualquer que seja (x,y,z) de 3 é uma combinação linear dos vetores de B. 
Podemos representar que B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera 3 da seguinte forma:
3=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]
Exemplo 7.11: Considere as matrizes quadradas abaixo, e mostre que o conjunto 
{M1,M2,M3,M4} forma uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de 
ordem 2:
Vamos primeiramente verificar que toda matriz de ordem 2×2 pode ser escrita 
como combinação linear destas quatro matrizes. De fato, seja M uma matriz qualquer 
de V=M2×2:
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Devemos então, mostrar que existem os escalares a,b,c e d, tais que:
De onde inferimos que a=x,b=y/2,c=z/3 e d=w/4, e portanto, a igualdade 
M=a∙M1+b∙M2+c∙M3+d∙M4 é verificada. Então, temos que o conjunto {M1,M2,M3,M4} gera 
o espaço vetorial M2×2, ou seja, V=[M1,M2,M3,M4].
Vamos agora mostrar que o conjunto {M1,M2,M3,M4} é LI. De fato, sejam os escalares 
a1,a2,a3 e a4, tais que:
De onde inferimos que a1=0,2a2=0,3a3=0 e 4a4=0, o que resulta em a1=a2=a3=a4=0. 
Portanto, as matrizes M1,M2,M3 e M4 formam um conjunto