Questão 11. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A(−2, 4). Determine a equação da reta s.

Question

Ed · Answer

Para determinar a equação da reta $ s $ que passa pelo ponto $ A(-2, 4) $ e é a mais próxima da origem, precisamos encontrar a reta que é perpendicular ao segmento que liga a origem ao ponto $ A $.

1. **Encontrar o coeficiente angular (m)**: A reta que passa pela origem (0,0) e pelo ponto $ A(-2, 4) $ tem um coeficiente angular dado por:
   $$
   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{-2 - 0} = \frac{4}{-2} = -2
   $$

2. **Encontrar a inclinação da reta $ s $**: A reta $ s $ será perpendicular a essa reta, então seu coeficiente angular será o oposto do inverso de $ m $:
   $$
   m_s = \frac{1}{2}
   $$

3. **Usar a forma ponto-inclinação da equação da reta**: A equação da reta na forma ponto-inclinação é dada por:
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1)
   $$
   Substituindo $ A(-2, 4) $ e $ m_s = \frac{1}{2} $:
   $$
   y - 4 = \frac{1}{2}(x + 2)
   $$

4. **Simplificar a equação**:
   $$
   y - 4 = \frac{1}{2}x + 1
   $$
   $$
   y = \frac{1}{2}x + 5
   $$

Portanto, a equação da reta $ s $ é:
$$
y = \frac{1}{2}x + 5
$$

Ed · Answer

Para encontrar a equação da reta s, precisamos primeiro encontrar sua inclinação. Sabemos que o ponto A(-2, 4) está na reta s e que é o ponto mais próximo da origem.

Podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para encontrar a inclinação. A distância entre o ponto A e a origem é igual à distância entre o ponto A e a reta s.

A fórmula da distância entre um ponto (x1, y1) e uma reta ax + by + c = 0 é:

d = |ax1 + by1 + c| / √(a² + b²)

Substituindo os valores conhecidos, temos:

4 = |a(-2) + b(4) + c| / √(a² + b²)

Simplificando:

16(a² + b²) = 4a² + 16b² + 16c² - 16ab + 16ab - 4ac

16a² + 16b² - 4ac - 16b² = 16c² - 4a²

20a² = 16c²

5a/2 = c

Agora que temos a inclinação (coeficiente angular) da reta s, podemos usar o ponto A para encontrar o coeficiente linear (b).

A equação da reta s é:

y = ax + b

Substituindo os valores conhecidos:

y = (5/2)x + b

Substituindo o ponto A(-2, 4):

4 = (5/2)(-2) + b

4 = -5 + b

b = 9

Portanto, a equação da reta s é:

y = (5/2)x + 9

Geometria Analítica

Questão 11. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A(−2, 4). Determine a equação da reta s.

05 Lista de Exercícios GAAL - Seções Cônicas

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05 Lista de Exercícios GAAL - Seções Cônicas

Questão 3. Seja r uma reta que passa pelo ponto ( √ 3,−1). Indiquemos por A e B, respectivamente, os pontos em que r corta os eixos x e y. Seja, ainda, C o simétrico de B em relação à origem. Se o triângulo ABC é equilátero, determine a equação de r.

Questão 6. Observe a figura Nessa figura as retas (r) e (s) se interseptam no ponto (1, √ 3). Se a reta (s) passa pela origem e o ângulo entre elas é 15º conforme na figura, Determine a equação da reta (r)

Questão 7. Dadas a reta (r)y = −1 3 x e a parábola (λ)y = x2 − x− 2, obtenha a reta tangente à (λ) que é perpendicular a (r).

Questão 8. Considere a cônica 5x2 + 6xy + 5y2 − 8 = 0, a) Escreva-a no sistema uv sem o termo misto xy b) Obtenha o seu ângulo de rotação c) Identifique-a d) Faça um esboço da cônica dada.

Questão 10. Determine a equação da elipse tangente aos eixos coordenados e cujo centro está na interseção das retas y = 9− x e y = x+ 1

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