Planejamento de vendas e operações

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Raízes de Funções: Método da Bisseção, Método da Falsa Posição e Método de Newton 
1.  Determine os intervalos que contêm as raízes da função
f(x)=x3-9x+3: 
C.  [-4,-3], [0,1] e [2,3]
2.  Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de Newton. Utilize a função f(x)=x3-5. 
E.  1,71
3.  Encontre a raiz da função f(x)=x3-9x+3, utilizando o método da Bissecção e tendo como intervalo inicial [0,1]. Utilize duas casas decimais para a aproximação. 
A.  0,33 
4.  Utilizando o método de Newton, determine, após três iterações, a raiz da função f(x)=x3-x+1, contida no intervalo [-2, -1], com uma casa decimal por arredondamento. 
d) -1,3 
5.  Considere a função f(x)=x2+x-6, e determine a raiz dela pelo método de Newton, tomando como x0 = 1,5. 
C.  c) 2 
Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto 
1.  Dado o número π=3,1415926535…, qual a sua representação com parte inteira igual a zero? 
c) 0,31415926535.10 
2.  Ainda sobre o número π=3,1415926535…, qual o seu arredondamento para 7 dígitos após a vírgula? 
d) 3,1415927
3.  Em uma medição de terreno, um engenheiro civil fez as seguintes medidas: comprimento = 1234cm e largura = 848cm. Levando em conta que uma determinada máquina trabalha com mantissa t=3 por arredondamento em ponto flutuante, determine a área desse terreno devolvida ao usuário em m²: 
a) 104 m²
4.  Qual o erro absoluto do número 60,3451, tendo sido truncado com mantissa t=3? 
  e) 0,451.10(-1)
5.  Que representação o número (59)10 possui na base binária? 
b) 111011 
Regressão por Mínimos Quadrados 
1.  No laboratório de Física Experimental de uma linha de produção de automóveis, um Engenheiro Mecânico está testando o tempo de reação do computador de bordo para indicar se está faltando combustível a partir da corrente elétrica fornecida ao sistema. O quadro abaixo indica os valores experimentais encontrados:​​​​​​​
E. w(A) = 0,23A + 0,771
2.  Dado o quadro abaixo: 
B.  0,00360
3.  Dado o polinômio aproximador de terceiro grau w(u) = 1,379u³ – 0,353u² + 0,061u + 1,012 e o quadro abaixo:
B.  7,911 × 10–4​​
 
4. Para um mesmo conjunto de dados tabelados, foram encontrados os seguintes resíduos:
I) 17,89 × 10–4(ajuste de dados por uma reta)
II) 4,756 × 10–4(ajuste de dados por uma parábola)
III) 0,829 × 10–4(ajuste de dados por um polinômio de grau 3)
A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que:
C.  o resíduo que produziu um melhor ajuste foi III.
5.  Dada a aproximação w(u) = a1ln (u) + a2 e os dados tabelados no quadro abaixo:
B.  a1 = 5,473 e a2 = 0,989
Interpolação 
1.  
Dada a função t(u) = cos (u) com os valores tabelados de u0 = 0 e u1 = 0,6. Qual é a função de interpolação do primeiro grau para aproximar t(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador?
E.  p1(u) = 1 – 0,29111u e 0,31439.
2.  Dada a função r(s) = cos (s) com os valores tabelados de s0 = 0, s1 = 0,6 e s2 = 0,9, qual é a função de interpolação do segundo grau para aproximar s(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador?
C.  p2(s) = 1 – 0,03246s –​​​​​​​ 0,43109s² e 0,00234.
3.  Dada a função w(t)= sen(πt) com os valores tabelados de t0 = 1,25 e t1 = 1,6, qual é a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente?
A.  p1(t) = 0,16415 – 0,697t e 0,1394.
4.  Dado o seguinte quadro de diferenças divididas:
Quais são os valores que estão faltando, respectivamente?
A.  w[u0] = 1, w[u1] = 3 e w[u0, u1] = 5.
5.  Dada a função k(u) = eu, no intervalo [0,1], com pontos ui que são igualmente espaçados entre si e h sendo a distância, qual é o maior valor de h para que o erro da interpolação linear, em qualquer ponto de [0,1], seja ≤ 0,01 = E(u)? Considere esse valor com um arredondamento de cinco dígitos significativos pelo método do truncamento.
B.  h ≥ 0,17155.
Integração Numérica, regra do trapézio simples e Regra do trapézio composta 
1.  Você está prestando serviços para uma Agência Espacial e precisa resolver com urgência um problema de trajetória de um modulo espacial em um intervalo dado pela integral: 
​​​​​​​
Calcule o resultado aproximado pela regra do trapézio simples.
C.  1,906854
2.  Algumas funções têm primitivas difíceis de serem encontradas, especialmente as que envolvem trigonometria e funções exponenciais juntas. Quando é possível lidar com aproximações, podemos utilizar a regra do trapézio para resolver tais questões, colocando um número de intervalos que consideremos satisfatório para a aproximação. Observe a função:
Agora resolva essa função pela regra do trapézio composta, utilizando 6 intervalos.
E.  0,678191
3.  Métodos numéricos para solução de integrais são essenciais se você obteve dados por meio de observações, e não há uma função preestabelecida. Imagine que você fez uma observação em laboratório e obteve os seguintes dados
Utilizando a regra do trapézio, calcule a integral.
C.  2,05
4.  O Barão Ariosvaldo de Bragança Orleans Pessanha Machado morreu e deixou uma grande fortuna para seus herdeiros: metade para seu cachorro yorkshire e a outra metade para a Associação dos Matemáticos Falidos. O Barão era matemático amador e gostava de brincadeiras, tendo passado a parte final de sua vida criando “memes” para a Internet e fazendo montagens gaiatas para enviar por Whatsapp. Lamentavelmente, certa vez, criou uma piada tão engraçada, que o fez rir muito e engasgar com as bolachas que comia junto com seu chá inglês, causando-lhe a morte. As instruções do seu testamento, redigido em aramaico, informavam que a relação dos seus bens (em diversas moedas, terras em vários países, ações das maiores empresas do mundo, joias, etc.) estavam guardadas em um cofre, cujo segredo era a solução numérica de sete elementos da integral: 
Ajude o responsável pelo inventário, o respeitado advogado Legalino Dura Lex, a resolver o problema.
D.  15,225521
5.  O departamento de projetos de sua empresa enviou a você uma série de cálculos para serem feitos, a fim de poder construir as máquinas necessárias para uma nova linha de produção. Exausto, após passar o dia calculando, você depara-se com mais uma integral, que na hora acha difícil de resolver por método direto e resolve fazer o cálculo pela regra do trapézio, dividindo a função em 8 subintervalos. A integral é: 
Qual é o resultado encontrado?
E.  0,117166
Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss, Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss com pivotamento, Decomposição LU e Decomposição LU com 
1.  Hoje é dia de S. Valentim. Dois rapazes pretendem comprar um ramo de flores, com rosas e tulipas, para oferecer às respectivas namoradas. Considere x1 o número de rosas e x2 o número de tulipas de cada ramo. O primeiro rapaz vai comprar o ramo da florista "Mil Pétalas", que 2 reais cobra por cada rosa e 2 reais por cada tulipa, gastando 10 reais. O segundo decide comprar o ramo na florista "Tudo em flor", que cobra 2 reais por cada rosa e 3 reais por cada tulipa, gastando 13 reais. Qual a solução para o sistema? 
Resolva utilizando o Método de Gauss com Pivotamento.
x1 = 2ex2 = 3
 a) x1=2 e x2 = 3 
2.  Determine a solução do sistema linear.
  d) 
3.  No estudo das operações com matrizes e seus determinantes, existem procedimentos que asseguram a manutenção dos resultados, outros, apesar de alterar determinados pontos, não interferem nas equações resultantes, por fim, alguns podem ser desastrosos. Ao mudar as posições das linhas em uma matriz, o que acontece com seu determinante? 
c) Torna-se o simétrico. 
4.  Considere o seguinte sistemade equações para determinar as concentrações c1, c2 e c3 (g/m3), numa série de 3 reatores como função da quantidade de massa à entrada de cada reator (termo independente do sistema em g):
Desenvolvendo o método de Fatoração LU, como fica a matriz L no sistema dado?
C) 
5.  Determine a solução do sistema linear.
b) x1=1, x2=1 e x3=1 
Sistemas Lineares, Método Iterativo de Jacobi 
1.  Encontre a solução do sistema Ax = b, utilizando o Método Iterativo de Jacobi até a 1ª iteração, utilizando x0 = [0, 0, 0]t
B.  [1,4; 0,5; 1,4].
2.  Determine a primeira iteração do sistema, pelo Método Iterativo de Jacobi, sendo a inicial x0 = [0, 0, 0]t:
B.  [7/3; 1; 1].
3.  Considerando o Método Iterativo de Jacobi, selecione a alternativa correta:
D.  A diagonal principal de uma matriz solução de um Sistema Linear deve ter números que sejam maiores que a soma dos outros elementos da mesma linha.
Este é o critério de convergência do Método de Jacobi: dado quando a diagonal principal de uma matriz solução de um Sistema Linear tem números que são maiores que a soma dos outros elementos da mesma linha. Os sistemas com poucas variáveis podem ser resolvidos por métodos diretos, sendo isto o mais indicado. É possível a resolução de problemas de engenharia a partir do Método de Jacobi, mas ele não pode ser considerado um método direto, pois exige várias iterações.
4.  Utilizando os critérios de convergência, modifique a Matriz  a seguir, para que o método iterativo de Jacobi possa ser usado na solução do sistema linear.
C.  Trocar a posição da 1ª coluna com a posição da 2ª coluna.
Deve-se trocar a posição da 1ª coluna com a posição da 2ª coluna, para que os elementos da diagonal principal sejam maiores do que a soma dos demais números da linha.
5.  Qual a alternativa CORRETA que define o critério de parada do Método Iterativo de Jacobi?
 E.  O erro calculado na iteração é menor do que o erro estipulado como aceitável.
O erro calculado na iteração é menor do que o erro estipulado como aceitável.
Sistemas Lineares: Método Iterativo de Gauss-Seidel 
1.  Em um sistema linear Ax = b, a matriz A é dada por:​​​​​​​
Qual é a melhor maneira de alterar essa matriz para que seja possível utilizar o método de Gauss-Seidel?
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