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Álgebra Abstrata
A Álgebra Abstrata é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das estruturas algébricas e das operações definidas sobre elas. Enquanto a álgebra clássica foca em resolver equações e manipular expressões algébricas, a álgebra abstrata explora as propriedades gerais das operações e das estruturas que as sustentam, sem se preocupar diretamente com a representação explícita dos elementos. As principais estruturas estudadas são os grupos, anéis, campos, e suas generalizações, como os corpos finitos.
A álgebra abstrata é um campo fundamental para muitas áreas da matemática moderna, incluindo a teoria dos números, geometria, teoria dos códigos e criptografia, física teórica e informática.
1. Grupos
Um grupo é uma das estruturas algébricas mais fundamentais e é composto por um conjunto de elementos junto com uma operação binária que associa dois elementos do grupo a um terceiro, de acordo com determinadas propriedades.
Definição Formal: Um grupo GGG é um conjunto não vazio junto com uma operação binária ∗:G×G→G*: G \times G \to G∗:G×G→G que satisfaz as seguintes propriedades:
· Fechamento: Para todo a,b∈Ga, b \in Ga,b∈G, a operação a∗ba * ba∗b também pertence a GGG.
· Associatividade: Para todo a,b,c∈Ga, b, c \in Ga,b,c∈G, temos que (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c)(a∗b)∗c=a∗(b∗c).
· Elemento neutro (ou identidade): Existe um elemento e∈Ge \in Ge∈G tal que para todo a∈Ga \in Ga∈G, temos e∗a=a∗e=ae * a = a * e = ae∗a=a∗e=a.
· Elemento inverso: Para todo a∈Ga \in Ga∈G, existe um elemento b∈Gb \in Gb∈G tal que a∗b=b∗a=ea * b = b * a = ea∗b=b∗a=e.
Exemplo de Grupo:
· O conjunto Z\mathbb{Z}Z (os números inteiros) com a adição é um grupo, pois a adição de inteiros é associativa, o elemento neutro é 000 e cada número inteiro tem um inverso aditivo.
2. Subgrupos e Homomorfismos
· Subgrupo: Um subgrupo de um grupo GGG é um subconjunto H⊆GH \subseteq GH⊆G que também é um grupo sob a operação de GGG. Para que HHH seja um subgrupo de GGG, ele deve satisfazer as mesmas propriedades do grupo GGG, isto é, ser fechado sob a operação de GGG, possuir um elemento neutro e conter os inversos de seus elementos.
· Homomorfismo de Grupos: Um homomorfismo entre dois grupos GGG e HHH é uma função φ:G→H\varphi: G \to Hφ:G→H que preserva a operação de grupo, ou seja, para todo a,b∈Ga, b \in Ga,b∈G, temos φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a * b) = \varphi(a) * \varphi(b)φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b), onde a operação de grupo em GGG e HHH é preservada pela função φ\varphiφ.
Exemplo de Homomorfismo:
· A função φ:Z→Zn\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_nφ:Z→Zn​, onde Zn\mathbb{Z}_nZn​ é o grupo dos inteiros módulo nnn, dada por φ(a)=amod  n\varphi(a) = a \mod nφ(a)=amodn, é um homomorfismo de grupos.
3. Anéis
Um anel é uma estrutura algébrica que generaliza os números inteiros e as operações de adição e multiplicação, mas sem exigir a existência de inversos multiplicativos.
Definição Formal: Um anel (A,+,⋅)(A, +, \cdot)(A,+,⋅) é um conjunto AAA com duas operações: adição +++ e multiplicação ⋅\cdot⋅ que satisfazem as seguintes propriedades:
· Fechamento sob adição e multiplicação: Para todo a,b∈Aa, b \in Aa,b∈A, temos que a+b∈Aa + b \in Aa+b∈A e a⋅b∈Aa \cdot b \in Aa⋅b∈A.
· Comutatividade da adição: Para todo a,b∈Aa, b \in Aa,b∈A, temos a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a.
· Associatividade da adição e multiplicação: Para todo a,b,c∈Aa, b, c \in Aa,b,c∈A, temos (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) e (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).
· Elemento neutro para a adição: Existe um elemento 0∈A0 \in A0∈A tal que para todo a∈Aa \in Aa∈A, temos a+0=aa + 0 = aa+0=a.
· Distribuição da multiplicação sobre a adição: Para todo a,b,c∈Aa, b, c \in Aa,b,c∈A, temos a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c e (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.
Se um anel também tiver um elemento neutro multiplicativo (denotado por 111), e cada elemento diferente de zero tiver um inverso multiplicativo, o anel é denominado anel unitário. Se a multiplicação for comutativa, o anel é um anel comutativo.
Exemplo de Anel:
· O conjunto Z\mathbb{Z}Z com a adição e multiplicação usuais é um anel comutativo unitário.
4. Corpos
Um corpo é um anel no qual cada elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Em outras palavras, em um corpo, é possível dividir qualquer elemento não nulo, o que torna as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão viáveis.
Definição Formal: Um corpo KKK é um conjunto com duas operações, adição +++ e multiplicação ⋅\cdot⋅, que satisfazem as seguintes propriedades:
· (K,+)(K, +)(K,+) é um grupo abeliano (isto é, a adição é comutativa e cada elemento tem um inverso).
· (K∖{0},⋅)(K \setminus \{0\}, \cdot)(K∖{0},⋅) é um grupo abeliano (a multiplicação é comutativa e cada elemento não nulo tem um inverso multiplicativo).
· A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Ka, b, c \in Ka,b,c∈K.
Exemplo de Corpo:
· O conjunto Q\mathbb{Q}Q (os números racionais) com a adição e multiplicação usuais é um corpo, pois todo número racional não nulo tem um inverso multiplicativo.
5. Corpos Finitos
Um corpo finito é um corpo que contém um número finito de elementos. Estes corpos são especialmente importantes na teoria dos códigos e na criptografia, pois permitem operações sobre dados binários e outros sistemas discretos.
Propriedades dos Corpos Finitos:
· O número de elementos de um corpo finito é sempre uma potência de um número primo. Ou seja, um corpo finito tem pnp^npn elementos, onde ppp é um número primo e nnn é um inteiro positivo.
· O corpo finito mais simples é o campo binário F2\mathbb{F}_2F2​, que tem apenas dois elementos, 000 e 111, com operações de adição e multiplicação módulo 2.
Exemplo de Corpo Finito:
· O conjunto Fp={0,1,2,…,p−1}\mathbb{F}_p = \{0, 1, 2, \dots, p-1\}Fp​={0,1,2,…,p−1}, onde as operações de adição e multiplicação são realizadas módulo ppp, é um corpo finito de ppp elementos.
6. Teoremas Importantes em Álgebra Abstrata
· Teorema de Lagrange (para Grupos Finitos): O número de elementos de um subgrupo de um grupo finito é divisor do número de elementos do grupo.
· Teorema Fundamental da Teoria dos Corpos Finitos: Existe exatamente um corpo finito de ordem pnp^npn para cada número primo ppp e cada n≥1n \geq 1n≥1, e esse corpo é único até isomorfismo.
· Teorema de Isomorfismo de Grupos: Se dois grupos são isomorfos, então existe uma correspondência biunívoca entre os elementos dos dois grupos que preserva a operação de grupo.
7. Conclusão
A Álgebra Abstrata fornece um quadro teórico poderoso para estudar e entender as operações e as estruturas subjacentes aos objetos matemáticos. Grupos, anéis e corpos são as bases sobre as quais muitos resultados matemáticos e físicos são construídos. Desde a teoria das representações de grupos até a criptografia moderna, a álgebra abstrata desempenha um papel central em várias áreas da matemática e da ciência aplicada.
Exercícios sobre Álgebra Abstrata
1. Verifique se o conjunto Z6\mathbb{Z}_6Z6​ com a adição e multiplicação módulo 6 forma um anel.
2. Prove que o conjunto Q\mathbb{Q}Q com a adição e multiplicação usuais é um corpo.
3. Demonstre que o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a nnn, com a adição e multiplicação usuais, forma um anel.
4. Determine se o conjunto Z\mathbb{Z}Z com a adição e multiplicação forma um corpo.
5. Encontre os elementos do corpo finito F3\mathbb{F}_3F3​ e suas operações.