testes com k LL

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### 42. Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n+1)}\)? 
A) 1 
B) 2 
C) \(\frac{1}{3}\) 
D) 0 
**Resposta: C) \(\frac{1}{3}\)** 
**Explicação:** Usando frações parciais, temos: 
\[ 
\frac{1}{n^2(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n^2} 
\] 
A série converge para \(\frac{1}{3}\). 
 
### 43. Qual é a integral de \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\)? 
A) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
B) \(\frac{1}{3} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
C) \(\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
D) \(\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\)** 
**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, encontramos a solução. 
 
### 44. Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = -2y\)? 
A) \(y = Ce^{-2x}\) 
B) \(y = Ce^{2x}\) 
C) \(y = 2x + C\) 
D) \(y = -2x + C\) 
**Resposta: A) \(y = Ce^{-2x}\)** 
**Explicação:** Separando as variáveis e integrando: 
\[ 
\int \frac{1}{y} dy = -2 \int dx \implies \ln|y| = -2x + C \implies y = Ce^{-2x} 
\] 
 
### 45. Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x + C 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
\left[ \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 \right] = \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = 1 
\] 
 
### 46. Qual é o valor de \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n^2 + 1)}\)? 
A) \(\frac{\pi^2}{12}\) 
B) 1 
C) 0 
D) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
**Resposta: A) \(\frac{\pi^2}{12}\)** 
**Explicação:** Usando frações parciais e a série de Basel, obtemos o resultado. 
 
### 47. Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)? 
A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
C) \(\frac{1}{3x^2}\) 
D) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
**Resposta: A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{x^3 + 1} 
\] 
 
### 48. Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^3 - 5x^2 + 2) \, dx\)? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 0 
**Resposta: A) 1** 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (3x^3 - 5x^2 + 2) \, dx = \frac{3x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 2x + C 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
\left[ \frac{3}{4} - \frac{5}{3} + 2 \right] = \frac{3}{4} - \frac{20}{12} + \frac{24}{12} = 1 
\] 
 
### 49. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 - 4}\)? 
A) 0 
B) \(\frac{3}{5}\) 
C) 1 
D) \(\infty\) 
**Resposta: B) \(\frac{3}{5}\)** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos: 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{5} 
\] 
 
### 50. Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^2\) no ponto \(x = 2\)?