Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 44

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2 : 1 = 2, resto zero  mdc(n – 1, n2 + n + 1) = 1. 
Portanto, mdc(n – 1, n2 + n + 1) = 1 ou 3. 
Resposta: 1 ou 3. 
 
10 – Sendo a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a  0 ou b  0), mostrar: 
mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). 
Solução:- Se c | a então a = qc. Temos que - a = (-q)c  c | (-a)  todo divisor 
de a é divisor de (-a)  maior divisor de a é também o maior divisor de –a . O 
mesmo ocorre com b e –b. Portanto, podemos concluir que o maior divisor comum 
de (a e b), é também de (–a e b), de (a e –b) e o de (-a, -b). 
Assim, mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). Cqd. 
CAPÍTULO 5 - Questões 11 a 17 
11 – Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
(a) existem inteiros x e y tais que c = ax + by se e somente se o mdc(a, b) | c. 
Solução: suponhamos que ax + by = c tenha uma solução axo + byo = c. 
Se d = mdc(a, b) existem os inteiros r e s tais que a = dr e b = ds, e temos: 
c = axo + byo = drxo + dsyo = d(rxo + syo). Como rxo + syo é um inteiro, d | c ou 
mdc(a, b) | c. 
Por outro lado, se d = mdc(a, b) | c, c = dk, com k inteiro. 
Por ser d = mdc(a, b), existem os inteiros xo e yo tais que d = axo + byo  
 c = dk = a(xok) + b(yok) = ax + by. Cqd. 
(b) se existem inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b) então mdc(x, y) = 1. 
Solução:- Seja d = mdc(a, b). Temos então ax + by = d  (a/d)x + (b/d)y = (d/d) 
 (a/d)x + (b/d)y = 1. (a/d) e (b/d) são inteiros pois d é divisor comum de a e de. 
Portanto existem os inteiros (a/d) e (b/d), tais que (a/d)x + (b/d)y = 1  1 é 
múltiplo do mdc(x, y). Como 1 só é múltiplo de 1, conclui-se que mdc(x, y) = 1. 
Cqd 
 
12 – Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
(a) se o mdc(a, b) = 1 então o mdc(ac, b) = mdc(b, c) 
Solução: 
Mdc(a,b) = 1  1 é o único divisor comum de “a” e “b”  x, se x | b então x 
 a . 
Seja d = mdc(ac, b). Portanto, d | ac e d | b. 
Se x é um divisor de d, temos d = kx (k inteiro) e, como d | ac, temos ac = dq (q 
inteiro)  ac = kxq = x(kq). Como kq é inteiro, x | ac. 
Portanto, todo divisor de d é divisor de ac. 
Seja então d = x1.x2.x3....xn onde x1, x2, x3, ... xn são os fatores primos de d. 
De ac = dq, obtemos ac = x1.x2.x3....xn . q. Como q é inteiro, ac/x1.x2.x3....xn = 
q  ac/x1.x2.x3....xn é inteiro. 
Um vez que nenhum dos xi (divisores de d) divide a, todos os xi dividem c  d /c. 
Assim d | c e d | b  mdc(b, c) = kd, k > 1 (1) (o mdc de 2 números é positivo).