bvp octano

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C) \( \frac{2}{x} + C \) 
 D) \( \sin^2(x) + C \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Integrando resultamos \( \frac{x}{2} 
+ \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 
35. O que representa o gráfico da função \( g(x) = e^{x - 1} \)? 
 A) Crescimento exponencial 
 B) Decrescimento exponencial 
 C) Funcionalidade quadrática 
 D) Retas constantes 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** A função \( e^{x-1} \) cresce exponencialmente devido a sua base \( e \). 
 
36. Determine o valor de \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{3}{2} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) 
 **Resposta correta: C** 
 **Explicação:** \( \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} \Big|_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). 
 
37. Calcule o valor de \( \int_0^2 (3x + 4) \, dx \). 
 A) \( 14 \) 
 B) \( 12 \) 
 C) \( 16 \) 
 D) \( 18 \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** \( \int (3x + 4) \, dx = \frac{3x^2}{2} + 4x \Big|_0^2 = 12 + 8 = 20 \). 
 
38. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 1}{2x^2 + 3} \). 
 A) \( \frac{5}{2} \) 
 B) \( 2 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** Divida pelo maior grau \( x^2 \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + 
\frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
39. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} \) converge ou diverge. 
 A) Converge 
 B) Diverge 
 C) Inconclusivo 
 D) Quadrático 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** A série \( \sum \frac{1}{n^p} \) convergente para \( p = 5 > 1 \). 
 
40. A função \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) tem como raízes. 
 A) \( 1 \) e \( -2 \) 
 B) \( 2 \) e \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) Não possui raízes 
 **Resposta correta: B** 
 **Explicação:** As raízes são calculadas resolvendo \( f(x) = 0 \), que resulta em \( (x-
2)(x-1) = 0 \). 
 
41. Determine a equação da tangente da função \( f(x) = x^2 + 1 \) em \( (0,1) \). 
 A) \( y = x + 1 \) 
 B) \( y = 2x + 1 \) 
 C) \( y = -2x + 1 \) 
 D) \( y = x \) 
 **Resposta correta: B** 
 **Explicação:** A derivada \( f'(x) = 2x \). Avaliando em \( x=0 \) resulta em \( f'(0) = 0 \), 
então \( y - 1 = 2x \). 
 
42. Calcule a integral indefinida \( \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 A) \( x^4 - x^3 + 2x + C \) 
 B) \( 2x^4 - 3x^2 + C \) 
 C) \( x^4 - \frac{3}{3} + 2x + C \) 
 D) \( (4/4) + x^2 + C \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( x^4 - x^3 + 2x + C \). 
 
43. Calcule o volume da região delimitada pela função \( z = 4 - x^2 - y^2 \). 
 A) \( \frac{64\pi}{3} \) 
 B) \( 32\pi \) 
 C) \( 16\pi \) 
 D) \( 8\pi \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** O volume é representado por \( V = \int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - 
y^2) dy \, dx = \frac{64\pi}{3} \). 
 
44. Encontre os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^3 - 3x \). 
 A) \( x = 0 \) 
 B) \( x = 1 \) 
 C) \( x = -1 \) 
 D) \( x = ± 3 \) 
 **Resposta correta: A** 
 **Explicação:** A mudança de concavidade ocorre onde \( f''(x) = 0 \). A segunda 
derivada \( f''(x) = 6x \) muda de sinal em \( x=0 \). 
 
45. O que é \( f'(0) \) para \( f(x) = e^{2x} \)? 
 A) \( 2 \) 
 B) \( 1 \)