3p8ke analise analitica3p8ke

Prévia do material em texto

B) \(\frac{8\pi}{3}\) 
C) \(\frac{4\pi}{3}\) 
D) \(8\pi\) 
**Resposta correta: A) \(\frac{16\pi}{3}\)** 
Explicação: Usando a fórmula para volume da esfera \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). 
 
32. Determine os pontos críticos da função \(f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 5\). 
A) \(x = 3, 2\) 
B) \(x = 5, 1\) 
C) \(x = 4, 2\) 
D) \(x = 3, 1\) 
**Resposta correta: A) \(x = 0, 3, 2\)** 
Explicação: A primeira derivada \(f'(x) = 6x^2 - 30x + 24\) e igualando a zero obtemos os 
pontos críticos. 
 
33. A função \(g(x) = \sin(x) + \ln(x)\) apresenta um máximo local em \(x = 1\). Calcule 
\(g(1)\). 
A) \(1\) 
B) \(0\) 
C) \(-1\) 
D) \(2\) 
**Resposta correta: A) \(1\)** 
Explicação: Calculando, obtemos \(g(1) = \sin(1) + \ln(1) = 1\). 
 
34. Qual é a equação do plano que passa pelos pontos \((1, 2, 3)\), \((4, 5, 6)\) e \((7, 8, 
9)\)? 
A) \(x + y + z = 6\) 
B) \(0 = 0\) 
C) \(x + 2y + z = 6\) 
D) \(x + y + z = 0\) 
**Resposta correta: B) \(0 = 0\)** 
Explicação: Os pontos estão colineares, logo qualquer combinação linear resulta na 
equação nula. 
 
35. Calcule o erro absoluto na aproximação de \(\cos(x)\) usando o polinômio de Taylor 
até a terceira ordem em \(x = 0\). 
A) \(-x^3/6\) 
B) \(0\) 
C) \(x^3/6\) 
D) \(x^2\) 
**Resposta correta: A) \(-x^3/6\)** 
Explicação: O polinômio é \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\) e a diferença tem um termo 
de erro de \(-\frac{x^3}{6}\). 
 
36. Encontre a média aritmética das raízes da equação \(x^2 + 8x + 15 = 0\). 
A) \(5\) 
B) \(-4\) 
C) \(-8\) 
D) \(0\) 
**Resposta correta: B) \(-4\)** 
Explicação: Usando Vieta, a média é \(-\frac{b}{2} = -4\). 
 
37. Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
A) Diverge 
B) Converge 
C) Não é definida 
D) Dependente de \(x\) 
**Resposta correta: B) Converge** 
Explicação: A série converge, conhecida como série de Basel. 
 
38. Dado um vetor \(u = (1, 2)\) e \(v = (2, 3)\), calcule o produto escalar \(u \cdot v\). 
A) \(7\) 
B) \(8\) 
C) \(9\) 
D) \(6\) 
**Resposta correta: A) \(8\)** 
Explicação: O produto escalar é dado por \(1 * 2 + 2 * 3 = 2 + 6 = 8\). 
 
39. Qual o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)? 
A) \(2\) 
B) \(1\) 
C) \(0\) 
D) Não existe 
**Resposta correta: A) \(2\)** 
Explicação: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(2\). 
 
40. Resolva a equação \(e^{x} + e^{-x} = 5\). 
A) \(\ln(5)/2\) 
B) \(\cosh(x) = 5/2\) 
C) \(-\ln(5)/2\) 
D) Nenhuma solução 
**Resposta correta: B) \(\cosh(x) = 5/2\)** 
Explicação: A equação pode ser transformada pela definição de coseno hiperbólico, 
resultando na solução desejada. 
 
41. Calcule o ângulo entre os vetores \(a = (1, 2)\) e \(b = (2, 3)\). 
A) \(45^\circ\) 
B) \(60^\circ\) 
C) \(30^\circ\) 
D) \(73.74^\circ\) 
**Resposta correta: D) \(73.74^\circ\)** 
Explicação: Usando a fórmula do ângulo entre os vetores, obtemos \(cos^{-1}\). 
 
42. Verifique a continuidade da função \(f(x) = \frac{1}{x}\) em \(x = 0\).