rotulos aqvworyv

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- B) \( 1 \) 
 - C) \( -1 \) 
 - D) \( \infty \) 
 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1 
\). 
 
57. **Problema 57:** Calcule a integral \( \int (9x^2 - 5) \, dx \). 
 - A) \( 3x^3 - 5x + C \) 
 - B) \( 3x^3 - 5 + C \) 
 - C) \( 3x^3 - 5x + 1 + C \) 
 - D) \( 3x^3 - 5x + 2 + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( 3x^3 - 5x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 9x^2 \, dx = 3x^3 \) e \( \int -5 \, dx = -5x \). Assim, 
\( \int (9x^2 - 5) \, dx = 3x^3 - 5x + C \). 
 
58. **Problema 58:** Determine a derivada de \( f(x) = \tan(3x) \). 
 - A) \( 3\sec^2(3x) \) 
 - B) \( 3\sin(3x) \) 
 - C) \( \sec^2(3x) \) 
 - D) \( 3\cos(3x) \) 
 
 **Resposta:** A) \( 3\sec^2(3x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3\sec^2(3x) \). 
 
59. **Problema 59:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( 2 \) 
 - D) \( -2 \) 
 
 **Resposta:** C) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 2 \). 
 
60. **Problema 60:** Calcule a integral \( \int (12x^2 - 4) \, dx \). 
 - A) \( 4x^3 - 4x + C \) 
 - B) \( 4x^3 - 2x + C \) 
 - C) \( 4x^3 - 4 + C \) 
 - D) \( 4x^3 - 4x + 1 + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( 4x^3 - 2x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 12x^2 \, dx = 4x^3 \) e \( \int -4 \, dx = -4x \). 
Assim, \( \int (12x^2 - 4) \, dx = 4x^3 - 4x + C \). 
 
61. **Problema 61:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^4 + 1} \). 
 - A) \( \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \) 
 - B) \( \frac{4x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \) 
 - C) \( \frac{1}{2\sqrt{x^4 + 1}} \) 
 - D) \( \frac{4}{\sqrt{x^4 + 1}} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4 + 1}} \cdot 
4x^3 = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \). 
 
62. **Problema 62:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( 3 \) 
 - D) \( -3 \) 
 
 **Resposta:** C) \( 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \), onde \( k = 3 \). 
 
63. **Problema 63:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 - A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 - B) \( x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 - C) \( x^5 - x^3 + 2 + C \) 
 - D) \( \frac{5}{5}x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 5x^4 \, dx = x^5 \), \( \int -3x^2 \, dx = -x^3 \), e \( 
\int 2 \, dx = 2x \). Assim, \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = x^5 - x^3 + 2x + C \). 
 
64. **Problema 64:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^4 + 2) \). 
 - A) \( \frac{4x^3}{x^4 + 2} \) 
 - B) \( \frac{1}{x^4 + 2} \) 
 - C) \( \frac{4}{x^4 + 2} \) 
 - D) \( \frac{2}{x^4 + 2} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{4x^3}{x^4 + 2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^4 + 2} \cdot 4x^3 = 
\frac{4x^3}{x^4 + 2} \). 
 
65. **Problema 65:** Calcule a integral \( \int e^{5x} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{5} e^{5x} + C \) 
 - B) \( 5e^{5x} + C \) 
 - C) \( e^{5x} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{e^{5x}} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{5} e^{5x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \), então \( \int e^{5x} \, 
dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C \).