9za aprenda na dificuldade 9za

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42. **Problema 42:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{3x}\). 
 a) \(3e^{3x}\) 
 b) \(e^{3x}\) 
 c) \(3xe^{3x}\) 
 d) \(e^{3x} + 3\) 
 **Resposta:** a) \(3e^{3x}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{kx}\) é \(ke^{kx}\). 
 
43. **Problema 43:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 
\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Não existe 
 d) 2 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O limite é 0, pois \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) é limitado entre -1 e 1. 
 
44. **Problema 44:** Determine a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-1} \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\tan^{-1}(x)\) avaliada de 0 a 1, resultando em 
\(\frac{\pi}{4}\). 
 
45. **Problema 45:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^2 \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{4}{15}\) 
 c) \(\frac{2}{15}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{4}{15}\) 
 **Explicação:** Expandindo e integrando, obtemos \(\frac{4}{15}\). 
 
46. **Problema 46:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 2x)\). 
 a) \(\frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}\) 
 b) \(\frac{3x^2}{x^3 + 2x}\) 
 c) \(\frac{2x + 3}{x^3 + 2}\) 
 d) \(\frac{3}{x^2 + 2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot (3x^2 + 
2)\). 
 
47. **Problema 47:** Calcule a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{4}(e^2 - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{2}(e^2 - e)\) 
 d) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(\frac{1}{2}\int e^u \, du = 
\frac{1}{2}(e - 1)\). 
 
48. **Problema 48:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x + 3}{2x + 1}\). 
 a) \(\frac{5}{2}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x\), temos \(\frac{5 + \frac{3}{x}}{2 + 
\frac{1}{x}} \to \frac{5}{2}\). 
 
49. **Problema 49:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{8}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{4}{15}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^3\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{1/3} \, du\). 
 
50. **Problema 50:** Determine a derivada de \(f(x) = \sin^2(x)\). 
 a) \(2\sin(x)\cos(x)\) 
 b) \(\cos^2(x)\) 
 c) \(2\sin^2(x)\) 
 d) \(\sin(x)\) 
 **Resposta:** a) \(2\sin(x)\cos(x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\). 
 
51. **Problema 51:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{3/2} \, du\). 
 
52. **Problema 52:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 + 1}\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{2}{4}\) 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + 
\frac{3}{x^2}}{4 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).