134 hora da matematica 134

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**Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
21. **Problema 21**: Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: d) 3 
 **Explicação**: Usando a fatoração, temos \( \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \) e ao 
cancelar \( x - 1 \), o limite se torna \( 3 \). 
 
22. **Problema 22**: Calcule \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 c) \( \frac{1}{2}e^2 \) 
 d) \( \frac{1}{2}(e^2 - e) \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( \frac{1}{2} \int e^u \, du \) 
que, ao avaliar de 0 a 1, resulta em \( \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
23. **Problema 23**: Qual é a integral \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: A integral é \( \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
24. **Problema 24**: Calcule a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \). 
 a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{2x} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Explicação**: A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é dada pela fórmula \( \frac{1}{1 + x^2} \). 
 
25. **Problema 25**: Determine \( \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \sqrt{\pi} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 d) Não converge 
 **Resposta**: b) \( \sqrt{\pi} \) 
 **Explicação**: A integral de Gauss é \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \), 
então a integral de 0 a \( \infty \) é \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
26. **Problema 26**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: d) 3 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
27. **Problema 27**: Qual é a integral \( \int \sec^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \cot(x) + C \) 
 d) \( -\tan(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \sec^2(x) \) é \( \tan(x) + C \). 
 
28. **Problema 28**: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{2x} \). 
 a) \( 2e^{2x} \) 
 b) \( e^{2x} \) 
 c) \( 4e^{2x} \) 
 d) \( \frac{e^{2x}}{2} \) 
 **Resposta**: a) \( 2e^{2x} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 2e^{2x} \). 
 
29. **Problema 29**: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x}{3x^3 + 4} \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador por \( x^3 \), temos \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{5 + \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3} \). 
 
30. **Problema 30**: Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{8} \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \). 
 
31. **Problema 31**: Determine a série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \) até o 
termo de \( x^4 \). 
 a) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) 
 b) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} \) 
 c) \( 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \) 
 d) \( 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{24} \) 
 **Resposta**: a) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \)