12i hora da matematica 12i

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**Explicação**: A série de Taylor é dada por \( \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n}}{(2n)!} \), e os primeiros termos são \( 1, -\frac{x^2}{2}, \frac{x^4}{24} \). 
 
32. **Problema 32**: Calcule \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \), resultando 
em \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
33. **Problema 33**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 
e^0 = 1 \). 
 
34. **Problema 34**: Calcule a integral \( \int x^2 \sin(x) \, dx \). 
 a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \) 
 b) \( x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \) 
 c) \( x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) 
 d) \( -x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \) 
 **Explicação**: Usando a integração por partes duas vezes, obtemos o resultado. 
 
35. **Problema 35**: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)? 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{3x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
36. **Problema 36**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \). 
 
37. **Problema 37**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 3 
 **Resposta**: c) 4 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
38. **Problema 38**: Calcule a integral \( \int_0^1 (2x^3 - 4x^2 + 3) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: A integral é \( \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = \left( 
\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 3 \right) = 1 \). 
 
39. **Problema 39**: Determine a série de Taylor de \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) até o 
termo de \( x^5 \). 
 a) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) 
 b) \( x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) 
 c) \( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{120} \) 
 d) \( x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \) 
 **Resposta**: a) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) 
 **Explicação**: A série de Taylor é dada por \( \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{(2n+1)!} \). 
 
40. **Problema 40**: Calcule a integral \( \int \cos(3x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) 
 b) \( \sin(3x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} \cos(3x) + C \) 
 d) \( -\sin(3x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C 
\). 
 
41. **Problema 41**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x} = 2 \). 
 
42. **Problema 42**: Calcule a integral \( \int (2x + 3)^5 \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{6}(2x + 3)^6 + C \) 
 b) \( \frac{1}{5}(2x + 3)^5 + C \) 
 c) \( \frac{1}{5}(2x + 3)^6 + C \) 
 d) \( \frac{1}{6}(2x + 3)^5 + C \)