UBO somando a vida

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22. **Problema 22:** 
 Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 A) 1 
 B) 0 
 C) Não existe 
 D) 2 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental que pode ser demonstrado usando a 
série de Taylor ou a regra de L'Hôpital. 
 
23. **Problema 23:** 
 Encontre a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 B) \( \cos(x^2) \) 
 C) \( 2\sin(x^2) \) 
 D) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x 
\cos(x^2) \). 
 
24. **Problema 24:** 
 Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} \). 
 A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 B) \( \frac{1}{x} + C \) 
 C) \( \ln(x) + C \) 
 D) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral é conhecida e resulta em \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
25. **Problema 25:** 
 Determine o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx \). 
 A) \( \frac{3}{8} \) 
 B) \( \frac{1}{4} \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{3}{16} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \) e a 
substituição, obtemos a integral \( \frac{3}{8} \). 
 
26. **Problema 26:** 
 Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 - 4} \). 
 A) \( \frac{3}{5} \) 
 B) 1 
 C) 0 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{5} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{5} \). 
 
27. **Problema 27:** 
 Encontre a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 B) \( e^{x^3} + C \) 
 C) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \) 
 D) \( \frac{1}{4} e^{x^3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^3 \), então \( du = 3x^2 \, dx \), levando a 
\( \int e^{u} \frac{du}{3} = \frac{1}{3} e^{u} + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C \). 
 
28. **Problema 28:** 
 Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 B) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 C) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 D) \( x \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
29. **Problema 29:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{5} \) 
 B) \( \frac{1}{4} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 
\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{5} \). 
 
30. **Problema 30:** 
 Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 A) 1 
 B) 0 
 C) Não existe 
 D) 2 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental que pode ser demonstrado usando a 
série de Taylor ou a regra de L'Hôpital. 
 
31. **Problema 31:** 
 Encontre a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) entre os limites \( -\infty \) e \( \infty \). 
 A) \( \sqrt{\pi} \) 
 B) 0 
 C) 1 
 D) \( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \)