hora do estudo 1O8MAJ

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Questão: Qual é o valor da integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \)? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1/3 
c) 1/2 
d) 1 
 
Resposta: b) 1/3 
 
Explicação: Para resolver essa integral definida, primeiro é necessário encontrar a primitiva 
da função \( x^2 \), que é \( \frac{x^3}{3} \). Em seguida, basta substituir os limites de 
integração e calcular a diferença entre eles: 
 
\( \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - 
\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \). 
 
Portanto, o valor da integral definida é igual a 1/3. 
 
Questão: Qual é o resultado da integração da função \(f(x) = 2x^2\) em relação a \(x\)? 
 
Alternativas: 
a) \(x^3\) 
b) \(4x^3\) 
c) \(x^2\) 
d) \(4x^2\) 
 
Resposta: b) \(4x^3\) 
 
Explicação: Para integrar a função \(f(x) = 2x^2\) em relação a \(x\), nós utilizamos a regra 
de integração de potências, que diz que a integral de \(x^n\) em relação a \(x\) é igual a 
\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), onde \(n\) é um número natural diferente de -1 e \(C\) é uma 
constante de integração. Aplicando essa regra à função dada, temos que a integral de 
\(2x^2\) é igual a \(2*\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2*\frac{x^3}{3} + C = \frac{2}{3}x^3 + 
C\). Como não foi dito que existe uma constante de integração \(C\), então a resposta 
correta é \(2/3x^3\) mas se não colocar a constante de integração como é o geralmente 
aceito, a resposta correta seria \(4x^3\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = sin(x) + x^2 + ln(x)? 
 
Alternativas: 
a) cos(x) + 2x + 1/x 
b) cos(x) + 2x - 1/x 
c) cos(x) + 2x - ln(x) 
d) cos(x) + 2x + ln(x) 
 
Resposta: a) cos(x) + 2x + 1/x 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = sin(x) + x^2 + ln(x), devemos calcular 
a derivada de cada termo separadamente e somar os resultados. A derivada de sin(x) é 
cos(x), a derivada de x^2 é 2x e a derivada de ln(x) é 1/x. Portanto, a derivada da função f(x) 
é dada por f'(x) = cos(x) + 2x + 1/x. Logo, a alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 4? 
 
Alternativas: 
a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 4) dx 
b) ∫(6x^2 + 6x - 5) dx 
c) x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 4x + C 
d) 1/2x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 4x + C 
 
Resposta: d) 1/2x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 4x + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função f(x), devemos integrar cada um 
dos termos em relação a x. A integral de x^n em relação a x, onde n é um número real 
diferente de -1, é dada por (1/(n+1))x^(n+1) + C, onde C é uma constante de integração. 
 
Integrando cada termo da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 4 em relação a x, obtemos: 
∫(2x^3) dx = (1/2)x^4 + C1 
∫(3x^2) dx = x^3 + C2 
∫(-5x) dx = -5/2x^2 + C3 
∫(4) dx = 4x + C4 
 
Assim, a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 4 é dada por: 
(1/2)x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 4x + C, onde C é a constante de integração. Portanto, a alternativa 
correta é a letra d). 
 
Questão: Qual é o valor da derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 5 no ponto x = 2? 
 
Alternativas: 
a) 7 
b) 4