Exercícios_de_complexos_ revisão

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Exercícios Resolvidos
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que: 
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? 
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? 
Então, |z1|= (x2 + 20)1/2 = |z2| = [(x-2)2 + 36]1/2
Em decorrência, 
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos: 
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
|z|= (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: 
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2( cos 315º + i sen 315º )
Exercícios por assunto
A) ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E IGUALDADE
1. O produto ( 5 + 7 i ) . ( 3 - 2 i ) vale:
1. 1 + 11i
1. 1 + 31i
1. 29 + 11i X
1. 29 - 11i
1. 29 + 31i
2. O número complexo z = x + ( x2 - 4 ) i é real se, e somente se:
1. x 0
1. x = 2 X
1. x 2
1. x 0 e x 2
1. x = 0
3. Qual é o valor de m, real, para que o produto ( 2 + m i ) . ( 3 + i ) seja um imaginário puro ?
1. 5
1. 6X
1. 7
1. 8
1. 10
4. O produto ( x + y i ) . ( 2 + 3 i ) é um número real, quando x e y são reais e:
1. x - 3y = 0
1. 2y - 3x = 0
1. 2x + 2y = 0
1. 2x + 3y = 0
1. 3x + 2y = 0 X
5. Sejam os números complexos z1= 2x + 3 i e z2= 2 + y i, onde x e y são números reais. Se z1=z2, então o produto x . y é:
1. 6
1. 4
1. 3X
1. -3 
1. -6
6. O produto ( 1 - i ) . ( x + 2 i ) será um número real quando x for:
1. -2
1. -1
1. 0
1. 1
1. 2X
7. Se z = 2 + 2 i é um número complexo, então w = z + z i é:
1. 4 i X
1. 4 - 4 i
1. 4
1. - 4 + 4 i
1. 4 + 4 i
8. Para que o número z = ( x - 2 i ) . ( 2 + x i ) seja real, devemos ter: ( x IR )
1. x = 0
1. x = 1/2
1. x = 2 X
1. x = 4
1. nda
9. Se f(z) = z2 - z + 1 então f ( 1 - i ) é igual a:
1. i
1. - i + 1
1. i - 1
1. i + 1
1. -i X
10. Se o número complexo z é então z2 é:
1. 
1. X
1. 
1. 1
1. -1
11. Os números reais x e y que satisfazem a equação 2x + ( y -3) i = 3y - 4 x i são tais que:
1. x + y = 7
1. x - y = 3/14 X
1. x.y = 10
1. 
1. yx = 32
12. Determinando-se os valores reais de m e n de modo que se tenha 2 ( m - n ) + i ( m + n ) - i = 0 pode-se afirmar que a soma de m e n é igual a:
1. -1 
1. 0 X
1. 1
1. 2
1. 3
13. Sejam os números complexos z1 e z2 , onde z2 = 3 i e z1 . z2 = -9 + 6 i . Então z1 + z2 vale:
1. 2 + 6 i 
1. 2 - 6 i X
1. -3 + 3 i
1. -3 - 3 i
1. 9 i
14. Sejam os números complexos w = ( x - 1 ) + 2 i e v = 2x + ( y -3 ) i, onde x, y IR. Se w = v, então:
1. x + y = 4 
1. x . y = 5 X
1. x - y = -4
1. x = 2y
1. y = 2x
15. O número complexo z que satisfaz a igualdade ( 2 + i ) z + 7 + 5 i = 8 - 3 i é:
1. 
1. X
1. 
1. 
1. 
16. Se o número complexo 2 + i é uma das raízes da equação x2 + kx + t = 0, sendo k e t números reais, então o valor de k + t é:
1. -2
1. -1
1. 0
1. 2
1. 1X
B) CONJUGADO, DIVISÃO E POTÊNCIAS
1. A forma mais simples do número complexo é:
1. -i X
1. -1 - i
1. 1 + i
1. -1 + i
1. 0
2. O valor de i1996 é de:
1. 1X
1. -1
1. i
1. -i
1. 499
3. Dado o número complexo z = 3 - 4i, então (z)-1 vale:
1. 3 + 4i
1. -3 - 4i
1. 
1. X
1. 
4. Se o número complexo z é tal que z = i45 + i28 então z é igual a:
1. 1 - i
1. 1 + i X
1. -1 + i
1. -1 - i
1. i
5. O conjugado de vale:
1. 1 - 2i
1. 1 + 2i
1. 1 + 3i
1. -1 + 2i X
1. 2 - i
6. Se z = 4 + 2i, então vale:
1. 6 + i
1. 1 + 8i
1. -8 + 8i X
1. 1 - 8i
1. 12 + 6i
7. Se o número complexo z é tal que z = 3 - 2i, então ( )2 é igual a:
1. 5
1. 5 - 6i
1. 5 + 12i X
1. 9 + 4i
1. 13 + 12i
8. Considere os números complexos z = 2 - i e . Então, se indica o complexo conjugado de w :
1. z = - w
1. z = 
1. z = - 
1. z = 1/w
1. z = w X
9. O conjugado do número complexo , é:
1. 1 - i X
1. -1 - i
1. -1 + i
1. -i
1. i
10. Seja , onde i2 = -1 , então z é igual a:
1. 6i/5 X
1. i/20
1. 2i/15
1. 0
1. 5i
11. Se , então z + + z .vale:
1. 0X
1. 1
1. -1
1. -1/2
1. 1/2
12. Sabendo que i = e que n = i + i2 + i3 + ... + i78, então :
1. n = 0
1. 
1. 
1. n = i - 1 X
1. n = 1 - i
13. Indica-se por Re(z) e Im (z) as partes real e imaginaria de um número complexo z, respectivamente. Se então :
1. Re(z) = - 3/2
1. Im(z) = - 3/2
1. Re(z) = - 1/2
1. Im(z) = 1/2
1. Re(z) = 3/2 X
14. O número complexo z, que verifica a equação iz + 2 + 1 - i = 0 , é:
1. -1 - i X
1. -1 + 2i
1. -1 + i
1. 1 - i
1. -1 - 2i
15. Se = 1+i, então o número complexo z é:
1. 1 - 2i
1. -1 + i
1. 1 - i
1. 1 + i X
1. -1 + 2i
16. Seja o número complexo . Então, z1980 vale:
1. 1X
1. -1
1. i
1. -i
1. -2i
 
17. Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + ( 4 + y ) . i = y + xi. O conjugado do número complexo z = x + yi é:
1. 4 + 8i
1. 4 - 8i
1. 8 + 4i
1. 8 - 4i X
1. -8 - 4i
18. Se i é a unidade imaginaria, então: é igual a:
1. 1 + i
1. 0X
1. 1 - i
1. i
1. 1
C) MÓDULO
1. Sendo z1 = 7 - 2i e z2 = -3 + 5i, então | z1 + z2 | vale:
1. 2
1. 3
1. 4
1. 5X
1. 6
2. O módulo do número z = 5 - 2i é:
1. 20
1. X
1. 81
1. 27
1. 29 
3. O módulo do número complexo z, tal que . z = 7 é igual a:
1. 49
1. 7
1. 2
1. X
1. 14
4. O módulo de vale:
1. 0
1. 1X
1. 
1. 1/2
1. 1/4
5. Dados os números complexos z = 1 + 2i e w = 4 - 3i, o valor da expressão z2 + |w| é igual a:
1. 1 + 7i
1. 6 - 4i
1. 10 + 4i
1. 2 + 4i X
1. 2 - 4i
6. Sejam Z, W, U e V números complexos, tais que Z = 1 + i, W = 4 + i, U = 7 + i e V = - i, o valor da expressão é:
1. 
1. 2
1. 1/2 X
1. 3
1. 2
7. O módulo do número complexo z = ( 1 - 3 i ) . ( - 1 ) é:
1. 2
1. 2
1. 4
1. 5X
1. 15/2
8. O módulo do complexo Z, tal que Z2 = i é:
1. 0
1. /2
1. 1X
1. 
1. 2
9. Sendo z1 = i3 e z2 = 1/i3 , então | z1 + z2 | vale:
1. 1
1. 
1. 0X
1. 2
1. 2
10. O módulo do número complexo cos a - i sen a é:
1. -1
1. -i
1. i
1. i4X
1. 0
11. O módulo do número complexo é:
1. 1/16
1. 1/8
1. 1/4
1. 1/2 X
1. 2
12. O módulo de , para a e b reais é:
1. a2 + b2
1. 2
1. 1X
1. a2 - b2
1. 0
13. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que | z1 .z2 |2 = 10, então x é igual a:
1. 5
1. 4
1. 3
1. 2
1. 1X
14. Seja o número complexo z = 1 + 2xi, onde x IR+ . Se o número complexo de z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:
1. (-, 1 )
1. [ 1, 3 ]
1. ( 3, 5 ) X
1. ( 8, ) 
1. [ 5, 8 ]
15. Se z + 1/z = -1, então o módulo de z é:
1. 1/2
1. 0
1. 1X
1. 2
1. 4
D) FORMA POLAR OU TRIGONOMÉTRICA 
1. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss
Nessas condições, o módulo de z é igual a:
1. 
1. 2
1. 3
1. 10
1. 5X
 2. A forma trigonométrica do complexo z = -1 + i é dada por:
1. X
1. 
1. 
1. 
1. 
 3. Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand- Gauss
A forma trigonométrica do número z é:
1.  ( cos 150º + i sen 150º ) X
1. ( cos 30º + i sen 30º )
1. ( - cos 150º + i sen 150º )
1. ( cos 120º + i sen 120º )
1. ( - cos 60º + i sen 60º )
4. O número complexo z = -2-2ié escrito na forma trigonométrica como :
1. 
1. 
1. X
1. 
1. 
 5. Na figura, o ponto P é o afixo de um número complexo z, no plano de Argand-Gauss. A forma trigonométrica de z é:
  
1. 4. ( cos 300º + i sen 300º ) X
1. 4. ( cos 60º + i sen 60º )
1. 16. ( sen 330º + i cos 330 º )
1. 2. ( sen 300º + i cos 300º )
1. cos ( -60º) + i sen ( -60º )
 6. O argumento do número complexo z = -2 + 2i é:
1. 120º
1. 150º X
1. 210º
1. 300º
1. 330º
7. O número complexo escrito na forma a + bi é:
1. 2 + i
1. - + i
1. - -i
1. - i X
1. 2- i
8. A forma trigonométrica do número complexo i - é:
1. 
1. 
1. 
1. 
1. X
9. A forma trigonométricado número complexo z = - + i é:
1. sen 30º + i cos 30º
1. 2. ( cos 60º + i sen 60º )
1. 2. ( cos 30º + i sen 30º )
1. 2. ( cos 120º + i sen 120º )
1. 2. ( cos 150º + i sen 150º ) X
10. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem do número complexo Z, no plano de Argand-Gauss. Então, Z é igual a:
 
1. 1 + i
1. + i X
1. 
1. 
1. 
 11. Seja z o produto dos números complexos e . Então, o módulo e o argumento de z são, respectivamente:
1. 4 e 30º
1. 12 e 80º
1. 8 e 90º
1. 6 e 90º X
1. 2 e 30º
12. Sendo e , a representação trigonométrica de é:
1. X
1. 
1. 
1. 
1. 
13. Na figura, o ponto P é o afixo de um número conjugado z, no plano de Argand-Gauss. Então o argumento principal de z2 é: 
1. 0º
1. 30º
1. 60º X
1. 45º
1. 90º
14. Se o módulo de um número complexo é igual a e seu argumento ;e igual a , a expressão algébrica desse número é:
1. 1 + i
1. 2 i
1. 1 - i
1. i
1. -1 - i X
15. A forma trigonométrica do número complexo é:
1. 
1. 
1. X
1. 
1. 
Bloco 1
1) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2) Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , 
calcule Im(z).w + Im(w).z . 
3) UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é: 
4) UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 
5) UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 
6) Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é: 
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução. 
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i 
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. 
Resp: 50 
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i 
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. 
12) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i 
13) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i 
14) Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9 
15) A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) 
b) 
c) 13 
d) 7 
e) 5
16 ) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
17) Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 224 . i 
d) 248 . i 
e) -224 . i 
GABARITO:
1) -3 - i    
2) -3 + 18i   
3) 4 + 3i   
4) 3/2   
5) -2 + 18i   
6) i   
7) 3   
8) 1 + 2i  
9) 50   
10) 32i   
11) -1 - i 
12) B    
13) D    
14) A    
15) A   
16) A    
17) E
Bloco 2
1) O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
 
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
 
 
2) Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
 
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
 
3) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?
 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
 
4) Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
 
a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1
 
 
5) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:
 
a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2
 
 
6) A potência (1 - i )16 equivale a:
 
a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256
 
7) Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:  
 
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
 
8) O módulo do complexo cos a - i . sen a é:
 
a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5
 
 
9) Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
 
 
10) Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.
 
Resolução:
	01. C
	02. C
	03. C
	04. A
	05. E
	06. E
	07. E
	08. D
 09.3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}
Bloco 3
1. Sejam os complexos z = 2x – 3ie t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x.yé
 A) 6 B) 4 C) 3 D) –3 E) –6 
2. Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a 
 A) 1 + 2i B) 2 + i C) 2 + 2i D) 2 + 3i E) 3 + 2i 
3. Dadas as alternativas abaixo 
I. i2 = 1 II. (i + 1)2 = 2i III. 4 + 3i = 5 IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que 
A) todas as alternativas acima estão corretas 
B) todas as alternativas acima estão erradas 
C) as alternativas I e III estão erradas 
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas 
4. Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I2 é: 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
5. Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação 
A) u.Ī= 1 B) u. I = 1C)u +Ī = 0 D)u. I = 0E)n.r.a
6. O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0 B) ()/2 C) 1 D) E) 2 
7. Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro? 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 
8. O conjugado de (2 - i)/i vale 
A) 1 – 2i B) 1 + 2i C) 1 + 3i D) –1 + 2i E) 2 - i 
9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0, onde i =, é:
	A)
	{n Є Z/ n é ímpar}
	B)
	{n Є Z/ n é par}
	C)
	{n Є Z/ n > 0}
	D)
	{n Є Z/ npara x = 1 - i, é:
a) -3i b) 1 – i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i
27. Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
28. Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9
29. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) 13b) 7 c) 13 d) 7 e) 5 
30. Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i 
31. Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49é:
a) 1 + i b) -1 + i c) 224 .i d) 248 . i e) -224 . i 
Resposta:
1)D 2)E 3)D 4)E 5)B 6)C 7)B 8)D 9) A 10) B 11) -3 - i 12) -3 + 18i 13) 4 + 3i 14) 3/2 15) -2 + 18i 16) i 17) 3 18) 1 + 2i 19) 50 20) 32i 21) -1 - i 24) –1 + 4i e -1 – 4i 26) B 27) D 28) A 29) A 30) A 31) E
Material sobre complexos: questionamentos importantes
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/index.htm
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