Matemática - Livro 3-169-171

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F
R
E
N
T
E
 2
169
Módulo e argumento
O módulo de um número complexo não nulo z = a + bi é o número real positivo que representa o tamanho do vetor z, assim: = +|z| Re(z) Im(z)2 2 . É
correto afirmar que: |z| = | z | e z ⋅ z = |z|2.
O argumento de um número complexo é a medida, em graus ou radianos, de um arco trigonométrico determinado pelo vetor associado ao número
complexo e o semieixo dos números reais positivos
θ = ⇒
θ= ⇔ = ⋅ θ
θ = ⇔ = ⋅ θ
θ =









arg(z)
sen
Im(z)
|z|
 Im(z) |z| sen
cos
Re(z)
|z|
 Re(z) |z| cos
tg
Im(z)
Re(z)
Os arcos de -240°, 120° e 480° podem, por
exemplo, ser argumentos de um mesmo número
complexo e, neste caso, seu argumento principal
será igual a 120°.
Operações na forma trigonométrica
Se z = |z| ⋅ (cosa + i ⋅ sena) e w = |w| ⋅ (cosb + i ⋅ senb), temos:
( )
⋅ = ⋅ ⋅ a + b + ⋅ a +b 
= ⋅ a b + ⋅ a b 
= ⋅ ⋅a + ⋅ ⋅a







z w |z| |w| cos( ) i sen( )
z
w
|z|
|w|
cos( ) i sen( )
z |z| cos(n ) i sen(n )
n n
Operações na forma polar
Sendo (|z|, a) e (|w|, b) as coordenadas polares dos complexos z e w:
⋅ = ⋅ a +b
= a-b




= a







z w (|z| |w|, )
z
w
|z|
|w|
,
z (|z| , n )
n n
Classificação dos números complexos de acordo com seus argumentos
Sendo z um número complexo de argumento a radianos, e k um número inteiro, temos que:
⇔ a= ⋅π
⇔ a =
π
+ ⋅π




z é real k
z é imaginário puro
2
k
Igualdade polar
Se dois números complexos são iguais, então suas coordenadas polares apresentam o mesmo módulo, mas podem apresentar argumentos diferentes:
= ⇔
=
a =b+ ⋅ π ∈




z w
|z| |w|
k 2 , k 
Quer saber mais?
• Conheça um pouco mais sobre a evolução dos números complexos.
Disponível em: <http://p p4ed com/VKKMU>
Sites
• De uma forma descontraída é apresentado um breve histórico dos
números complexos.
Disponível em: <https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1187>.
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos170
08 A soma de quaisquer dois elementos de V também
pertence a V.
16 A divisão de um elemento de V por outro elemento
de V sempre pertence a V.
Soma:
6 UEPG 2018 Considerando os números complexos
z1 = 1 2i e z2 = 3 + i, assinale o que for correto.
01 =| z z | 50.
1 2
02 = - +
z
z
1
2
( 1 i).1
2
04 (z2)
2 = 8 - 6i.
08 O módulo de z2 é 8
16 O afixo de z1 ⋅ z2 pertence ao 2
o
 quadrante
Soma:
7 UFSC 2017 Em circuitos elétricos como, por exemplo,
o das instalações residenciais, as grandezas elétricas
são analisadas com o auxílio dos números complexos
A relação U = Z ⋅ j fornece a tensão U em função da
impedância Z e da corrente elétrica j Nesses termos,
essas variáveis são expressas através de números
complexos a + bi
Considere agora U = 110(cos0o + i ⋅ sen0o) e Z = 5 + 5i
Determine o valor da expressão 2a + b sendo j = a + bi
8 Fuvest 2015 Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule
p


cos
3
8
 e
p


sen
3
8
.
b) Dado o número complexo = + +z 2 2 i 2 2,
encontre o menor inteiro n > 0 para o qual z
n
seja
real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros
que possua z como raiz e que não possua raiz real.
9 FGV-SP 2014 Seja f uma função que, a cada número
complexo z, associa f(z) = iz, onde i é a unidade imagi-
nária Determine os complexos z de módulo igual a 4
e tais que f(z) = z, onde z é o conjugado de z
10 UFPR 2014 Considere o número complexo = +
+
z 4i
13
2 3i
.
0
a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 i seja solu-
ção da equação z
2 + az + b = 0.
11 UFG 2014 Considerando os números comple-
xos z e w tais que ( ) ( )+ = - + -z w 9 3 3 i 9 3 3 e
( ) ( )- = - + + -z w 3 3 3 i 3 3 3 , determine a área do
paralelogramo de lados |z| e |w|, sabendo-se que o
ângulo entre eles é
p
3
.
1 UFPE 2013 Encontre o menor inteiro positivo n tal que
a potência ( )+3 i n seja um número real.
2 UFPR 2013 Considere os pontos z1, z2 e z3 indicados
no plano complexo abaixo, e que correspondem às
raízes cúbicas de 1
a) Qual é o menor inteiro n > 1 de modo que (z2)
n = 1?
Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100
.
3 UFPR 2019 Considere o número complexo ( )= +z 1
2
3 i .
a) Calcule o módulo de z e escreva a forma polar de z
b) Calcule o valor da expressão z27 + z24. (Sugestão:
use a fórmula de De Moivre)
4 UEPG 2019 No plano complexo, se:
• A é o afixo do número = p + p



z 2 cos 4
isen
4
,
1
• B do número z2 = 4[cos(2p) + isen(2p)] e
• C do número z3 = 4 + i
assinale o que for correto.
01 A área do triângulo ABC tem medida menor que 2.
02 A reta de equação y = -3x + 12 passa pelos pontos
A e B.
04 O perímetro do triângulo ABC tem medida maior
que 7.
08 A circunferência de equação x
2 + y2 - 2x - 2y = 0
tem centro no ponto A e raio 1.
Soma:
5 UEM 2017 Seja V = {1, z2, z3, z4, z5, z6} um subconjun-
to de C formado pelos números complexos que, no
plano complexo, correspondem aos vértices de um
hexágono regular cujo centro esteja situado na ori-
gem. Assinale o que for correto.
01 O produto de quaisquer dois elementos de V tam-
bém pertence a V.
02 A diferença de quaisquer dois elementos de V
também pertence a V.
04 O conjugado de todo elemento de V também per-
tence a V.
Exercícios complementares
F
R
E
N
T
E
 2
171
12 Unesp 2012 Identifique o lugar geométrico das imagens
dos números complexos Z, tais que |Z| + |3 ⋅ Z| = 12.
13 FGV-SP 2011
a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são
os afixos dos números complexos: 3, 6i, 3 e –6i,
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losan
go A’B’C’D’ que se obtém girando 90o o losango
ABCD, em torno da origem do plano cartesiano,
no sentido anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o nú
mero complexo cujo afixo é o ponto B’?
14 Unifesp 2011 No plano de Argand-Gauss (figura), o pon
to A é chamado afixo do número complexo z = x + yi,
cujo módulo (indicado por |z|) é a medida do segmento
OA e cujo argumento (indicado por θ é o menor ângu
lo formado com OA, no sentido anti horário, a partir do
eixo Re(z) O número complexo z = i é chamado “unida
de imaginária”
a) Determinar os números reais x tais que z = (x + 2i)4
é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número comple
xo z é o complexo z0, cujo afixo é o ponto (0, a),
a > 0, determine |z|.
15 UFPE 2011 A representação geométrica dos números
complexos z que satisfazem a igualdade 2|z i| = |z 2|
formam uma circunferência com raio r e centro no pon-
to com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e assinale
9(a2 + b2 + r2).
16 UFC Os números complexos distintos z e w são tais
que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está no
primeiro quadrante do plano complexo.
17 UFRJ No jogo Batalha Complexa são dados números
complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.
O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal
que tz = w.
Considere a mira z e o alvo w indicados na gura an-
terior Determine o tiro certeiro de z em w
18 Uece 2016 O conjunto dos números complexos pode
ser representado em um plano munido do sistema de
coordenadas cartesianas usual. As raízes da equação
x4 9 = 0, quando representadas no plano, corres-
pondem a pontos que são vértices de um
A trapézio.
 losango (não quadrado).
C paralelogramo cuja medida do maior lado é três ve-
zes a medida do menor.
 quadrado.
19 UFRJ Determine o módulo, o argumento e represente
graficamente o número complexo = +z 2 2 3 i .
20 Unesp Considere os números complexos w = 4 + 2i e
z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica
a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z ⋅ w, deter-
mine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
21 UFMG Seja z = (a + i)3 um número complexo, sendo a
um número real.
a) Escreva z na forma x + iy, sendo x e y números reais.
b) Determine os valores de a para que z seja um nú-
mero imaginário puro.
22Fuvest Determine os números complexos z que satis-
fazem, simultaneamente, |z| = 2 e
+



 =Im
z i
1 i
1
2
.
Lembretes: i2 = 1, se w = a + bi, com a e b reais, então
= +|w| a b2 2 e Im(w) = b.