Matemática - Livro 3-160-162

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos160
22 Unicamp 2016 Considere o número complexo z
1 ai
a i
=
+
onde a é um número real e i é a unidade imaginária,
isto é, i
2
= –1. O valor de z
2016
 é igual a
A a
2016
.
b 1.
C 1 + 2016i.
d i.
23 UEL 2019 Leia o texto a seguir.
Foi ali no meio da praça [ ] Zuzé Paraza, pintor re-
formado, tossiu sacudindo a magreza do seu todo corpo.
Então, assim contam os que viram, ele vomitou um corvo
vivo. O pássaro saiu inteiro das entranhas dele. [...] Estivera
tanto tempo lá dentro que já sabia falar
COUTO, Mia. O último aviso do corvo falador. In: Vozes anoitecidas. São
Paulo: Companhia das Letras, 2015. p. 29.
Zuzé desaou o corvo falador. De dentro de seu gabi-
nete, Zuzé mostrou ao corvo a seguinte tabela.
A B C
7 9 0
20 5 1
24 6 2
2 13 3
Zuzé solicita ao corvo que pense em uma equação
matemática que relacione, linha a linha, os números
das colunas A, B e C da tabela. Prontamente o cor-
vo falante responde: i
A + B
= i
C
, onde i é a unidade
imaginária.
Com base na equação dita pelo corvo e sabendo que
A, B e C são números naturais, considere as armati-
vas a seguir.
I. Se A + B é múltiplo de 4 e C = 4, então A, B e C
satisfazem a equação.
II. Se A = 26, B = 44 e C = 30, então A, B e C satisfa-
zem a equação.
III. Se A = B = 1, então a única possibilidade para que
A, B e C satisfaçam a equação é C = 6.
IV. Se A e B são números ímpares e C = 1, então A, B
e C satisfazem a equação.
Assinale a alternativa correta.
A Somente as afirmativas I e II são corretas.
b Somente as afirmativas I e IV são corretas.
C Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
E Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.
24 UEL 2015 Leia o texto a seguir.
Na virada do século XVIII para o século XIX, um agri-
mensor norueguês, Wessel (1798), e um desconhecido
matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente,
os primeiros a compreender que os números complexos
não têm nada de “irreal”. São apenas os pontos (ou ve-
tores) do plano que se somam através da composição de
translações e que se multiplicam através da composição
de rotações e dilatações (na nomenclatura atual) Mas
essas iniciativas não tiveram repercussão enquanto não
foram redescobertas e apadrinhadas, quase simultanea
mente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que,
já em vida, era reconhecido como um dos maiores mate-
máticos de todos os tempos.
Adaptado de: CARNEIRO, J. P. “A Geometria e o Ensino dos Números
Complexos” Revista do Professor de Matemática 2004 v.55 p 18
Assinale a alternativa que apresenta, corretamen-
te, uma composição de rotação dos pontos P(–3, 4)
e Q(2, –3) representados pelos números complexos
z = –3 + 4i e w = 2 – 3i
A –18 + 17i
b –6 – 12i
C –1 + i
d 5 + 7i
E 6 + 17i
25 Uefs 2018 Dado um número complexo z = a + bi com a
e b reais, define se afixo de z como o ponto do plano
complexo de coordenadas (a, b) Sejam A, B e C os
afixos dos números complexos zA = 14 + 4i, zB = 6 2i
e zC = 16 2i A área do triângulo de vértices A, B e C é
A 18
b 24.
C 30
d 36
E 40
26 UFRGS 2019 Dados os números complexos z1 = (2, 1)
e z2 = (3, x) sabe-se que z1 ⋅ z2 ∈ R. Então x é igual a
A 6.
b -
3
2
.
C 0.
d
3
2
.
E 6.
27 A soma dos módulos dos números complexos z = 3 + 4i
e w = 5 + 12i é
A 14
b 18
C 24
d 28
E 32
28 A soma do menor argumento positivo do número
complexo u = 2 2i com o maior argumento negati-
vo do número complexo =v 1 3i é:
A 45
o
b 60
o
C 75
o
d 135
o
E 165
o
29 Insper 2012 Considere um número complexo z, de mó-
dulo 10, tal que z = (k + i)
2
 em que K é um número real.
A parte real desse número complexo é igual a
A 5 3 .
b 8
C 5 2
d 6.
E 5.
F
R
E
N
T
E
 2
161
30 IFSP 2011 Sendo i a unidade imaginária, considere os
números complexos z = 1 + i e w = z2 − z. Um argu-
mento de w é
A
p
3

p
2
C
p2
3

p3
4
E
p5
4
31 Uern 2013 Seja z = a + bi um número complexo, tal que
4z – zi + 5 = –1 + 10i. Assim, o módulo do complexo z é
A 2
 2 2
C 3 2
 4 2
32 Cefet-MG 2011 A medida do argumento dos números
complexos z = x + yi pertencentes à reta y = x, em
radianos, é
A
p p
4
 ou
5
4
.

p p
2
 ou
3
2
.
C
p p
4
 ou
4

p p
3
 ou
4
3
.
33 Uece 2014 Se x e y são números reais não nulos, po
de-se afirmar corretamente que o módulo do número
complexo = -
+
z
x iy
x iy
 é igual a
A 1
 2
C x2 + y2
 |xy|
34 Mackenzie 2016 Se w é um número complexo, satis
fazendo Re(w) > 0 e (w + i)2 + |w + i|2 = 6, então w é
igual a
A 1 i
 1 + i
C 1 i
 1
E i
35 UFRGS 2018 Considere as seguintes afirmações sobre
números complexos.
I. (2 + i)(2 i)(1 + i)(1 i) = 10
II. +




+ +




= +7
2
1
3
i
3
2
2
3
i
5
2
1
2
i
III Se o módulo do número complexo z é 5, então o
módulo de 2z é 10
Quais armações estão corretas?
A Apenas I
 Apenas II
C Apenas III
 Apenas I e III
E I, II e III
36 O módulo do número complexo que resulta do quo-
ciente +
-
4 7i
8 i
 vale
A 10
 8
C 5
 2
E 1
37 Ifal 2016 O número complexo z = (x – 1) + (x + 6)i tem
módulo |z| = 13. Sendo x um número real positivo, qual
o valor de x?
A 2.
 3.
C 4.
 5.
E 6.
38 UEPB 2012 Dado o número complexo z = x + yi, o sis-
tema
|z| 5
|i z 3| 2
=
⋅ =



 tem como solução
A z = 5i
 z = –5i
C z = 5
 z = –5
E z = 5 + 5i
39 UEPB 2013 O módulo e o argumento do número com-
plexo z = (1 + i)(1 - i)2 são respectivamente:
A 2 e 
p + p ∈3
4
2k , k .
 2 e 
p + p ∈
4
2k , k .
C 2 2 e 
p + p ∈3
4
2k , k .
 2 2 e 
p + p ∈7
4
2k , k .
E 2 2 e 
p + p ∈5
4
2k , k .
40 PUC RS 2013 Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de
um número complexo Z no plano de Argand-Gauss.
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a
diferença entre z e o seu conjugado é igual a
A - -4 2 4 2i
 - +4 2 4 2i
C 4 2i
 4 2i
E 4 2
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos162
41 O módulo do número complexo =
+
-
+
+
z
10 10i
6 8i
60
12 9i
 é:
A 2
b 4
C 5
d 10
E 10
42 PUC SP 2017 Considere os números complexos z1 = 1 i,
z
2
= k + i, com k um número real positivo e z3 = z1 ⋅ z2
Sabendo que =|z | 10,
3
 é correto afirmar que
A + =|z z | 7
1 2
b =
- +z
z
1 i
2
2
3
C O argumento de z2 é 225
o
.
d z3 ⋅ z2 = -1 + 2i
43 Fuvest Dentre os números complexos z = a + bi, não
nulos, que têm argumento igual a
p
4
 aquele cuja re-
presentação geométrica está sobre a parábola y = x
2
 é
A 1 + i
b 1 − i
C −1 + i
d 2 2i+
E 2 2i+
44 Fuvest O número complexo z ≠ 0 e seu inverso
1
z
 pos-
suem o mesmo módulo. Conclui-se que:
A z e
1
z
 são conjugados.
b z +
1
z
= 1
C z e
1
z
 são reais.
d Esse módulo é 2.
E z
2
= 1
45 FGV-SP Seja um número complexo z = (x 2i)
2
, no qual
x é um número real. Se o argumento principal de z é
90
o
, então
1
z
 é igual a:
A
-i
8
b −8i
C 4i
d −1 + 4i
E 4 i
46 PUC-SP 2017 Em relação ao número complexo
( )= ⋅ +z i i 387 105 é correto afirmar que
A sua imagem pertence ao 3
o
 quadrante do plano
complexo
b é imaginário puro.
C o módulo de z é igual a 4
d seu argumento é igual ao argumento do número
complexo = -v
1
2
3
2
i.
47 Uefs 2016 Os números complexos z e w têm módulos
|z| = |w| = 1. Se z, w e seu produto z ⋅ w formam, no
plano de Argand-Gauss, os vértices de um triângulo
equilátero, é correto afirmar que
A z é real.
b w = ±1 ou w = ±i.
C z ⋅ w é um imaginário puro.
d a parte real de w é positiva.
E z e w são complexos conjugados.
48 PUC-SP 2015 No plano complexo de origem O, repre-
sentado na figura abaixo, o ponto A é a imagem de um
número complexo u cujo módulo é igual a 4.
Se B é o ponto imagem do complexo =v
u
i
, então é
correto armar que:
A O módulo de u + v é igual a 4 2
b O módulo de u - v é igual a 2 2.
C B pertence ao terceiro quadrante.
d B pertence ao quarto quadrante.
E O triângulo AOB é equilátero.
49 FGV-SP 2017 Seja z um número complexo cujo afixo P
está localizado no 1
o
 quadrante do plano complexo, e
sejamI, II, III, IV e V os afixos de cinco outros números
complexos, conforme indica a figura seguinte.
Se a circunferência traçada na gura possui raio 1 e
está centrada na origem do plano complexo, então o
axo de
1
z
 pode ser
A I
b II
C III
d IV
E V