Matemática Discreta DEJTLS

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**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
56. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-x} + e^{-x} \) 
 - B) \( y = Ce^{x} + e^{-x} \) 
 - C) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
 - D) \( y = Ce^{-x} - e^{-x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-x} + e^{-x} \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 1 \, dx} = e^{x} \) e resolvemos a 
equação diferencial. 
 
57. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^3}{3} + x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right) - 0 = \frac{7}{3} \). 
 
58. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 3 
 **Resposta:** D) 3 
 **Explicação:** O limite pode ser simplificado como \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
59. **Qual é a derivada da função \( f(x) = e^{3x} \)?** 
 - A) \( 3e^{3x} \) 
 - B) \( e^{3x} \) 
 - C) \( 3e^{x} \) 
 - D) \( e^{x} \) 
 **Resposta:** A) \( 3e^{3x} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{kx} \) é \( ke^{kx} \). 
 
60. **Qual é a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) 2 
 - D) 3 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \( x^3 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 - 1 + 
1) - 0 = 1 \). 
 
61. **Qual é o valor do determinante da matriz \( G = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 
\end{pmatrix} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) -1 
 - D) 2 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** As linhas são linearmente dependentes, resultando em um 
determinante de 0. 
 
62. **Qual é a integral \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \)?** 
 - A) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 - B) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
 - C) \( e^{x} \cos(x) + C \) 
 - D) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes para obter a expressão final. 
 
63. **Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 + 1} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \( \frac{5}{2} \) 
 - D) 5 
 **Resposta:** C) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x \), que é \( x^2 \), 
obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
64. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 0 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-3x} \) 
 - B) \( y = Ce^{3x} \) 
 - C) \( y = Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = Ce^{x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-3x} \) 
 **Explicação:** A equação é separável e a solução geral é encontrada integrando. 
 
65. **Qual é o valor do determinante da matriz \( H = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 
\end{pmatrix} \)?** 
 - A) -1 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 7 
 **Resposta:** D) -1 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \( det(H) = ad - bc = (2)(5) - (3)(4) = 10 
- 12 = -2 \). 
 
66. **Qual é a integral \( \int_0^1 (x^2 + 3x + 2) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4