Para resolver a integral \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração por partes repetidamente. Ao aplicar a integração por partes, obtemos: 1. \( u = \sin(x) \) e \( dv = e^{x} dx \) 2. Então, \( du = \cos(x) dx \) e \( v = e^{x} \) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo, temos: \[ \int e^{x} \sin(x) \, dx = e^{x} \sin(x) - \int e^{x} \cos(x) \, dx \] Agora, precisamos calcular \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \) da mesma forma. Usando integração por partes novamente: 1. \( u = \cos(x) \) e \( dv = e^{x} dx \) 2. Então, \( du = -\sin(x) dx \) e \( v = e^{x} \) Substituindo na fórmula: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} \cos(x) + \int e^{x} \sin(x) \, dx \] Agora, substituímos isso de volta na primeira integral: \[ \int e^{x} \sin(x) \, dx = e^{x} \sin(x) - (e^{x} \cos(x) + \int e^{x} \sin(x) \, dx) \] Reorganizando, temos: \[ \int e^{x} \sin(x) \, dx + \int e^{x} \sin(x) \, dx = e^{x} \sin(x) - e^{x} \cos(x) \] Portanto: \[ 2 \int e^{x} \sin(x) \, dx = e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) \] Dividindo ambos os lados por 2: \[ \int e^{x} \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \] Assim, a resposta correta é: A) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \)