Apostila Calculo1 com Exercicios_pag36

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<p>32</p><p>S2(n) =</p><p>n(n+ 1)(2n+ 1)</p><p>6</p><p>Para isso, vamos usar o método de prova por indução.</p><p>Para n = 1, temos 1 =</p><p>1(1 + 1)(2 + 1)</p><p>6</p><p>= 1, o que está correto.Logo, suponha-</p><p>mos que isso vale para k ∈ N. Temos que:</p><p>S2(k) =</p><p>k(k + 1)(2k + 1)</p><p>6</p><p>Somando (k + 1)2 dos dois lados:</p><p>S2(k) + (k + 1)2 =</p><p>k(k + 1)(2k + 1)</p><p>6</p><p>+ (k + 1)2</p><p>S2(k + 1) =</p><p>k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2</p><p>6</p><p>S2(k + 1) =</p><p>(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]</p><p>6</p><p>S2(k + 1) =</p><p>(k + 1)[2k2 + 7k + 6]</p><p>6</p><p>S2(k + 1) =</p><p>(k + 1)(k + 2)(2k + 3)</p><p>6</p><p>S2(k + 1) =</p><p>(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)</p><p>6</p><p>Repare que chegamos na formula que queriamos. Logo, ela vale para todo</p><p>n ∈ N.</p><p>Assim, nos resta provar que:</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>1 + 22 + 32 + 42 + ...+ i2 + (i+ 1)2 + ...+ n2</p><p>n3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>Para isso, vamos substituir a sequência pela fórmula dada e demonstrada por</p><p>indução. Assim, temos:</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>n(n+ 1)(2n+ 1)</p><p>6n3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>2n3 + 3n2 + n</p><p>6n3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>2 + 3n−1 + n−2</p><p>6</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>�</p>