Grátis: Questão 3 Caso existam, calcule os seguintes limites: (a) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) x+ y x3 + y. (b) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) (x2 + y2) cos (...

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Questão 3 Caso existam, calcule os seguintes limites: (a) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) x+ y x3 + y. (b) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) (x2 + y2) cos (x2 x2 + y2).

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Questão 1 (2,0 pontos) Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = x2 + 3xy + y2, para cada (x, y) ∈ R2. Determine o plano tangente ao gráfico de f, que é paralelo ao plano z = 10x+ 5y + 15.

Questão 2 Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = √|xy|. Como lim h→0 f(0 + h, 0)− f(0, 0) h = lim h→0 0− 0 h = 0 e lim h→0 f(0, 0 + h)− f(0, 0) h = lim h→0 0− 0 h = 0, conclúımos que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.

Questão 4 Seja C a curva obtida pela interseção das superf́ıcies S1 e S2, dadas por z2 = 2x e 3y = 2√2z3/2, respectivamente. (a) (1,0 ponto) Encontre uma parametrização para C, indicando o intervalo onde a mesma está definida. (b) (1,0 ponto) Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C, que passa pelo ponto P = (1/2, 2√2/3, 1). (c) (1,0 ponto) Calcule o comprimento de C, da origem até o ponto P = (1/2, 2√2/3, 1).

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Questão 2 Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = √|xy|. Como lim h→0 f(0 + h, 0)− f(0, 0) h = lim h→0 0− 0 h = 0 e lim h→0 f(0, 0 + h)− f(0, 0) h = lim h→0 0− 0 h = 0, conclúımos que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.

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