AP1 CIII 2015 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – CA´LCULO III – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = x2 + 3xy + y2,
para cada (x, y) ∈ R2. Determine o plano tangente ao gra´fico de f , que e´ paralelo ao plano
z = 10x+ 5y + 15.
Soluc¸a˜o:
Por definic¸a˜o, o plano tangente ao gra´fico de f , no ponto P0 = (x0, y0, f(x0, y0)), e´ dado por
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Pondo g(x, y, z) = x2 + 3xy + y2 − z, para cada (x, y, z) ∈ R3, vemos que o gra´fico de f e´,
precisamente, a superf´ıcie de n´ıvel zero da func¸a˜o g. Uma vez que o vetor gradiente de g e´ ortogonal
aos seus conjuntos de n´ıvel, e´ va´lida a seguinte afirmac¸a˜o: para que o plano tangente ao gra´fico de
f em P0 seja paralelo ao plano z = 10x+5y+15, e´ necessa´rio e suficiente que exista λ ∈ R tal que
(2x0 + 3y0, 3x0 + 2y0,−1) = ∇g(x0, y0, f(x0, y0)) = λ(10, 5,−1),
ja´ que ~n = (10, 5,−1) e´ um vetor normal ao plano z = 10x+ 5y + 15. Nesse caso, conclu´ımos que
λ = 1, x0 = −1 e y0 = 4. Assim, como
f(x0, y0) = f(−1, 4) = 5,
fx(x0, y0) = 2x0 + 3y0 = 10
e
fy(x0, y0) = 3x0 + 2y0 = 5,
deduzimos que
z = 5 + 10(x+ 1) + 5(y − 4)
(i.e., 10x+5y-z=5) e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f nas condic¸o˜es do enunciado.
Questa˜o 2 Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por f(x, y) =√|xy|.
CA´LCULO III AP1 2
(a) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de f em cada ponto do conjunto
U = {(x, y) ∈ R2; x 6= 0 e y 6= 0}.
(Sugesta˜o: Lembre que (|x|)′ = |x|
x
para todo x 6= 0.)
(b) (1,0 ponto) Caso existam, calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 0);
(c) (1,0 ponto) Utilizando a definic¸a˜o de diferenciabilidade, mostre que f na˜o e´ diferencia´vel em
(0, 0).
Soluc¸a˜o:
(a) Lembrando que
(
√
x)′ =
1
2
√
x
para todo x ∈ R∗+
e
(|x|)′ = |x|
x
para todo x 6= 0,
utilizando a Regra da Cadeia, obtemos
fx(x, y) =
1
2
√|xy| |xy|xy y =
√|xy|
2x
e
fy(x, y) =
1
2
√|xy| |xy|xy x =
√|xy|
2y
para todo (x, y) ∈ U .
(b) Como
lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0
e
lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0,
conclu´ımos que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.
(c) Considere a func¸a˜o r : R2 −→ R, definida por
r(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− fx(0, 0)h− fy(0, 0)k.
Mais precisamente, pelo item (b), sabemos que r(h, k) = f(h, k) para todo (h, k) ∈ R2.
Assim, para demonstrar que f na˜o e´ diferencia´vel, devemos verificar que o limite
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)√
h2 + k2
na˜o e´ igual a zero. Com efeito, este limite na˜o existe, uma vez que
lim
t→0
f(t, t)√
t2 + t2
= lim
t→0
|t|√
2|t| =
1√
2
e
lim
t→0
f(t, 0)√
t2 + 02
= lim
t→0
0
|t| = 0.
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CA´LCULO III AP1 3
Questa˜o 3 Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x3 + y
.
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) cos
(
x2
x2 + y2
)
.
Soluc¸a˜o:
(a) Ponhamos f(x, y) =
x+ y
x3 + y
para cada (x, y) ∈ R2 satisfazendo y 6= −x3. Uma vez que
lim
t→0
0 + t
03 + t
= 1
e
lim
t→0
t+ 0
t3 + 0
= lim
t→0
1
t2
= +∞,
conclu´ımos que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) na˜o existe.
(b) Como lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) = 0 e a func¸a˜o
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ cos
(
x2
x2 + y2
)
∈ R
e´ limitada (lembre que cos t ∈ [−1, 1] para todo t ∈ R), conclu´ımos que
lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) cos
(
x2
x2 + y2
)
= 0.
Questa˜o 4 Seja C a curva obtida pela intersec¸a˜o das superf´ıcies S1 e S2, dadas por z2 = 2x
e 3y = 2
√
2z3/2, respectivamente. Nessas condic¸o˜es:
(a) (1,0 ponto) Encontre uma parametrizac¸a˜o para C, indicando o intervalo onde a mesma
esta´ definida.
(b) (1,0 ponto) Encontre a equac¸a˜o vetorial da reta tangente a` curva C, que passa pelo
ponto P =
(
1
2
, 2
√
2
3
, 1
)
.
(c) (1,0 ponto) Calcule o comprimento de C, da origem ate´ o ponto P =
(
1
2
, 2
√
2
3
, 1
)
.
Soluc¸a˜o:
(a) Para cada (x, y, z) ∈ C = S1 ∩ S2, sabemos que
x =
z2
2
e y =
2
√
2z
√
z
3
.
Portanto, a func¸a˜o vetorial γ : [0,+∞) −→ R3, definida por
γ(t) =
(
t2
2
,
2
√
2t
√
t
3
, t
)
(t ∈ [0,+∞)), e´ uma parametrizac¸a˜o para C.
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CA´LCULO III AP1 4
(b) Seja γ como no item anterior. Como γ(1) =
(
1
2
, 2
√
2
3
, 1
)
= P e
γ′(t) = (t,
√
2t, 1)
para todo t ∈ [0,+∞), deduzimos que
r(λ) = γ(1) + λγ′(1) =
(
1
2
,
2
√
2
3
, 1
)
+ λ(1,
√
2, 1) =
(
1
2
+ λ,
2
√
2
3
+ λ
√
2, 1 + λ
)
(λ ∈ R) e´ a equac¸a˜o vetorial da reta tangente a` curva C, que passa pelo ponto P .
(c) O comprimento do arco de C, que liga a origem ao ponto P , e´ dado por
`(C) =
∫ 1
0
‖γ′(t)‖dt =
∫ 1
0
√
t2 + 2t+ 1dt =
∫ 1
0
(t+ 1)dt =
3
2
(unidades de comprimento), observando que γ(0) = (0, 0, 0) e γ(1) = P .
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