Notas de Aulas de Cálculo

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Universidade Estadual de Montes Claros
Departamento de Ciências Exatas
Curso de Licenciatura em Matemática
Notas de Aulas de
Cálculo
Rosivaldo Antonio Gonçalves
Notas de aulas que foram elaboradas para orientar
o estudo de conteúdos básicos de Matemática para
o curso de Licenciatura em Matemática.
Montes Claros, - 24 de março de 2012
Caṕıtulo 1
Introdução
1.1 Coordenadas Cartesianas
1.1.1 Plano
Os pontos de um plano são identificados com pares ordenados de números
naturais reais;
P = (x, y),
sendo x a abscissa de P e y a ordenada de P .
1.1.2 Espaço
Os pontos do espaço são identificados com ternos ordenados de números reais;
P = (x, y, z),
sendo x a abscissa de P, y a ordenada de P e z a cota de P .
1
1.2 Vetores
1.2.1 Plano
O par ordenado (x, y) é identificado com o vetor
−→
OP , sendo O a origem do
sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e P o ponto de coordenadas (x, y).
1.2.2 Espaço
Os vetores no espaço são introduzidos como ternos ordenados de números
reais.
1.2.3 Operações
i) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′)
ii) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz);
iii) o oposto do vetor −→v = (x, y, z), é o vetor −−→v = (−1)−→v = (−x,−y,−z);
iv) (x, y, z)− (x′, y′, z′) = (x, y, z) + (−1)(x′, y′, z′) = (x− x′, y − y′, z − z′).
Nota 1.2.1
−→
0 = (0, 0, 0) é chamado vetor nulo.
1.2.4 Propriedades
Quaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e os escalares λ e β temos,
i) −→u +−→v = −→v +−→u ;
ii) (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w );
iii) −→u +
−→
0 = −→u ;
iv) −→u + (−−→u ) =
−→
0 ;
v) (λ+ β)−→u = λ−→u + β−→u ;
vi) λ(−→u +−→v ) = λ−→u + λ−→v ;
vii) (λβ)−→u = λ(β−→u );
2
viii) 1−→u = −→u .
Demonstração
i) Sejam −→u = (x, y, z) e −→v = (x′, y′, z′). Então
−→u + −→v = (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′) = (x′ + x, y′ +
y, z′ + z) = (x′, y′, z′) + (x, y, z) = −→v +−→u .
As demonstrações dos outros itens ficam como exerćıcios.
�
1.2.5 Norma
Geometricamente, a norma de um vetor −→v =
−→
OP é o comprimento do seg-
mento geométrico OP que representa o vetor.
i na reta: ‖ x ‖=
√
x2 =| x |
ii no plano: −→v = (x, y), ‖ −→v ‖=
√
x2 + y2
iii espaço: −→v = (x, y, z), ‖ −→v ‖=
√
x2 + y2 + z2
1.3 Produto Escalar
Definimos a adição e subtração de vetores e multiplicação de um vetor por
um escalar. Agora iremos definir uma operação de multiplicação de dois vetores,
chamada produto escalar.
Definição 1.3.1 Se −→v1 = (x1, y1, z1) e −→v2 = (x2, y2, z2), então o produto escalar
de −→v1 e −→v2 é dado por
−→v1 · −→v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Exemplo
(2, 3,−1) · (5, 1, 2) = 10 + 3− 2 = 11
Propriedades
Quaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e o escalar λ temos,
i) −→u · −→v = −→v · −→u
3
ii) −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
iii) (λ−→u ) · −→v = λ(−→u · −→v ) = −→u (λ−→v );
iv) −→u · −→u =‖ −→u ‖ 2
As demonstrações ficam como exerćıcios.
Nota 1.3.2 Sobre as posições relativas de duas retas, relembremos que:
1. Consideremos as retas r1 e r2, cujas equações paramétricas são
dadas,respectivamente, por (x, y) = t(a1, b1) e (x, y) = t(a2, b2),
2. Sabemos que r1 e r2 são perpendiculares se, e somente se, b1
a1
b2
a2
= 1, ou
a1a2 + b1b2 = 0, ou (a1, b1) · (a2, b2) = 0
Assim, temos a seguinte definição.
Definição 1.3.3 Dizemos que os vetores −→u e−→v são ortogonais (ou perpendicu-
lares) se, e somente se,
−→u · −→v = 0.
Interpretação geometrica do produto escalar
i) −→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα;
ii) seja −→w o vetor projeção do vetor −→v sobre o vetor −→u , então
‖ −→w ‖=‖ −→v ‖ cosα.
como,
−→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα
=‖ −→u ‖ (‖ −→v ‖ cosα)
=‖ −→u ‖‖ −→w ‖,
temos que o produto escalar de −→u e−→v é o comprimento de −→u multiplicado
pelo comprimento da projeção de −→v sobre −→u .
4
1.4 Retas no espaço
Definição 1.4.1 Dois vetores −→u e −→v são colineares ou paralelos se existe um
número r tal que −→u = r−→v .
i) Conhecidos um ponto e um vetor: P − P0 = t(P1 − P0)
P = (1− t)P0 + tP1.
Exemplos
Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (8, 12, 6), paralela
ao vetor −→v = (11, 8, 10).
P − P0 = t−→v
(x, y, z)− (8, 12, 6) = t(11, 8, 10)
(x, y, z) = (8, 12, 6) + t(11, 8, 10).
1.5 Planos no espaço
Equação de um plano por um ponto P0 = (x0, y0, z0), perpendicular a um
vetor −→v = (a, b, c).
P − P0 ⊥ −→v ,
isto é,
−→v · (P − P0) = 0,
ou
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,
ou
ax+ by + cz + d = 0.
Observações
i) Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem
paralelos;
ii) Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais
forem perpendiculares;
iii) -plano:ax+ by + cz + d = 0;−→η (a, b, c)
-plano:xy(z = 0);−→η = (0, 0, 1)
(a, b, c) · (0, 0, 1) = 0→ os dois planos são perpendiculares
Um plano tendo uma equação sem termo em z é perpendicular ao plano
xy e, portanto, paralelo ao eixo Oz.
5
iv) -plano:by + cz + d = 0
Perpendicular ao plano yz e portanto paralelo ao eixo Ox.
v) -plano: ax+ cz + d = 0
Perpendicular ao plano xz e portanto paralelo ao eixo Oy.
Exemplo
Determinar a reta interseção dos planos de equações
x− 2y + z − 1 = 0 e 3x+ y − 2z − 3 = 0.
Resolvendo o sistema de equações obtemos x = 1 + 3
7
zey = 5
7
z.
Assim, temos as equações parametricas,
x = 1 + 3
7
t; y = 5
7
t; z = t.
Trata-se da reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, 0) na direção do vetor
~v = (3
7
, 5
7
, 1).
Faça o mesmo para os planos de equações: z = −3x+ 4 e z = −2y + 1.
1.6 Bola aberta
Definição 1.6.1 Sejam a um ponto no Rn e r > 0 um número real. O conjunto
B(a; r) = {x ∈ Rn; ‖ x− a ‖ 0 e y > 0 é ponto interior de A;
ii) Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0 não é ponto interior de A.
Definição 1.7.2 Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for
ponto interior.
Exemplo
O conjunto A acima não é aberto.
1.8 Ponto de acumulação
Definição 1.8.1 Seja um subconjunto do R2 e seja (a, b) ∈ R2((a, b) pode per-
tencer ou não a A). Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola
de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) ∈ A com (x, y) 6= (a, b)
Observação
(a, b) é o ponto de acumulação de A se existirem pontos de A, distintosde
(a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.
Exemplos
(1) A = {(x, y) ∈ R2;x > 0 e y > 0}
(i) Toda (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 é o ponto de acumulação de A;
(ii) (−1
2
, 1) não é ponto de acumulação de A.
(2) A = {(1, 2), (−1, 0), (1, 3)} não admite ponto de acumulação.
7
Exerćıcios
1. Marcar, num sistema de coordenadas, os pontos:
(a) A = (2, 3, 4), B = (3, 2,−4), C = (−2, 1, 3);
(b) D = (−3, 2,−1), E = (−1,−2, 3), F = (−2,−1,−3).
2. Nos itens abaixo, os pontos dados são vertices opostos de um paralelepipedo
retângulo de arestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determinadas os
outros seis vértices e fazer gráficos em cada caso:
(a) A = (0, 1, 1) e B = (1, 0,−3);
(b) A = (1, 2, 1) e B = (0,−3,−1).
3. Calcular a norma do vetor dado:
(a) −→u = (1
2
);
(b) −→u = (0, 1, 2).
4. Calcular a distância entre os dois pontos dados:
A = (1
2
,−1, −1
3
) e (−1, 1
2
, −3
2
)
5. Dados A = (−4,−2, 4), B = (2, 7,−1)eC = (5, 4,−3) calcular:
(a) A · (B + C);
(b) (2A+ 3B) · (4C −D);
(c) (A ·B)(C ·D).
6. Determinar o ponto P tal que AP = 3AB, sendo A = (10, 3, 7) e B =
(2,−1, 5).
7. Determinar o ângulo entre os vetores dados:
(a) −→u = (1, 1, 1
2
) e −→v = (1, 1, 4);
(b) −→u = (−2, 1, 0) e −→v = (0,−3, 2)
8. Determinar as equações paramétricas da reta pelos pontos dados:
(a) A = (1,−2,−1) e B = (4,−1, 5);
(b) A =(1, 7, 3) e B = (−1, 7, 5).
10. Determinar as equações paramétricas da reta pela origem, perpendicular
ao plano de equação 2x− y + 3z − 6 = 0.
8
11. Determinar o ponto de interseção do plano de equação 2x− y− 3z− 4 = 0
com a reta pelo ponto (0, 1,−1), na direção do vetor (1,−2, 1).
12. NOs itens abaixo determinar equações paramétricas das retas interseções
dos planos dados:
(a) 2x− y − z − 1 = 0 e x+ y − 2z + 7 = 0;
(b) 2x− y + 5z = 0 e x+ y − 5z = 10;
(c) x = −4 e y = 5;
(d) x+ y = 0 e y + z = 0.
13. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja per-
pendicular à direção do vetor −→η dado:
(a) (1, 1, 1) e −→η = (2, 1, 3);
(b) ((2, 1,−1) e −→η = (−2, 1, 2).
14. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja
perpendicular ao plano dado:
(a) (0, 1,−1) e x+ 2y − z = 3;
(b) (2, 1,−1) e 2x+ y + 3z = 1.
15. Determine um vetor não nulo que seja ortogonal aos vetores −→u e −→v dados:
(a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (2, 1, 2);
(b) −→u = (3, 2,−1) e −→v = (−1, 2, 1).
16. Trace um esboço do plano com equação:
(a) 2x+ 4y + 3z = 8
(b) 3x+ 2y − 6z = 0
17. Encontre a equação do plano que contém o ponto (4, 0,−2) e é perpendic-
ular aos planos x− y + z = 0 e 2x+ y − 4z − 5 = 0
18. Verificar quais dos conjuntos abaixo são abertos em R2:
(a) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 3 e x2 + y2 0 e para todo (x, y) ∈ A tais que tx, ty ∈ A.
(a) Mostre que f(x, y) = x2 + 3xy é homogênea de grau 2.
14
(b) Suponha que f : R2 → R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para
todo (a, b) com a2 + b2 = 1. Calcule f(4
√
3, 4) e f(0, 3).
5. Desenhe as curvas de ńıvel e esboce o gráfico:
(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;
(b) f(x, y) = 1 + x2 + y2;
(c) f(x, y) = x2,−1 ≤ x ≤ 0, y ≥ 0;
(d) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e y ≤ 1;
(e) f(x, y) = x, x ≥ 0;
(f) f(x, y) = x+ 3y;
(g) g(x, y) =
√
1− x2 − y2;
(h) z =
√
x2 + y2;
(i) f(x, y) = 1√
1−x2−y2
6. Determine a imagem:
(a) f(x, y) = x− 2y;
(b) z = y
x−2
;
(c) z = 4x2 + y2.
15
16
Caṕıtulo 3
Limite e continuidade
3.1 Limite
Sejam f : A ⊂ R2 → R uma função, (x0, y0) um ponto de acumulação de A e
L um número real. Definimos
lim
(x,y)→(xo,y0)
f(x, y) = L
se, somente se,
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ A
0 0, existe δ > 0 tal que f(x, y)
permanece em (L− ε, L+ ε) quando (x, y), (x, y) 6= (x0, y0), varia na bola
aberta de centro (x0, y0) e raio δ.
(ii) Sempre que falarmos que f tem limite em (x0, y0) fica impĺıcito que (x0, y0)
é ponto de acumulação de Df .
Exemplos
(1) lim
(x,y)→(0,0)
2x+ 3y = 0
Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 0 e tomando δ = ε
5
,
0 0, | f(0, y)− L |≥ 1
2
para todo y 6= 0
Teorema 3.1.1 Se a função f tem limites diferentes quando (x, y) tende a
(x0, y0) através de dois conjuntos distintos de pontos que tem (x0, y0) como um
ponto de acumulação, então lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) não existe.
Exemplos
(1) f(x, y) = x2−y2
x2+y2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
x2
x2
= 1
(ii) S2 conjuntos de todos os pontos no eixo y
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
y→0
−y2
y2
= −1
Logo lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
não existe.
18
(2) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x lim
(x,y)→(0,0)
0
x4
= 0
(ii) S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x4 + x2
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x2 + 1
= 0
(iii) S3 conjunto de todos os pontos na parábola y = x2
lim
(x,y)→(0,0)
x4
x4 + x4
=
1
2
Assim lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
não existe.
Observação
As propriedades ja conhecidads de limites continuam válidas para fuções de
várias variáveis.
3.2 Continuidade
Sejam f : A ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ A um ponto de acumulação de A.
Dizemos que f é cont́ınua no ponto (x0, y0) se, somente se, as três condições
seguintes forem satisfeitas,
(i) f(x0, y0) existe;
(ii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe;
(iii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
Observação
As propriedades já conhecidas de continuidade continuam válidas para
funções de várias variáveis.
Exemplos
(1) f(x, y) = 2 lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
2 = 2 = f(x0, y0)(2) Discuta a continuidade de
f(x, y) =
 x2 + y2, se x2 + y2 ≥ 1;
0, se x2 + y2 1,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
x2 + y2 = x0
2 + y0
2 = f(x0, y0)
∗ x0
2 + y0
2 25.
Então, f é cont́ınua em todos os pontos de R2 para os quais x2+y2 > 25
20
Exerćıcios
1. Calcule, caso exista:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x sin
1
x2 + y2
;
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
;
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
;
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + 2x2y − y2 + 2;
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
;
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
2. Prove, usando a definição, que:
(a) lim
(x,y)→(x0,y0)
k = k;
(b) lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0.
3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f(x, y).Justifique a
resposta.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6;
(b) f(x, y) =

x−3y
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) = xy
sqrt16−x2−y2 ;
(d) f(x, y) = xln(x, y; )
(e) f(x, y) =

sin(x+y)
x+y
, se(x, y) 6= (0, 0);
1, se(x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) = ln x−y
x2+y2;
(g) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
.
21
4. f(x, y) =

xy2
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
é cont́ınua em (0, 0)? Justifique.
22
Caṕıtulo 4
Derivadas parciais
4.1 Derivadas parciais
Tratamos uma função de n variáveis como uma função de uma variável, var-
iando uma delas e mantendo as outras fixas; isto leva ao conceito de uma derivada
parcial.
Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df .
Fixado (y0) podemos considerar a função g de uma variável dada por
g(x) = f(x, y0)
.
A derivada da função g no ponto x0, caso exista, denomina-se derivada
parcial de f , em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se por ∂f
∂x
(x0, y0).
Assim,∂f
∂x
(x0, y0) = g′(x0) e temos,
∂f
∂x
(x0, y0) = g′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
,
ou seja,
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)− f(x0, y0)
x− x0
,
ou ainda,
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x
.
23
De modo análogo define-se derivada parcial de f em relação a y, no ponto
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
y→y0
f(x0, y)− f(x0, y0)
y − y0
,
ou
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)
∆y
,
Observações
(i) ∂f
∂x
(x, y) é a derivada, em relação a x, de f(x, y) mantendo-se y constante;
(ii) ∂f
∂y
(x, y) é a derivada, em relação a y, de f(x, y) mantendo-se x constante.
Exemplos
(1) f(x, y) = 2xy − 4y
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x, y)− f(x, y)
∆x
= lim
∆x→0
2(x+ ∆x)y − 4y − 2xy + 4y
∆x
= lim
∆x→0
2y∆x
∆x
= 2y
∂f
∂y
(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y + ∆y)− (f(x, y))
∆y
= lim
∆y→0
2x(y + ∆y)− 4(y + ∆)− 2xy + 4y
∆y
= lim
∆y→0
2xy + 2x∆y − 4y − 4∆y − 2xy + 4y
∆y
= lim
∆y→0
2x∆y − 4∆y
∆y
= 2x− 4
24
- para obter ∂f
∂x
(x, y) devemos olhar y como constante e derivar em
relação a x : ∂f
∂x
(x, y) = 2y
- para obter ∂f
∂y
(x, y) devemos olhar x como constante e derivar em
relação a y : ∂f
∂y
(x, y) = 2x− 4
(2) f(x, y) =

x3−y2
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
- se (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente
∂f
∂x
(x, y) =
3x2(x2 + y2)− (x3 − y2)2x
(x2 + y2)2
=
3x4 + 3x2y2 − 2x4 + 2xy2
(x2 + y2)2
=
x4 + 3x2y2 + 2xy2
(x2 + y2)2
∂f
∂y
(x, y) =
−2y(x2 + y2)− (x3 − y2)2y
(x2 + y2)2
=
−2x2y − 2x3 − 2x3y + 2y3
(x2 + y2)2
=
−2x2y − 2x3y
(x2 + y2)2
- Em (0, 0)
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0
= lim
x→0
x
x
= 1
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0
= lim
y→0
−1
y
,
que não existe.
25
- Interpretação geométrica
Suponhamos que z = f(x, y) admite derivadas parciais em (x0, y0) ∈ Df .
O gráfico da função g(x) = f(x, y0), no plano x′y′0z, é a interseção do plano
y = y0 com gráfico de f .
Então,∂f
∂x
(0, 0) é o coeficiente angular da reta tangente T a esta interseção
no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Observação
A existência de derivada parcial num ponto não implica a continuidade da
função neste ponto; por exemplo,
f(x, y) =

xy
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(i) f admite derivadas parciais em (0, 0):
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x
lim
x→0
0
x
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
x
lim
y→0
0
y
= 0
(ii) f não é cont́ınua em (0, 0):
– (a)S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
0 = 0
– (b)S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
x2
2x2
=
1
2
Como a existência de derivadas parciais não implica em continuidade temos
que ela não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade dado para
funções de uma variável.
Veremos agora qual é a boa generalização do conceito de diferenciabilidade
para funções de várias variáveis reais.
Exerćıcios
26
1. Determine as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4;
(b) z = cos(xy);
(c) f(x, y) = e−x
2−y2 ;
(d) z = x3+y2
x2+y2
;
(e) f(x, y) =

x+y4
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y;
(g) z = xyexy;
(h) g(x, y) = xy.
2. Dada f(x, y) =

x3+y3
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
encontre:
(a) ∂f
∂x
(0, 0)
(b) ∂f
∂y
(0, 0)
3. Encontre a declividade da reta tangente à curva de interseção da superficie
z = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto (2, 1, 5).
4. Dizemos que (x0, y0) é um ponto critico de f(x, y) se ∂f
∂y
(x0, y0) =
0.Determine, caso existam, os pontos cŕıticos da função dada:
(a) f(x, y) = x2 + y2;
(b) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y;
(c) f(x, y) = 2x+ y3;
(d) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y
(5.) Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 1, z > 0. Temos,
∂
∂x
(x2 + y2 + z2) =
∂1
∂x
2x+ 2z
∂z
∂x
= 0
27
∂z
∂x
=
−2x
2z
=
−x
y
=
−x√
1− x2 − y2
, x2 + y2se, e somente se,
existir um real a tal que
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h|
= 0
Observação
(i) f é diferenciável ⇔ f é derivável
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h|
= 0
⇔ lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
h
= 0
⇔ lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= a = f ′(x0)
(ii) f é diferenciável⇔ lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h|
= 0
h=x−x0︷︸︸︷⇔ existe uma reta
passando por x0 de equação f(x0) + a(x − x0) tal que a distância f(x) −
f(x0) − a(x − 0), entre a curva e a reta, tende a zero mais depressa que
h = (x− x0), ou seja, esta reta é tangente à curva no ponto (x0, f(x0)).
30
5.2 Função diferenciável
Uma função f : A ⊂ R2 → R é diferenciável em (x0, y0) se, e somente se,
existirem reais a e b tais que
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x, y)− ah− bk
||(h, k)||
- Interpretação geométrica
Façamos,h = x− x0, k = y − y0 e δ =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2
f é diferenciável ⇔
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y − y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
||(h, k)||
= 0
⇔ existe um plano passando por (x0, y0, f(x0, y0)) de equação Z = f(x0, y0)+
a(x− x0) + b(y− y0) tal que a distância f(x, y)−Z, entre a superficie e o plano,
ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tende a zero mais depressa que δ,
ou seja, este plano é tangente à superficie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Observações
(i) Se f for diferenciável em (x0, y0), f admitirá derivadas parciais neste ponto.
– Fazendo k = 0,
⇔ lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah
|h|
= 0
⇔ lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah
h
= 0
⇔ lim
h→0
f(x0 + h, y0)
h
= a =
∂f
∂x
(x0, y0)
– Fazendo h = 0, b = ∂f
∂y
(x0, y0)
(ii) A rećıproca é falsa.
Exemplos
(1) f(x, y) = x2y
∂f
∂x
(x, y) = 2xy; ∂f
∂y
(x, y) = x2
f(x+ h, y + k) = (x+ h)2(y + k)
= (x2 + 2xh+ h2)(y + k)
31
x2y + x2k + 2xyh+ 2xhk + yh2 + h2k
lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− ah− bk
||(h, k)||
lim
(h,k)→(0,0)
x2y + x2k + 2xyh+ yh2 + h2k − x2y − 2xyh− x2k√
h2 + k2
lim
(h,k)→(0,0)
2xhk + yh2 + h2k√
h2 + k2
lim
(h,k)→(0,0)
[2xh
k√
h2 + k2
+ yh
h√
h2 + k2
+ hk
h√
h2 + k2
] = 0
Então f é diferenciável em todo (x, y) ∈ R2.
(2) f(x, y) =

x3
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
; é diferenciável em (0, 0)
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0
lim
x→0
x
x
= 1
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0
= lim
y→0
0
y
= 0
lim
(h,k)→(0,0)
f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0)h− ∂f
∂y
(0, 0)k
√
h2 + k2
lim
(h,k)→(0,0)
h3
h2+k2
− h
√
h2 + k2
lim
(h,k)→(0,0)
h3 − h(h2 + k2)
(h2 + k2)
√
h2 + k2
lim
(h,k)→(0,0)
−hk2
(h2 + k2)
√
h2 + k2
– S1 conjuntos de todos os pontos no eixo h:
lim
h→0
−h3
2h2
√
2h2
= − 1
2
√
2
32
– s2 conjunto de todos os pontos na reta k = h:
lim
h→0
−h3
2h2
√
2h2
= lim
h→0
−h
2
√
2|h|
,
que não existe.
Então f não é diferenciável em (0, 0).
Teorema 5.2.1 Se f for diferenciável em (x0, y0) então será continua em
(x0, y0)
Observação
A rećıproca é falsa, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo
f(x, y) =

x3
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
Mostramos no exemplo (2) acima que esta função admite derivadas parciais
em (0, 0) e não é diferenciável, mas ela é continua, pois
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x
x2
x2 + y2
= 0 = f(0, 0)
5.3 Condição suficiente para diferenciabilidade
Teorema 5.3.1 Se as derivadas parciais de f : A ⊂ R2 → R existem e são
cont́ınuas num aberto, então f é diferenciável nesse aberto.
Exemplo
Seja f(x, y) = x2y; temos que ∂f
∂x
(x, y) = 2xy e ∂f
∂y
(x, y) = x2, que são cont́ı-
nuas em R2; e mostramos na página 33 que esta função é diferenciável.
5.4 Plano tangente
Definição 5.4.1 Seja f diferenciável no ponto (x0, y0). O plano
33
z = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0),
denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
5.5 Reta Normal
O plano tangente é perpendicular à direção do vetor
−→η = (
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0), 1)
Reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e é paralelo ao vetor (∗)
denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). A equação
de tal reta é,
(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0), 1), λ ∈ R
Exemplo
Dada f(x, y) = 3x2y − x, determine as equações do plano tangente e da reta
normal no ponto (1, 2, f(1, 2)).
(i) ∂f
∂x
(x, y) = 6xy − 1, ∂f
∂x
(1, 2) = 11
(ii) ∂f
∂y
(x, y) = 3x2, ∂f
∂y
(1, 2) = 3
(iii) f(1, 2) = 5
(iv) equação do plano tangente:
T (x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
z = 5 + 11(x− 1) + 3(y − 2)
z = 5 + 11x− 11 + 3y − 6
= −12 + 11x+ 3y
11x+ 3y − z − 12 = 0
(v) vetor normal: (11, 3,−1)
(vi) equação da reta normal:
(x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3,−1), λ ∈ R
34
5.6 Diferencial
Definimos a diferencial de f : R2 → R no ponto (x0, y0) como sendo a trans-
formação linear L : R2 → R dada por,
L(h, k) =
∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k
Observação
Em notação clássica: dz = ∂f
∂x
(x, y)dx+ ∂f
∂y
(x, y)dy
Interpretação geométrica
-equação do plano tangente:
T (x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos
T (x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k
T (x, y) = f(x0, y0) + L(h, k)
L(h, k) = T (x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0),
isto é, a diferencial é a variação que sofre o plano tangente quando se passa
do ponto (x0, y0) ao ponto (x0 + h, y0 + k)
Exemplo
Dada f(x, y) = x2y, calcule um valor aproximado para a variação ∆z quando
se passa se x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.
(i) ∂f
∂x
(x, y) = 2xy, ∂f
∂x
(x, y) = x2
(ii) dx = 0, 02, dy = 0, 01
dz = 2xydx+ x2dy
dz = 4 · 0, 02 + 1 · 0, 01
dz = 0, 09 ∼= ∆z
(iii) erro cometido: 0, 001204, pois
∆z = f(x+ dx, y + dy)− f(x, y)
= (x+ dx)2(y + dy)− x2y
= (1, 02)2 · 2, 01− 2 = 0, 091204
35
Exerćıcios
1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis:
(a) f(x, y) = xy
(b) f(x, y) = x+ y
(c) f(x, y) = x2 + y2
(d) f(x, y) = x2y2
2. f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.
(a) f(x, y) =

x2−y2
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =

x2y
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) =

x4
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
3. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável:
(a) f(x, y) =

xy
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =

x3
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) =

xy3
x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da
função dada, no ponto:
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1));
(b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1));
36
(c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1));
(d) f(x, y) = xy em (1
2
, 1
2
, f(1
2
, 1
2
))
5. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto
(1, 1, 3). Calcule ∂f
∂x
(1, 1) e ∂f
∂y
(1, 1)
6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao
gráfico de f(x, y) = x2 + y2, no ponto (1, 1, 2)
7. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente ao
gráfico de f(x, y) = x2 + xy, no ponto (−1, 1, 0)
8. Calcule a diferencial:
(a) z = x3y2
(b) z = sin(xy)
9. Seja z = xex
2−y2
(a) Calcule a diferencial de z
(b) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se
passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002
(c) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e
y = 1, 002.
10. Seja z =
√
x+ 3
√
y
(a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8);
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e
y = 7, 9
37
38
Caṕıtulo 6
Gradiente
6.1 Vetor gradiente
Definição 6.1.1 Seja z = f(x, y) uma função que admite derivdas parciais em
(x0, y0). O vetor,
∇f(x0, y0) = (
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0))
,
denomina-se gradiente de f em (x0, y0).
-Interpretaçãogeométrica
Seja f(x, y) = x2 + y2, então ∇f(x, y) = (2x, 2y).
• ∇f(
√
2
2
,
√
2
2
) = (
√
2,
√
2)
• ∇f(1, 0) = (2, 0)
Assim, temos que o vetor gradiente é um vetor normal à curva de ńıvel.
Observações
(i) O gradiente não é perpendicular ao gráfico, e nem poderia, pois ∇f ∈ R2;
já vimos que o vetor normal ao gráfico é (∂f
∂x
(x0, y0),∂f
∂y
(x0, y0),−1).
39
(ii) Para funções de uma variável real temos,
dy = f ′(x0)dx
para funções de duas variáveis reais, temos
dz =
∂f
∂x
(x0, y0)dx+
∂f
∂y
(x0, y0)dy
= (
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)) · (dx, dy)
Assim, se f é diferenciável em (x0, y0) definimos a derivada de f em (x0, y0)
por
f ′(x0, y0) = (
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)) = ∇f(x0, y0)
Exerćıcios
1. Calcule o gradiente de f;
(a) f(x, y) = x2y
(b) f(x, y) = ex
2−y2
(c) f(x, y) = x
y
40