Resolução Lista 2 - Calc4

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<p>Sumário</p><p>Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1 LISTA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1 Questão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.1 an = 1− (0, 2)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.2 an = 3+5n2</p><p>n+n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.3 an = e</p><p>1</p><p>n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.1.4 an = tg</p><p>(</p><p>2nπ</p><p>1+8n</p><p>)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.1.5 an = n2</p><p>√</p><p>n3+4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.1.6 an = (−1)nn</p><p>n2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.1.7 an = cos(n/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.1.8 an = (2n−1)!</p><p>(2n+1)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.1.9 an = en+e−n</p><p>e2n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.1.10 an = n2e−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.1.11 an = cos2(n)</p><p>2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.1.12 an = n sen</p><p>(</p><p>1</p><p>n</p><p>)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.1.13 an =</p><p>(</p><p>1 + 2</p><p>n</p><p>)n</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.1.14 an = ln(2n2 + 1)− ln(n2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.1.15 an = (ln(n))2</p><p>n</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.1.16 an = arctg(ln(n)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.1.17 {0,1,0,0,1,0,0,0,1,...} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.1.18 an = n!</p><p>2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.2 Questão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.2.1 ∑∞</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n+3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.2.2 ∑∞</p><p>n=1(−1)n n</p><p>n+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.2.3 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n22n−1</p><p>(−5)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.2.4 ∑∞</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n</p><p>√</p><p>ln(n)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.2.5 ∑∞</p><p>k=1 k</p><p>2e−k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.2.6 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(</p><p>1</p><p>n3 + 1</p><p>3n</p><p>)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.2.7 ∑∞</p><p>n=1</p><p>3nn2</p><p>n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.2.8 ∑∞</p><p>k=1</p><p>2k−13k+1</p><p>kk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.2.9 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n22n−1</p><p>(−5)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.2.10 ∑∞</p><p>n=0</p><p>n!</p><p>2·5·8···(3n+2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.2.11 ∑∞</p><p>n=2</p><p>(−1)n−1</p><p>√</p><p>n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.2.12 ∑∞</p><p>n=1(−1)n ln(n)√</p><p>n</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.2.13 ∑∞</p><p>n=1(−1)ncos( 1</p><p>n</p><p>) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.2.14 ∑∞</p><p>n=1 tg</p><p>(</p><p>1</p><p>n</p><p>)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.2.15 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n!</p><p>en2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.2.16 ∑∞</p><p>k=1</p><p>kln(k)</p><p>(k+1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.2.17 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)n</p><p>cosh(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.2.18 ∑∞</p><p>n=1</p><p>5n</p><p>3n+4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.2.19 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(</p><p>n</p><p>n+1</p><p>)n2</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>1.2.20 ∑∞</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n1+1/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.2.21 ∑∞</p><p>n=1( n</p><p>√</p><p>2− 1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.3 Questão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.3.1 ∑∞</p><p>n=1(−1)nnxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.3.2 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.3.3 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.3.4 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)nn2xn</p><p>2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>1.3.5 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−3)nxn</p><p>n</p><p>√</p><p>n</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>1.3.6 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)nxn</p><p>4nln(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>1.3.7 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(x−2)n</p><p>n2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.3.8 ∑∞</p><p>n=1</p><p>3n(x+4)n</p><p>√</p><p>n</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.3.9 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(x−2)n</p><p>nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>1.3.10 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n(x−a)n</p><p>bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>1.3.11 ∑∞</p><p>n=1</p><p>bn(x−a)n</p><p>ln(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>1.3.12 ∑∞</p><p>n=1 n!(2x− 1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>1.3.13 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(5x−4)n</p><p>n3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>1.3.14 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>1.3.5....(2n−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>1.3.15 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n!xn</p><p>1.3.5....(2n−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>1.4 Questão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>1.4.1 f(x) = 3</p><p>x2−x−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>1.4.2 f(x) = x+2</p><p>2x2−x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>1.5 Questão 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>1.5.1 f(x) = (1− x)−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>1.5.2 f(x) = sen(πx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>1.5.3 f(x) = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>1.5.4 f(x) = senh(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>1.6 Questão 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1.6.1 f(x) = x4 − 3x2 + 1 , a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1.6.2 f(x) = ln(x) , a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>1.6.3 f(x) = e2x , a = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>1.6.4 f(x) = cos(x) , a = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>1.7 Questão 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>1.7.1 y′′ − y = 0 , x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>1.7.2 y′′ − xy′ − y = 0 , x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>1.7.3 y′′ − xy′ − y = 0 , x0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>1.7.4 (1− x)y′′ + y = 0 , x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43</p><p>1.7.5 xy′′ + y′ + xy = 0 , x0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>1.8 Questão 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>1.8.1 y′′ + (x− 1)2y′ + (x2 − 1)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>1.9 Questão 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>1.9.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>1.9.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>1.10 Questão 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>1.10.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>1.10.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>1.10.3 (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>1.11 Questão 11 . . . . . . . . . .</p><p>y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>x2r(r−1)xr−2+3x(r)xr−1+5xr = 0 ∴ r(r−1)xr+3(r)xr+5xr = 0 ∴ xr [r(r − 1) + 3r + 5] = 0</p><p>(1.487)</p><p>Como é para qualquer x (não sendo x ponto singular) temos:</p><p>r(r − 1) + 3r + 5 = 0 ∴ r2 + 2r + 5 = 0 (1.488)</p><p>Aplicando Bhaskara temos:</p><p>r = −2±</p><p>√</p><p>4− 20</p><p>2 = −2±</p><p>√</p><p>−16</p><p>2 = −1± 2i (1.489)</p><p>Assim temos que a solução geral é da forma:</p><p>y(x) = |x|−1 [c1cos ( 2ln |x| ) + c2sen ( 2ln |x| )] (1.490)</p><p>1.13.3 x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma potência de x, assim sendo temos:</p><p>y = xr e y′ = rxr−1 e y′′ = r(r − 1)xr−2 (1.491)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>x2r(r−1)xr−2−5x(r)xr−1+9xr = 0 ∴ r(r−1)xr−5(r)xr+9xr = 0 ∴ xr [r(r − 1)− 5r + 9] = 0</p><p>(1.492)</p><p>Como é para qualquer x (não sendo x ponto singular) temos:</p><p>r(r − 1)− 5r + 9 = 0 ∴ r2 − 6r + 9 = 0 (1.493)</p><p>Aplicando Bhaskara temos:</p><p>r = 6±</p><p>√</p><p>36− 36</p><p>2 = 6</p><p>2 = 3 (1.494)</p><p>Assim temos que a solução geral é da forma:</p><p>y(x) = (c1 + c2ln |x|) |x|3 (1.495)</p><p>1.14 Questão 14</p><p>1.14.1 2x2y′′ + xy′ − 3y = 0 , y(1) = 1 , y′(1) = 4</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma potência de x, assim sendo temos:</p><p>y = xr e y′ = rxr−1 e y′′ = r(r − 1)xr−2 (1.496)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>2x2r(r−1)xr−2+x(r)xr−1−3xr = 0 ∴ 2r(r−1)xr+(r)xr−3xr = 0 ∴ xr [2r(r − 1) + r − 3] = 0</p><p>(1.497)</p><p>Como é para qualquer x (não sendo x ponto singular) temos:</p><p>2r(r − 1) + r − 3 = 0 ∴ 2r2 − r − 3 = 0 (1.498)</p><p>Aplicando Bhaskara temos:</p><p>r = 1±</p><p>√</p><p>1 + 24</p><p>4 = 1± 5</p><p>4 (1.499)</p><p>Assim temos que a solução geral é da forma:</p><p>y(x) = c1 |x|</p><p>3</p><p>2 + c2 |x|−1 (1.500)</p><p>Pelas condições de contorno temos:</p><p>y(1) = 1 = c1(1) 3</p><p>2 + c2(1)−1 = c1 + c2 (1.501)</p><p>E:</p><p>y′(1) = 4 = 3</p><p>2c1(1) 1</p><p>2 − c2(1)−2 = 3</p><p>2c1 − c2 (1.502)</p><p>Assim resolvendo esse sistema de duas equações e duas icógnitas temos:</p><p>c1 = 2 e c2 = −1 (1.503)</p><p>Assim temos:</p><p>y(x) = 2 |x|</p><p>3</p><p>2 − |x|−1 (1.504)</p><p>1.14.2 x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0 , y(1) = 1, y′(1) = −1</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma potência de x, assim sendo temos:</p><p>y = xr e y′ = rxr−1 e y′′ = r(r − 1)xr−2 (1.505)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>x2r(r−1)xr−2+3x(r)xr−1+5xr = 0 ∴ r(r−1)xr+3(r)xr+5xr = 0 ∴ xr [r(r − 1) + 3r + 5] = 0</p><p>(1.506)</p><p>Como é para qualquer x (não sendo x ponto singular) temos:</p><p>r(r − 1) + 3r + 5 = 0 ∴ r2 + 2r + 5 = 0 (1.507)</p><p>Aplicando Bhaskara temos:</p><p>r = −2±</p><p>√</p><p>4− 20</p><p>2 = −2±</p><p>√</p><p>−16</p><p>2 = −1± 2i (1.508)</p><p>Assim temos que a solução geral é da forma:</p><p>y(x) = |x|−1 [c1cos ( 2ln |x| ) + c2sen ( 2ln |x| )] (1.509)</p><p>Pelas condições de contorno temos:</p><p>y(1) = 1 = |1|−1 [c1cos ( 2ln |1| ) + c2sen ( 2ln |1| )] = (1) [c1cos(0) + c2sen(0)] = c1</p><p>(1.510)</p><p>E:</p><p>y′(1) = −1 = − |1|−2 [cos ( 2ln |1| ) + c2sen ( 2ln |1| )]+|1|−1 [−2sen ( 2ln |1| ) + 2c2cos ( 2ln |1| )]</p><p>(1.511)</p><p>y′(1) = − |1|−2 [1 + c2(0)] + [−2(0) + 2c2(1)] = −1 + 2c2 = −1 (1.512)</p><p>Assim temos:</p><p>y(x) = |x|−1 [cos ( 2ln |x| )] (1.513)</p><p>1.15 Questão 15</p><p>1.15.1 2xy′′ + y′ + xy = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = 2x e que x = 0 é ponto singular! (1.514)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = 1 e R(x) = x (1.515)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 0):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x) 1</p><p>2x = 1</p><p>2 (1.516)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x)2 x</p><p>2x = 0 (1.517)</p><p>Logo, x = 0 é um ponto singular regular!</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r (1.518)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r−1 (1.519)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)anxn+r−2 (1.520)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(1− x2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r− 1)(n+ r)anxn+r−2 − 2x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r−1 + α(α+ 1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r = 0</p><p>(1.521)</p><p>1.15.2 x2y′′ + xy′ + (x2 − 1</p><p>9)y = 0</p><p>1.16 Questão 16</p><p>Seja:</p><p>(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0 (1.522)</p><p>1.16.1 (a)</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = 1− x2 e que x = −1 e x = 1 são pontos singulares! (1.523)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = −2x e R(x) = α(α + 1) (1.524)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = −1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→−1</p><p>(x+ 1) −2x</p><p>1− x2 = lim</p><p>x→−1</p><p>2x</p><p>x− 1 = 1 (1.525)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→−1</p><p>(x+ 1)2α(α + 1)</p><p>1− x2 = lim</p><p>x→−1</p><p>−α(α + 1)(x+ 1)</p><p>x− 1 = 0 (1.526)</p><p>Logo, x = −1 é um ponto singular regular! Queremos testar se existem os limites</p><p>(para xsingular = 1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1) −2x</p><p>1− x2 = lim</p><p>x→1</p><p>2x</p><p>x+ 1 = 1 (1.527)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2α(α + 1)</p><p>1− x2 = lim</p><p>x→1</p><p>−α(α + 1)(x− 1)</p><p>x+ 1 = 0 (1.528)</p><p>Logo, x = 1 é um ponto singular regular!</p><p>1.16.2 (b)</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n+r =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+r (1.529)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)antn+r−1 (1.530)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)antn+r−2 (1.531)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(1− x2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r− 1)(n+ r)anxn+r−2 − 2x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r−1 + α(α+ 1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r = 0</p><p>(1.532)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r−2−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r−2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+r)anxn+r+α(α+1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r = 0</p><p>(1.533)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)anxn+r = −</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ r − 3)(n+ r − 2)an−2x</p><p>n+r−2 (1.534)</p><p>−2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r = −2</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ r − 2)an−2x</p><p>n+r−2 (1.535)</p><p>α(α + 1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r = α(α + 1)</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>an−2x</p><p>n+r−2 (1.536)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r−2 = [(r−1)r]a0x</p><p>r−2+[(r+1)r]a1x</p><p>r−1+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r−2</p><p>(1.537)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>[r2 − r]a0x</p><p>r−2 + [r2 + r]a1x</p><p>r−1 + ... (1.538)</p><p>...+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[−(n+ r − 3)(n+ r − 2)an−2 − 2(n+ r − 2)an−2 + α(α + 1)an−2 + (n+ r − 1)(n+ r)an]xr+n−2 = 0</p><p>(1.539)</p><p>[r2]a0x</p><p>r + [r2 + 2r + 1]a1x</p><p>r+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[an−2 + (n+ r)(n+ r)an]xr+n = 0 (1.540)</p><p>Para a0 obtemos:</p><p>[(r − 1)r + r] = [r2 − r + r] = 0 ∴ r2 = 0 ∴ r1 = r2 = 0 (1.541)</p><p>Para a1 obtemos:</p><p>[(r + 1)r + (r + 1)] = [r2 + 2r + 1] = 0 ∴ r1 = r2 = −1 (1.542)</p><p>Porém fazemos a1 = 0, assim:</p><p>[r2]a0x</p><p>r +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[an−2 + (n+ r)(n+ r)an]xr+n = 0 (1.543)</p><p>Com equação indicial:</p><p>an = − an−2</p><p>(n+ r)(n+ r) , n = 2, 4, 6, 8, ... (1.544)</p><p>1.16.3 (c)</p><p>1.17 Questão 17</p><p>Seja:</p><p>x2y′′ + xy′ + x2y = 0 (1.545)</p><p>1.17.1 (a)</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = x2 e que x = 0 é ponto singular! (1.546)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = x e R(x) = x2 (1.547)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 0):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x) x</p><p>x2 = lim</p><p>x→0</p><p>1 = 1 (1.548)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x)2x</p><p>2</p><p>x2 = lim</p><p>x→0</p><p>x2 = 0 (1.549)</p><p>Logo, x = 1 é um ponto singular regular!</p><p>1.17.2 (b)</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r (1.550)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r−1 (1.551)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)anxn+r−2 (1.552)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>x2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)anxn+r−2 + x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r−1 + x2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r = 0 (1.553)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r − 1)(n+ r)anxn+r +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r+2 = 0 (1.554)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r+2 =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>an−2x</p><p>n+r (1.555)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r = [(r−1)r]a0x</p><p>r+[(r+1)r]a1x</p><p>r+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+r−1)(n+r)anxn+r</p><p>(1.556)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ r)anxn+r = ra0x</p><p>r + (r + 1)a1x</p><p>r+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ r)anxn+r (1.557)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>[(r−1)r+r]a0x</p><p>r+[(r+1)r+(r+1)]a1x</p><p>r+1+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[an−2 + (n+ r − 1)(n+ r)an + (n+ r)an]xr+n = 0</p><p>(1.558)</p><p>[r2]a0x</p><p>r + [r2 + 2r + 1]a1x</p><p>r+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[an−2 + (n+ r)(n+ r)an]xr+n = 0 (1.559)</p><p>Para a0 obtemos:</p><p>[(r − 1)r + r] = [r2 − r + r] = 0 ∴ r2 = 0 ∴ r1 = r2 = 0 (1.560)</p><p>Para a1 obtemos:</p><p>[(r + 1)r + (r + 1)] = [r2 + 2r + 1] = 0 ∴ r1 = r2 = −1 (1.561)</p><p>Porém fazemos a1 = 0, assim:</p><p>[r2]a0x</p><p>r +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[an−2 + (n+ r)(n+ r)an]xr+n = 0 (1.562)</p><p>Com equação indicial:</p><p>an = − an−2</p><p>(n+ r)(n+ r) , n = 2, 4, 6, 8, ... (1.563)</p><p>1.17.3 (c)</p><p>Como r1 = r2 = 0, temos:</p><p>an = −an−2</p><p>n2 , n = 2, 4, 6, 8, ... (1.564)</p><p>n = 2:</p><p>a2 = −a0</p><p>4 = − a0</p><p>22(1!)2 (1.565)</p><p>n = 4:</p><p>a4 = −a2</p><p>16 = a0</p><p>16.4 = a0</p><p>24.(2!)2 (1.566)</p><p>n = 6:</p><p>a6 = −a4</p><p>36 = − a0</p><p>36.16.4 = − a0</p><p>26.(3!)2 (1.567)</p><p>n = 8:</p><p>a8 = −a6</p><p>64 = a0</p><p>64.36.16.4 = a0</p><p>28.(4!)2 (1.568)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>y = a0x</p><p>0 + a0</p><p>∞∑</p><p>n=2,4,6,...</p><p>(−1)n</p><p>2</p><p>xn</p><p>2n(n2 !)2 = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)2n x2n</p><p>22n(n!)2 (1.569)</p><p>Tomando a0 como 1, temos que:</p><p>y = 1 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)2n x2n</p><p>22n(n!)2 = J0 (1.570)</p><p>Pelo Teste da Razão (ou pelo Teste da Raiz) podemos descobrir o raio de conver-</p><p>gência de nossa resposta (deve dar ’∞’)!!</p><p>Sumário</p><p>Lista 2</p><p>Questão 1</p><p>an = 1-(0,2)n</p><p>an = 3 + 5n2n+n2</p><p>an = e1n</p><p>an = tg( 2n1+8n )</p><p>an = n2n3+4n</p><p>an = (-1)nnn2+1</p><p>an = cos(n/2)</p><p>an = (2n-1)!(2n+1)!</p><p>an = en+e-ne2n-1</p><p>an = n2e-n</p><p>an = cos2(n)2n</p><p>an = n sen( 1n )</p><p>an = ( 1 + 2n )n</p><p>an = ln(2n2+1) - ln(n2+1)</p><p>an = (ln (n))2n</p><p>an = arctg(ln(n))</p><p>{0,1,0,0,1,0,0,0,1,...}</p><p>an = n!2n</p><p>Questão 2</p><p>n=1 1n+3n</p><p>n=1 (-1)nnn+2</p><p>n=1 n22n-1(-5)n</p><p>n=2 1nln(n)</p><p>k=1 k2e-k</p><p>n=1( 1n3 + 13n )</p><p>n=1 3nn2n!</p><p>k=1 2k-13k+1kk</p><p>n=1 n22n-1(-5)n</p><p>n=0 n!258(3n+2)</p><p>n=2 (-1)n-1n-1</p><p>n=1 (-1)nln(n)n</p><p>n=1 (-1)ncos(1n)</p><p>n=1 tg ( 1n )</p><p>n=1 n!en2</p><p>k=1 kln(k)(k+1)3</p><p>n=1 (-1)ncosh(n)</p><p>n=1 5n3n+4n</p><p>n=1 ( nn+1 )n2</p><p>n=1 1n1+1/n</p><p>n=1 ([n]2-1)n</p><p>Questão 3</p><p>n=1 (-1)nnxn</p><p>n=1 xn2n+1</p><p>n=1 xnn!</p><p>n=1 (-1)nn2xn2n</p><p>n=1 (-3)nxnnn</p><p>n=1 (-1)nxn4nln (n)</p><p>n=1 (x-2)nn2+1</p><p>n=1 3n(x+4)nn</p><p>n=1 (x-2)nnn</p><p>n=1 n(x-a)nbn</p><p>n=1 bn(x-a)nln (n)</p><p>n=1 n!(2x-1)n</p><p>n=1 (5x-4)nn3</p><p>n=1 xn1.3.5....(2n-1)</p><p>n=1 n!xn1.3.5....(2n-1)</p><p>Questão 4</p><p>f(x) = 3x2-x-2</p><p>f(x) = x+22x2-x-1</p><p>Questão 5</p><p>f(x) = (1-x)-2</p><p>f(x) = sen (x)</p><p>f(x) = 2x</p><p>f(x) = senh (x)</p><p>Questão 6</p><p>f(x) = x4 - 3x2+ 1 , a = 1</p><p>f(x) = ln (x) , a = 2</p><p>f(x) = e2x , a = 3</p><p>f(x) = cos(x) , a =</p><p>Questão 7</p><p>y'' - y = 0 , x0 = 0</p><p>y'' - x y' - y = 0 , x0 = 0</p><p>y'' - x y' - y = 0 , x0 = 1</p><p>(1-x) y'' + y = 0 , x0 = 0</p><p>xy'' + y' + xy = 0 , x0 = 1</p><p>Questão 8</p><p>y'' + (x-1)2y' + (x2-1)y = 0</p><p>Questão 9</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Questão 10</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>Questão 11</p><p>Questão 12</p><p>xy'' + (1-x)y' + xy = 0</p><p>x2(1-x)2y'' + 2xy' + 4y = 0</p><p>x2(1-x)y'' + (x-2)y' + 3xy = 0</p><p>x2(1-x2)y'' + (2x)y' + 4y = 0</p><p>(1-x2)2y'' +x(1-x)y' + (1+x)y = 0</p><p>Questão 13</p><p>(x+1)2y'' + 3(x+1)y' + (0.75)y = 0</p><p>x2y'' + 3xy' + 5y = 0</p><p>x2y'' - 5xy' + 9y = 0</p><p>Questão 14</p><p>2x2y'' + xy' - 3y = 0 , y(1) = 1 , y'(1) = 4</p><p>x2y'' + 3xy' + 5y = 0 , y(1) = 1, y'(1) = -1</p><p>Questão 15</p><p>2xy'' + y' + xy = 0</p><p>x2y'' + xy' + (x2-19) y = 0</p><p>Questão 16</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>Questão 17</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>1.12 Questão 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</p><p>1.12.1 xy′′ + (1− x)y′ + xy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</p><p>1.12.2 x2(1− x)2y′′ + 2xy′ + 4y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58</p><p>1.12.3 x2(1− x)y′′ + (x− 2)y′ + 3xy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>1.12.4 x2(1− x2)y′′ + ( 2</p><p>x</p><p>)y′ + 4y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>1.12.5 (1− x2)2y′′ + x(1− x)y′ + (1 + x)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>1.13 Questão 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>1.13.1 (x+ 1)2y′′ + 3(x+ 1)y′ + (0.75)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>1.13.2 x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>1.13.3 x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>1.14 Questão 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>1.14.1 2x2y′′ + xy′ − 3y = 0 , y(1) = 1 , y′(1) = 4 . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>1.14.2 x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0 , y(1) = 1, y′(1) = −1 . . . . . . . . . . . . . . 64</p><p>1.15 Questão 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>1.15.1 2xy′′ + y′ + xy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>1.15.2 x2y′′ + xy′ + (x2 − 1</p><p>9)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>1.16 Questão 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>1.16.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>1.16.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>1.16.3 (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>1.17 Questão 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>1.17.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>1.17.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>1.17.3 (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>1 Lista 2</p><p>1.1 Questão 1</p><p>1.1.1 an = 1− (0, 2)n</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 1 + (0, 2)x (1.1)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.2)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>[1 + (0, 2)x] = lim</p><p>x→∞</p><p>1 + lim</p><p>x→∞</p><p>(0, 2)x = 1 + 0 = 1 (1.3)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 1 (1.4)</p><p>1.1.2 an = 3+5n2</p><p>n+n2</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 3 + 5x2</p><p>x+ x2 (1.5)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.6)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>3 + 5x2</p><p>x+ x2 = lim</p><p>x→∞</p><p>x2( 3</p><p>x2 + 5)</p><p>x2( 1</p><p>x</p><p>+ 1) = 1(0 + 5)</p><p>1(0 + 1) = 5</p><p>1 = 5 (1.7)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 5 (1.8)</p><p>1.1.3 an = e</p><p>1</p><p>n</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = e</p><p>1</p><p>x (1.9)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.10)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>e</p><p>1</p><p>x = elimx→∞</p><p>1</p><p>x = e0 = 1 (1.11)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 1 (1.12)</p><p>1.1.4 an = tg</p><p>( 2nπ</p><p>1+8n</p><p>)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = tg</p><p>( 2xπ</p><p>1 + 8x</p><p>)</p><p>(1.13)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.14)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>tg</p><p>( 2xπ</p><p>1 + 8x</p><p>)</p><p>= tg</p><p>(</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>2xπ</p><p>x( 1</p><p>x</p><p>+ 8)</p><p>)</p><p>(1.15)</p><p>tg</p><p>( 2π</p><p>0 + 8</p><p>)</p><p>= tg</p><p>(</p><p>π</p><p>4</p><p>)</p><p>= 1 (1.16)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 1 (1.17)</p><p>1.1.5 an = n2</p><p>√</p><p>n3+4n</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x2</p><p>√</p><p>x3 + 4x</p><p>(1.18)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.19)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>x2</p><p>√</p><p>x3 + 4x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>x4</p><p>x3 + 4x (1.20)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>√√√√ x4</p><p>x3(1 + 4</p><p>x2 ) = lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>x</p><p>(1 + 0) = lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>x = +∞ (1.21)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ +∞ (1.22)</p><p>Então temos que (an) diverge.</p><p>1.1.6 an = (−1)nn</p><p>n2+1</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x</p><p>x2 + 1 (1.23)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a |an| quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.24)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>x2 + 1 = lim</p><p>x→∞</p><p>x</p><p>x2(1 + 1</p><p>x2 ) = lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>x(1 + 1</p><p>x2 ) = 0 (1.25)</p><p>Como |(an)| converge temos que (an) converge (será?). Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.26)</p><p>1.1.7 an = cos(n/2)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = cos(x/2) (1.27)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.28)</p><p>Mas, como ’estamos’ nos reais (R) sabemos que nossa ’base’ é infinita, ou seja,</p><p>dado um número a sempre existirá um número b tal que b > a. Assim teremos:</p><p>Seja um número x1 tal que:</p><p>x1 = 2mπ , com m ε N (1.29)</p><p>Podendo m ser tão alto quanto se queira, teremos necessariamente:</p><p>f(x1) = cos(x1/2) = cos</p><p>(2mπ</p><p>2</p><p>)</p><p>= cos(mπ) = (−1)m (1.30)</p><p>Mas, como ’estamos’ nos (R) sabemos que sempre existirá x2 tal que:</p><p>x2 > x1 (1.31)</p><p>Com:</p><p>x2 = (2k + 1)π , com k ε N (1.32)</p><p>E teremos necessariamente:</p><p>f(x2) = cos(x2/2) = cos</p><p>[</p><p>(2m+ 1)π</p><p>2</p><p>]</p><p>= 0 (1.33)</p><p>Podemos aplicar o mesmo raciocínio para os números naturais, pois sempre</p><p>existirá a (ε N) com a > x1 e analogamente sempre existirá b (ε N) com b > x2. Segundo</p><p>o que vemos, mesmo que f(x) vá para 1 existe sempre um número seguinte tal que f(x)</p><p>vá dar 0 ou −1 (ou próximo disso, se estivermos nos naturais).</p><p>Assim temos que (an) diverge.</p><p>1.1.8 an = (2n−1)!</p><p>(2n+1)!</p><p>Temos que:</p><p>an = (2n− 1)!</p><p>(2n+ 1)! = (2n− 1)!</p><p>(2n+ 1)(2n)(2n− 1)! = 1</p><p>(2n+ 1)(2n) (1.34)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 1</p><p>(2x+ 1)(2x) (1.35)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.36)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>(2x+ 1)(2x) = 0 (1.37)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.38)</p><p>1.1.9 an = en+e−n</p><p>e2n−1</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = ex + e−x</p><p>e2x − 1 (1.39)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.40)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>ex + e−x</p><p>e2x − 1 = lim</p><p>x→∞</p><p>ex + e−x</p><p>e2x(1− 1</p><p>e2x ) (1.41)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>e−x + e−3x</p><p>(1− 1</p><p>e2x ) = 0 (1.42)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.43)</p><p>1.1.10 an = n2e−n</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x2e−x (1.44)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.45)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>x2e−x = lim</p><p>x→∞</p><p>x2</p><p>ex</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2x</p><p>ex</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2</p><p>ex</p><p>= 0 (1.46)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.47)</p><p>1.1.11 an = cos2(n)</p><p>2n</p><p>Temos que:</p><p>|cos(x)| ≤ 1 (1.48)</p><p>|x|2 = x2 ∴ cos2(x) ≤ 12 = 1 (1.49)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = cos2x</p><p>2x (1.50)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N. Então:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.51)</p><p>Como:</p><p>cos2(x) ≤ 1 ∴ 0 ≤ cos2(x) ≤ 1 ∴</p><p>0</p><p>2x ≤</p><p>cos2x</p><p>2x ≤ 1</p><p>2x (1.52)</p><p>Como:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>0</p><p>2x = 0 (1.53)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>2x = 0 (1.54)</p><p>Então pelo Teorema do Confronto:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>cos2x</p><p>2x = 0 (1.55)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.56)</p><p>1.1.12 an = n sen</p><p>( 1</p><p>n</p><p>)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = xsen</p><p>(1</p><p>x</p><p>)</p><p>(1.57)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.58)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>xsen</p><p>(1</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>1</p><p>x</p><p>sen(x) = lim</p><p>x→0</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>cos(x)</p><p>1 = 1</p><p>1 = 1 (1.59)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 1 (1.60)</p><p>1.1.13 an =</p><p>(</p><p>1 + 2</p><p>n</p><p>)n</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) =</p><p>(</p><p>1 + 2</p><p>x</p><p>)x</p><p>(1.61)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.62)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>(</p><p>1 + 2</p><p>x</p><p>)x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>eln(1+ 2</p><p>x)x</p><p>= elimx→∞ xln(1+ 2</p><p>x) (1.63)</p><p>e</p><p>limx→∞</p><p>ln(x+2</p><p>x )</p><p>1</p><p>x = e</p><p>limx→∞</p><p>−2</p><p>x(x+2)</p><p>−1</p><p>x2 = e</p><p>limx→∞</p><p>2x2</p><p>x2+2x = e2 (1.64)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ e2 (1.65)</p><p>1.1.14 an = ln(2n2 + 1)− ln(n2 + 1)</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = ln(2x2 + 1)− ln(x2 + 1) = ln</p><p>(</p><p>2x2 + 1</p><p>x2 + 1</p><p>)</p><p>(1.66)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.67)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>ln</p><p>(</p><p>2n2 + 1</p><p>n2 + 1</p><p>)</p><p>= ln</p><p>(</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>2n2 + 1</p><p>n2 + 1</p><p>)</p><p>(1.68)</p><p>ln</p><p>(</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>n2(2 + 1</p><p>n2 )</p><p>n2(1 + 1</p><p>n2 )</p><p>)</p><p>= ln</p><p>(</p><p>(2 + 0)</p><p>(1 + 0)</p><p>)</p><p>= ln(2) (1.69)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ ln(2) (1.70)</p><p>1.1.15 an = (ln(n))2</p><p>n</p><p>Seja f(x) uma</p><p>função nos R, onde:</p><p>f(x) = (ln(x))2</p><p>x</p><p>(1.71)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.72)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>(ln(x))2</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2ln(x)</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2</p><p>x</p><p>= 0 (1.73)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ 0 (1.74)</p><p>1.1.16 an = arctg(ln(n))</p><p>Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = arctg(ln(x)) (1.75)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.76)</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>arctg(ln(x)) = arctg( lim</p><p>x→∞</p><p>ln(x)) = arctg(+∞) = π</p><p>2 (1.77)</p><p>Assim:</p><p>(an)→ π</p><p>2 (1.78)</p><p>1.1.17 {0,1,0,0,1,0,0,0,1,...}</p><p>Podemos ver que a série não converge, pois, fica trocando de valor entre 0 e 1</p><p>sem tender para nenhum valor, uma vez que sempre depois de muitos zeros aparece um 1.</p><p>Assim temos que (an) diverge.</p><p>1.1.18 an = n!</p><p>2n</p><p>Trocar por uma função não é viável, uma vez que não sabemos ao certo qual função</p><p>representaria o fatorial. Assim precisamos ver se a nossa série cresce ou descresce e se ela</p><p>é limitada, pois, sendo ilimitada ela diverge (será?). Então:</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= (n+ 1)!</p><p>2n+1</p><p>2n</p><p>n! = (n+ 1)(n)!</p><p>2n+1</p><p>2n</p><p>n! = n+ 1</p><p>2 (1.79)</p><p>Onde caso n > 1 vemos que an+1</p><p>an</p><p>vai ser maior que 1. Assim vemos que para n > 1 a</p><p>sequência cresce e além do mais não é limitada.</p><p>Caso fosse limitada teríamos:</p><p>an < M , para todo n ε N e algum M ε R (1.80)</p><p>Então teríamos que:</p><p>n!</p><p>2n < M ∴ n! < M(2n) (1.81)</p><p>Como é para todo n ε N. Escolhemos n = m com:</p><p>m > M , M ε R (1.82)</p><p>Podemos fazer essa escolha uma vez que M é um número definido e m vai existir</p><p>(será?). Então teremos:</p><p>m! < M2m (1.83)</p><p>Mas:</p><p>m! = m(m− 1)! > M(m− 1)! , pois m > M (1.84)</p><p>Podemos provar, por indução, que para m suficientemente grande (m ≥ 6) teremos</p><p>(m − 1)! > 2m e assim nós chegaríamos em um absurdo, pois teríamos (aplicando</p><p>Equação 1.83 e Equação 1.84):</p><p>m! > M(m− 1)! > M2m (1.85)</p><p>m! < M2m (1.86)</p><p>Assim vemos que é impossível que an seja limitada, então vemos que an diverge</p><p>(an é crescente e não é limitada).</p><p>1.2 Questão 2</p><p>1.2.1 ∑∞</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n+3n</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Podemos ver isso claramente, pois é uma fração com o numerador constante. Com um</p><p>pouco de atenção observamos que:</p><p>1</p><p>n+ 3n <</p><p>1</p><p>3n , uma vez que diminuímos o denominador (1.87)</p><p>1</p><p>3n =</p><p>(1</p><p>3</p><p>)n</p><p>∴</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n+ 3n <</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(1</p><p>3</p><p>)n</p><p>(1.88)</p><p>Assim vemos que nossa série converge (r = 1</p><p>3 e a = 1) pelo Teste da Comparação,</p><p>uma vez que a série geométrica converge para |r| < 1.</p><p>1.2.2 ∑∞</p><p>n=1(−1)n n</p><p>n+2</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Podemos ver que nesse caso não irá, pois:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>n+ 2 = lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>n(1 + 2</p><p>n</p><p>) = lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>(1 + 2</p><p>n</p><p>) = 1 (1.89)</p><p>Assim nossa série diverge, pois necessariamente para convergir o termo geral (an)</p><p>deveria ir pra zero (será?).</p><p>1.2.3 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n22n−1</p><p>(−5)n</p><p>Primeiro precisamos rearranjar nossa série para nos pertir uma visualização melhor,</p><p>assim:</p><p>n22n−1</p><p>(−5)n = 1</p><p>2</p><p>n22n</p><p>(−5)n = 1</p><p>2n</p><p>2</p><p>( 2</p><p>−5</p><p>)n</p><p>(1.90)</p><p>Depois precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Portanto, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x2</p><p>( 2</p><p>−5</p><p>)x</p><p>(1.91)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.92)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>x2</p><p>(2</p><p>5</p><p>)x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>x2(</p><p>5</p><p>2</p><p>)x (1.93)</p><p>1</p><p>ln(5</p><p>2) lim</p><p>x→∞</p><p>2x(</p><p>5</p><p>2</p><p>)x =</p><p>(</p><p>1</p><p>ln(5</p><p>2)</p><p>)2</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>2(</p><p>5</p><p>2</p><p>)x = 0 (1.94)</p><p>Assim vemos que o nosso termo geral vai pra zero (no limite). Usaremos o teste</p><p>da razão com módulo para sabermos se a série vai convergir ou não, pois caso convirja</p><p>absolutamente também vai convergir condicionalmente (será?), assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)2</p><p>(2</p><p>5</p><p>)n+1 1</p><p>n2</p><p>(5</p><p>2</p><p>)n</p><p>= lim</p><p>n→∞</p><p>(</p><p>n+ 1</p><p>n</p><p>)2 2</p><p>5 →</p><p>2</p><p>5 < 1 (1.95)</p><p>Logo, nossa série converge!</p><p>1.2.4 ∑∞</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n</p><p>√</p><p>ln(n)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Podemos ver isso claramente, pois é uma fração com o numerador constante. Podemos</p><p>fazer o Teste da Integral. Seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 1</p><p>x</p><p>√</p><p>ln(x)</p><p>(1.96)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N. Assim, pelo Teste da Integral</p><p>temos:</p><p>∫ ∞</p><p>1</p><p>dx</p><p>x</p><p>√</p><p>ln(x)</p><p>, fazendo a substituição: u = ln(x) (1.97)</p><p>∫ dx</p><p>x</p><p>√</p><p>ln(x)</p><p>=</p><p>∫ du√</p><p>u</p><p>= u</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= 2</p><p>√</p><p>u = lim</p><p>A→∞</p><p>2</p><p>√</p><p>ln(A)− 2</p><p>√</p><p>ln(1) = lim</p><p>A→∞</p><p>2</p><p>√</p><p>ln(A) = ”∞”</p><p>(1.98)</p><p>Assim vemos que a integral diverge, sendo assim nossa série também diverge.</p><p>1.2.5 ∑∞</p><p>k=1 k</p><p>2e−k</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (ak) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Portanto, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x2e−x = x2</p><p>ex</p><p>(1.99)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a ak quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>ak = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.100)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>x2</p><p>ex</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2x</p><p>ex</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>2</p><p>ex</p><p>= 0 (1.101)</p><p>Assim vemos que o nosso termo geral vai pra zero (no limite). Usaremos o teste da</p><p>razão para sabermos se a série vai convergir ou não, assim:</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>ak+1</p><p>ak</p><p>= lim</p><p>k→∞</p><p>(k + 1)2</p><p>ek+1</p><p>ek</p><p>k2 = lim</p><p>k→∞</p><p>(</p><p>(k + 1)</p><p>k</p><p>)2 1</p><p>e</p><p>= 1</p><p>e</p><p>< 1 (1.102)</p><p>Logo, nossa série converge!</p><p>1.2.6 ∑∞</p><p>n=1</p><p>( 1</p><p>n3 + 1</p><p>3n</p><p>)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Separando em duas séries podemos ver isso claramente, pois são duas frações com o</p><p>numerador constante.</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>( 1</p><p>n3 + 1</p><p>3n</p><p>)</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n3 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>3n (1.103)</p><p>Assim vemos que ambas as séries vão convergir (uma é a p-série e a outra é a</p><p>série geométrica, com r = 1</p><p>3 e a = 1).</p><p>1.2.7 ∑∞</p><p>n=1</p><p>3nn2</p><p>n!</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Como não sabemos que função representaria o fatorial, vamos observar o crescimento do</p><p>termo geral, assim:</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= 3n+1(n+ 1)2</p><p>(n+ 1)!</p><p>n!</p><p>3nn2 (1.104)</p><p>3</p><p>(</p><p>n+ 1</p><p>n</p><p>)2 1</p><p>n+ 1 = 3</p><p>(</p><p>n+ 1</p><p>n2</p><p>)</p><p>, < 1 , para n > 3 (1.105)</p><p>Assim nosso termo geral decresce a medida que n cresce, então ele vai pra zero.</p><p>Pelo mesmo raciocínio (aplicanto limite na ??) vemos que a série converge (Teste da</p><p>Razão)!</p><p>1.2.8 ∑∞</p><p>k=1</p><p>2k−13k+1</p><p>kk</p><p>Primeiro precisamos rearranjar nossa série para nos pertir uma visualização melhor,</p><p>assim:</p><p>2k−13k+1</p><p>kk</p><p>= 3</p><p>2</p><p>(6</p><p>k</p><p>)k</p><p>∴</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>2k−13k+1</p><p>kk</p><p>= 3</p><p>2</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>(6</p><p>k</p><p>)k</p><p>(1.106)</p><p>Pela observação da Equação 1.106 vemos que para k > 6 a fração 6</p><p>k</p><p>vai ser menor</p><p>que 1, assim sendo, podemos inferir que o termo geral vai pra zero (limite no infinito).</p><p>Para facilitar podemos usar o Teste da Raiz, assim:</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>k</p><p>√(6</p><p>k</p><p>)k</p><p>= lim</p><p>k→∞</p><p>6</p><p>k</p><p>= 0 (1.107)</p><p>Logo, nossa série converge!</p><p>1.2.9 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n22n−1</p><p>(−5)n</p><p>VER 1.2.3</p><p>1.2.10 ∑∞</p><p>n=0</p><p>n!</p><p>2·5·8···(3n+2)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Como não sabemos que função representaria o fatorial do numerador e o ’fatorial’ (tipo</p><p>fatorial) do denominador, vamos observar o crescimento do termo geral, assim:</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= (n+ 1)!</p><p>2.5.8...(3(n+ 1) + 2)</p><p>2.5.8...(3n+ 2)</p><p>n! = (n+ 1)n!</p><p>2.5.8...(3n+ 3 + 2)</p><p>2.5.8...(3n+ 2)</p><p>n!</p><p>(1.108)</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= 2.5.8...(3n+ 2)(n+ 1)</p><p>2.5.8...(3n+ 2)(3n+ 5) = n+ 1</p><p>3n+ 5 (1.109)</p><p>Pela Equação 1.109 vemos que an+1 será sempre maior que an, desse modo, o termo</p><p>geral não vai para zero, poderíamos aplicar o limite e ver que o termo geral não vai pra</p><p>zero. Então a série diverge!</p><p>1.2.11 ∑∞</p><p>n=2</p><p>(−1)n−1</p><p>√</p><p>n−1</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Podemos ver isso claramente, pois é uma fração com o numerador constante (a menos da</p><p>troca de sinal). Olharemos se a série converge absolutamente:</p><p>|an| =</p><p>1√</p><p>n− 1 (1.110)</p><p>Como sabemos que:</p><p>n ></p><p>√</p><p>n ∴</p><p>1√</p><p>n</p><p>></p><p>1</p><p>n</p><p>(1.111)</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>1√</p><p>n− 1 ></p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n− 1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n</p><p>, que diverge (1.112)</p><p>Assim, absolutamente nossa série diverge. Temos que olhar condicionalmente:</p><p>√</p><p>n <</p><p>√</p><p>n+ 1 ∴</p><p>√</p><p>n− 1 <</p><p>√</p><p>n+ 1− 1 ∴</p><p>1√</p><p>n+ 1− 1</p><p><</p><p>1√</p><p>n− 1 (1.113)</p><p>Assim vemos que nosso termo geral an é estritamente decrescente (monótono), para</p><p>n > 1. Pelo Teorema de Leibniz a série converge condicionalmente.</p><p>1.2.12 ∑∞</p><p>n=1(−1)n ln(n)√</p><p>n</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an), em módulo,</p><p>vai para zero (limite</p><p>no infinito). Portanto, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = ln(x)√</p><p>x</p><p>(1.114)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a |an| quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.115)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>ln(x)√</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>2x</p><p>−1/2 = lim</p><p>x→∞</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>x−1/2</p><p>1 = 0 (1.116)</p><p>Assim vemos que o nosso termo geral vai pra zero (no limite). Usaremos o teste da</p><p>razão para sabermos se a série vai convergir ou não, assim:</p><p>n ></p><p>√</p><p>n ∴</p><p>1√</p><p>n</p><p>></p><p>1</p><p>n</p><p>∴</p><p>ln(n)√</p><p>n</p><p>></p><p>ln(n)</p><p>n</p><p>(1.117)</p><p>ln(n)√</p><p>n</p><p>></p><p>ln(n)</p><p>n</p><p>></p><p>1</p><p>n</p><p>, se n > 3 (1.118)</p><p>Então:</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>ln(n)√</p><p>n</p><p>></p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n</p><p>, que diverge (1.119)</p><p>Logo, nossa série diverge absolutamente. Resta-nos saber se ela converge condi-</p><p>cionalmente:</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= ln(n+ 1)</p><p>ln(n)</p><p>√</p><p>n√</p><p>n+ 1</p><p>(1.120)</p><p>Precisa analisar se é decrescente.</p><p>1.2.13 ∑∞</p><p>n=1(−1)ncos( 1</p><p>n)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Sabemos que não, pois seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = cos</p><p>(1</p><p>x</p><p>)</p><p>(1.121)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a |an| quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.122)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>cos</p><p>(1</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>cos(x) = 1 (1.123)</p><p>Assim sendo, o termo geral an não vai para zero, logo nossa série diverge.</p><p>1.2.14 ∑∞</p><p>n=1 tg</p><p>( 1</p><p>n</p><p>)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Sabemos que tg(x) vale 0 quando x é zero, assim podemos intuir que tg( 1</p><p>n</p><p>) é decrescente e</p><p>vai pra zero. Além do mais, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = tg( 1</p><p>x</p><p>) (1.124)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.125)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>tg( 1</p><p>x</p><p>) = lim</p><p>x→0</p><p>tg(x) = 0 (1.126)</p><p>Pelo Teste da Integral, vemos que a nossa série diverge (wolfram)!</p><p>Ou, também podemos ver a divergência pela expansão em Série de Taylor da</p><p>função Tangente. Assim, pegando a Série de Taylor do Wikipedia, temos:</p><p>tg(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>B2n(−4)n(1− 4n)x2n−1</p><p>2n! = x+ x3</p><p>3 + 2x5</p><p>15 + · · · , para |x| < π</p><p>2 (1.127)</p><p>Onde os B2n são os números de Bernoulli. Podemos ver que:</p><p>tg(x) > x , se |x| < π</p><p>2 (1.128)</p><p>Usamos que tg(θ) ' θ , para θ pequeno, porque os outros termos da Série de Taylor</p><p>serão ’extremamente’ pequenos, devido as potências de θ.</p><p>tg</p><p>( 1</p><p>n</p><p>)</p><p>></p><p>1</p><p>n</p><p>∴</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>tg</p><p>( 1</p><p>n</p><p>)</p><p>></p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n</p><p>, que diverge! (1.129)</p><p>Então vemos que a série diverge.</p><p>1.2.15 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n!</p><p>en2</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an) vai para zero (limite no infinito).</p><p>Vamos observar o crescimento do termo geral, assim:</p><p>an+1</p><p>an</p><p>= (n+ 1)!</p><p>e(n+1)2</p><p>en</p><p>2</p><p>n! = (n+ 1)n!</p><p>e(n2+2n+1)</p><p>en</p><p>2</p><p>n! = (n+ 1)en2−n2−2n−1 = n+ 1</p><p>e2n+1 (1.130)</p><p>Assim vemos que no limite o termo geral vai pra zero, e além do mais nossa série</p><p>converge (Teste da Razão, que é o próprio limite no infinito da Equação 1.130)!</p><p>1.2.16 ∑∞</p><p>k=1</p><p>kln(k)</p><p>(k+1)3</p><p>A série converge, resta saber o porquê (achar a ’função’ certa para usar o Critério</p><p>da Comparação).</p><p>1.2.17 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)n</p><p>cosh(n)</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral (an), em módulo, vai para zero (limite</p><p>no infinito). Portanto, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 1</p><p>cosh(x) (1.131)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a |an| quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an| = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.132)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>cosh(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>2</p><p>ex + e−x</p><p>= 0 (1.133)</p><p>Assim vemos que o termo geral vai para zero no infinito. Resta-nos saber se a série</p><p>converge absolutamente. Assim temos que:</p><p>cosh(n) > n2 , se n > 2 (1.134)</p><p>1</p><p>cosh(n) <</p><p>1</p><p>n2 ∴</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>cosh(n) <</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n2 , que converge (1.135)</p><p>Assim nossa série converge absolutamente!</p><p>1.2.18 ∑∞</p><p>n=1</p><p>5n</p><p>3n+4n</p><p>Aplicando o Teste da Raiz temos:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>5n</p><p>3n + 4n = 5 lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√√√√ 1</p><p>4n(1 +</p><p>(</p><p>3</p><p>4</p><p>)n</p><p>)</p><p>= 5</p><p>4 lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√√√√ 1</p><p>1 +</p><p>(</p><p>3</p><p>4</p><p>)n = 5</p><p>4 > 1 (1.136)</p><p>Logo, indepentemente do termo geral ir pra zero ou não, nossa série diverge.</p><p>1.2.19 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(</p><p>n</p><p>n+1</p><p>)n2</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral an vai para zero (limite no infinito).</p><p>Então seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) =</p><p>(</p><p>x</p><p>x+ 1</p><p>)x2</p><p>(1.137)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.138)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>(</p><p>x</p><p>x+ 1</p><p>)x2</p><p>= e</p><p>ln</p><p>(</p><p>( x</p><p>x+1)x2)</p><p>= ex</p><p>2ln( x</p><p>x+1) (1.139)</p><p>e</p><p>ln( x</p><p>x+1)</p><p>1</p><p>x2 = e</p><p>x+1</p><p>x</p><p>−2</p><p>x3 = e</p><p>x+1</p><p>x</p><p>x3</p><p>−2 = e</p><p>x2(x+1)</p><p>−2 = e−∞ = 0 (1.140)</p><p>Então nosso termo geral an vai para zero. Aplicando o Teste da Raiz temos:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√(</p><p>n</p><p>n+ 1</p><p>)n2</p><p>= lim</p><p>n→∞</p><p>(</p><p>n</p><p>n+ 1</p><p>)n</p><p>= 1</p><p>e</p><p>< 1 (1.141)</p><p>Pois seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) =</p><p>(</p><p>x</p><p>x+ 1</p><p>)x</p><p>(1.142)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.143)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>(</p><p>x</p><p>x+ 1</p><p>)x</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>eln((</p><p>x</p><p>x+1)x) = lim</p><p>x→∞</p><p>exln(</p><p>x</p><p>x+1) (1.144)</p><p>e</p><p>limx→∞</p><p>(</p><p>ln( x</p><p>x+1)</p><p>1</p><p>x</p><p>)</p><p>= e</p><p>limx→∞</p><p>(</p><p>ln(x)−ln(x+1)</p><p>1</p><p>x</p><p>)</p><p>= e</p><p>limx→∞</p><p>1</p><p>x−</p><p>1</p><p>x+1</p><p>−1</p><p>x2 (1.145)</p><p>e</p><p>limx→∞</p><p>x+1−x</p><p>x(x+1)</p><p>−1</p><p>x2 = elimx→∞</p><p>1</p><p>x(x+1)</p><p>x2</p><p>−1 = elimx→∞</p><p>−x2</p><p>x(x+1) = e−1 = 1</p><p>e</p><p>(1.146)</p><p>Então pelo Teste da Raiz vemos que nossa série converge!</p><p>1.2.20 ∑∞</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n1+1/n</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral an vai para zero (limite no infinito).</p><p>Então seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = 1</p><p>x1+1/x = 1</p><p>x</p><p>x+1</p><p>x</p><p>(1.147)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.148)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>1</p><p>x1+1/x = lim</p><p>x→∞</p><p>e</p><p>ln</p><p>(</p><p>1</p><p>x</p><p>x+1</p><p>x</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>e</p><p>ln(1)−ln</p><p>(</p><p>x</p><p>x+1</p><p>x</p><p>)</p><p>(1.149)</p><p>elimx→∞−x+1</p><p>x</p><p>ln(x) = elimx→∞−( ln(x)+ x+1</p><p>x</p><p>1 ) = e−∞ = 0 (1.150)</p><p>Então nosso termo geral an vai para zero. Pelo Teste da Integral, vemos que a nossa</p><p>série diverge (wolfram)! Obs: Teste Raiz é inconclusivo!!</p><p>1.2.21 ∑∞</p><p>n=1( n</p><p>√</p><p>2− 1)n</p><p>Primeiro precisamos saber se o termo geral an vai para zero (limite no infinito).</p><p>Então seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = ( x</p><p>√</p><p>2− 1)x (1.151)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.152)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>( x</p><p>√</p><p>2− 1)x = lim</p><p>x→∞</p><p>eln( x√2−1)x = lim</p><p>x→∞</p><p>exln( x√2−1) (1.153)</p><p>Mas, pela Equação 1.160 temos:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>( x</p><p>√</p><p>2− 1) = 0 , então: lim</p><p>x→∞</p><p>ln( x</p><p>√</p><p>2− 1) = −∞ (1.154)</p><p>E além do mais:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x =∞ (1.155)</p><p>Assim:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>exln( x√2−1) = e(∞)(−∞) = e−∞ = 0 (1.156)</p><p>Então nosso termo geral an vai para zero. Aplicando o Teste da Raiz temos:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>( n</p><p>√</p><p>2− 1)n = ( n</p><p>√</p><p>2− 1) = 1− 1 = 0 < 1 (1.157)</p><p>Pois, seja f(x) uma função nos R, onde:</p><p>f(x) = x</p><p>√</p><p>2 (1.158)</p><p>Temos que f(x) vai ser igual a an quando x ε N, assim sendo:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>an = lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) (1.159)</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>f(x) = lim</p><p>x→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>2 = eln( n√2) = lim</p><p>x→∞</p><p>e(ln(2))1/n</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>e</p><p>ln(2)</p><p>n = elimx→∞</p><p>ln(2)</p><p>n = e0 = 1</p><p>(1.160)</p><p>Então pelo Teste da Raiz vemos que nossa série converge!</p><p>1.3 Questão 3</p><p>1.3.1 ∑∞</p><p>n=1(−1)nnxn</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(−1)n+1(n+ 1)</p><p>(−1)nn</p><p>xn+1</p><p>xn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>n+ 1</p><p>n</p><p>= |x| (1.161)</p><p>Para que convirja temos que |x| < 1. Assim o raio de convergência é 1 e o intervalo</p><p>de convergência é: −1 < x < 1.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −1 e x = 1 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.2 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>2n+1</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ xn+1</p><p>2(n+ 1) + 1</p><p>2n+ 1</p><p>xn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>2n+ 1</p><p>2n+ 3 (1.162)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>n(2 + 1</p><p>n</p><p>)</p><p>n(2 + 3</p><p>n</p><p>) = |x| (1.163)</p><p>Para que convirja temos que |x| < 1. Assim o raio de convergência é 1 e o intervalo</p><p>de convergência é: −1 < x < 1.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −1 e x = 1 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.3 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>n!</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ xn+1</p><p>(n+ 1)!</p><p>n!</p><p>xn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>n!</p><p>(n+ 1)(n)! = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>(n+ 1) = |x| 0 = 0</p><p>(1.164)</p><p>Para que convirja temos que |x| pode assumir qualquer valor, uma vez que o 0</p><p>vai "jogar"o limite sempre pra</p><p>0 (∀ x ε R). Assim o raio de convergência é ∞, ou seja, o</p><p>intervalo de convergência é todos os Reais.</p><p>1.3.4 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)nn2xn</p><p>2n</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(−1)n+1(n+ 1)2xn+1</p><p>2n+1</p><p>2n</p><p>(−1)nn2xn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)2</p><p>2n2 (1.165)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>n2(1 + 2</p><p>n</p><p>+ 1</p><p>n2 )</p><p>2n2 = |x| (1 + 0 + 0)</p><p>2 = |x|2 (1.166)</p><p>Para que convirja temos que |x|2 < 1, ou seja, |x| < 2. Assim o raio de convergência</p><p>é 2 e o intervalo de convergência é: −2 < x < 2.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −2 e x = 2 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.5 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−3)nxn</p><p>n</p><p>√</p><p>n</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ (−3)n+1xn+1</p><p>(n+ 1)</p><p>√</p><p>n+ 1</p><p>n</p><p>√</p><p>n</p><p>(−3)nxn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>3n</p><p>√</p><p>n</p><p>(n+ 1)</p><p>√</p><p>n+ 1</p><p>(1.167)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>3</p><p>√</p><p>n3√</p><p>(n+ 1)3</p><p>= 3 |x| lim</p><p>n→∞</p><p>√√√√ n3</p><p>(n+ 1)3 = 3 |x| (1.168)</p><p>Para que convirja temos que 3 |x| < 1, ou seja, |x| < 1</p><p>3 . Assim o raio de convergência</p><p>é 1</p><p>3 e o intervalo de convergência é: −1</p><p>3 < x < 1</p><p>3 .</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −1</p><p>3 e x = 1</p><p>3 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.6 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(−1)nxn</p><p>4nln(n)</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ (−1)n+1xn+1</p><p>4n+1ln(n+ 1)</p><p>4nln(n)</p><p>(−1)nxn</p><p>∣∣∣∣∣ = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>ln(n)</p><p>4ln(n+ 1) (1.169)</p><p>1</p><p>4 |x| lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>n</p><p>1</p><p>n+1</p><p>= 1</p><p>4 |x| lim</p><p>n→∞</p><p>n+ 1</p><p>n</p><p>= 1</p><p>4 |x| (1.170)</p><p>Para que convirja temos que 1</p><p>4 |x| < 1, ou seja, |x| < 4. Assim o raio de convergência</p><p>é 4 e o intervalo de convergência é: −4 < x < 4.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −4 e x = 4 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.7 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(x−2)n</p><p>n2+1</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ (x− 2)n+1</p><p>(n+ 1)2 + 1</p><p>n2 + 1</p><p>(x− 2)n</p><p>∣∣∣∣∣ (1.171)</p><p>|x− 2| lim</p><p>n→∞</p><p>n2 + 1</p><p>n2 + 2n+ 2 = |x− 2| (1.172)</p><p>Para que convirja temos que |x− 2| < 1. Assim o raio de convergência é 1 e o</p><p>intervalo de convergência é: 1 < x < 3.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = 1 e x = 3 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.8 ∑∞</p><p>n=1</p><p>3n(x+4)n</p><p>√</p><p>n</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣3n+1(x+ 4)n+1</p><p>√</p><p>n+ 1</p><p>√</p><p>n</p><p>3n(x+ 4)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |x+ 4| lim</p><p>n→∞</p><p>3</p><p>√</p><p>n√</p><p>n+ 1</p><p>(1.173)</p><p>3 |x+ 4| lim</p><p>n→∞</p><p>√</p><p>n</p><p>n+ 1 = 3 |x+ 4| (1.174)</p><p>Para que convirja temos que 3 |x+ 4| < 1, ou seja, |x+ 4| < 1</p><p>3 . Assim o raio de</p><p>convergência é 1</p><p>3 e o intervalo de convergência é: −13</p><p>3 < x < 13</p><p>3 .</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −13</p><p>3 e x = 13</p><p>3 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.9 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(x−2)n</p><p>nn</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(x− 2)n+1</p><p>(n+ 1)n+1</p><p>nn</p><p>(x− 2)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |x− 2| lim</p><p>n→∞</p><p>nn</p><p>(n+ 1)n+1 (1.175)</p><p>|x− 2| lim</p><p>n→∞</p><p>nn</p><p>(n+ 1)n+1 = |x− 2| lim</p><p>n→∞</p><p>(</p><p>n</p><p>(n+ 1)</p><p>)n 1</p><p>n+ 1 = |x− 2| 0 = 0 (1.176)</p><p>Para que convirja temos que |x− 2| pode assumir qualquer valor, uma vez que o 0</p><p>vai "jogar"o limite sempre pra 0 (∀ x ε R). Assim o raio de convergência é ∞, ou seja, o</p><p>intervalo de convergência é todos os Reais.</p><p>1.3.10 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n(x−a)n</p><p>bn</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(n+ 1)(x− a)n+1</p><p>bn+1</p><p>bn</p><p>n(x− a)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)</p><p>bn</p><p>(1.177)</p><p>1</p><p>b</p><p>|x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)</p><p>n</p><p>= 1</p><p>b</p><p>|x− a| (1.178)</p><p>Para que convirja temos que 1</p><p>b</p><p>|x− a| < 1, ou seja, |x− a| < b. Assim o raio de</p><p>convergência é b e o intervalo de convergência é: a− b < x < a+ b.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = a− b e x = a+ b</p><p>na série e checar a convergência</p><p>1.3.11 ∑∞</p><p>n=1</p><p>bn(x−a)n</p><p>ln(n)</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣bn+1(x− a)n+1</p><p>ln(n+ 1)</p><p>ln(n)</p><p>bn(x− a)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>bln(n+ 1)</p><p>ln(n) (1.179)</p><p>b |x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>ln(n+ 1)</p><p>ln(n) = b |x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>n+1</p><p>1</p><p>n</p><p>= b |x− a| lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>n+ 1 = b |x− a| (1.180)</p><p>Para que convirja temos que b |x− a| < 1, ou seja, |x− a| < 1</p><p>b</p><p>. Assim o raio de</p><p>convergência é 1</p><p>b</p><p>e o intervalo de convergência é: a− 1</p><p>b</p><p>< x < 1</p><p>b</p><p>+ a.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = a− 1</p><p>b</p><p>e x = a+ 1</p><p>b</p><p>na série e checar a convergência</p><p>1.3.12 ∑∞</p><p>n=1 n!(2x− 1)n</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(n+ 1)!(2x− 1)n+1</p><p>n!(2x− 1)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |2x− 1| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)n!</p><p>n! (1.181)</p><p>|2x− 1| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1)</p><p>1 = |2x− 1| lim</p><p>n→∞</p><p>(n+ 1) = |2x− 1|∞ (1.182)</p><p>Assim temos que só converge quando |2x− 1| = 0, ou seja, x = 1</p><p>2 . Assim o raio de</p><p>convergência é 0 e a série só converge pontualmente.</p><p>1.3.13 ∑∞</p><p>n=1</p><p>(5x−4)n</p><p>n3</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣(5x− 4)n+1</p><p>(n+ 1)3</p><p>n3</p><p>(5x− 4)n</p><p>∣∣∣∣∣ = |5x− 4| lim</p><p>n→∞</p><p>(</p><p>n</p><p>n+ 1</p><p>)3</p><p>(1.183)</p><p>|5x− 4| (1)3 = |5x− 4| (1.184)</p><p>Para que convirja temos que |5x− 4| < 1. Assim o raio de convergência é 1 e o</p><p>intervalo de convergência é: 3</p><p>5 < x < 1.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = 3</p><p>5 e x = 1 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.3.14 ∑∞</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>1.3.5....(2n−1)</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ xn+1</p><p>1.3.5....(2(n+ 1)− 1)</p><p>1.3.5....(2n− 1)</p><p>xn</p><p>∣∣∣∣∣ (1.185)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>1.3.5....(2n− 1)</p><p>1.3.5....(2n+ 1) = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>1.3.5....(2n− 1)</p><p>1.3.5....(2n− 1)(2n+ 1) (1.186)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>(2n+ 1) = |x| 0 = 0 (1.187)</p><p>Para que convirja temos que |x| pode assumir qualquer valor, uma vez que o 0</p><p>vai "jogar"o limite sempre pra 0 (∀ x ε R). Assim o raio de convergência é ∞, ou seja, o</p><p>intervalo de convergência é todos os Reais.</p><p>1.3.15 ∑∞</p><p>n=1</p><p>n!xn</p><p>1.3.5....(2n−1)</p><p>Para acharmos o raio de convergência nos valemos do teste da razão com módulo,</p><p>assim:</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣ = lim</p><p>n→∞</p><p>∣∣∣∣∣ (n+ 1)!xn+1</p><p>1.3.5....(2(n+ 1)− 1)</p><p>1.3.5....(2n− 1)</p><p>n!xn</p><p>∣∣∣∣∣ (1.188)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>1.3.5....(2n− 1)(n+ 1)n!</p><p>1.3.5....(2n+ 1)n! = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>1.3.5....(2n− 1)(n+ 1)</p><p>1.3.5....(2n− 1)(2n+ 1) (1.189)</p><p>|x| lim</p><p>n→∞</p><p>n+ 1</p><p>(2n+ 1) = |x| lim</p><p>n→∞</p><p>n+ 1</p><p>(2n+ 1) = 1</p><p>2 |x| (1.190)</p><p>Para que convirja temos que 1</p><p>2 |x| < 1, ou seja, |x| < 2. Assim o raio de convergência</p><p>é 2 e o intervalo de convergência é: −2 < x < 2.</p><p>Falta ’olhar’ nas extremidades também!! Substituir x = −2 e x = 2 na</p><p>série e checar a convergência</p><p>1.4 Questão 4</p><p>1.4.1 f(x) = 3</p><p>x2−x−2</p><p>Por frações parciais obtemos:</p><p>f(x) = 3</p><p>x2 − x− 2 = 3</p><p>(x− 2)(x+ 1) = 1</p><p>(x− 2) −</p><p>1</p><p>(x+ 1) (1.191)</p><p>Para resolvermos de forma ’simples’ nos valemos da série geométrica, onde sabemos</p><p>que:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>a(r)n = a</p><p>1− r (1.192)</p><p>Que converge se |r| < 1 e a é o termo inicial. Para 1</p><p>x−2 queremos algo da forma</p><p>a</p><p>1−r , então, chamamos r de (x− 1) com (a = 1) e trocamos o sinal de baixo, assim:</p><p>1</p><p>x− 2 = − 1</p><p>(2− x) = − 1</p><p>1− (x− 1) = −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x− 1)n (1.193)</p><p>Assim, sabemos que a série geométrica converge se |r| < 1, logo nossa série de</p><p>potências converge se: |x− 1| < 1. E o intervalo de convergência é: 0 < x < 2.</p><p>Para 1</p><p>1+x queremos algo da forma a</p><p>1−r então chamamos r de (−x), (a = 1), assim:</p><p>1</p><p>1 + x</p><p>= 1</p><p>1− (−x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−x)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n(x)n (1.194)</p><p>Assim, sabemos que a série geométrica converge se |r| < 1, logo nossa série de</p><p>potências converge se: |x| < 1. E o intervalo de convergência é: −1 < x < 1.</p><p>Então ’juntamos’ as duas expansões em séries de potências e obtemos:</p><p>f(x) = 3</p><p>x2 − x− 2 = −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x− 1)n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n(x)n (1.195)</p><p>Com a observação de que como é a ’união’ das duas séries de potências com</p><p>intervalos de convergência diferentes, temos</p><p>que pegar a interseção para garantir que</p><p>ambas as séries vão convergir para nossa função. Assim o intervalo de convergência é: 0 <</p><p>x < 1.</p><p>1.4.2 f(x) = x+2</p><p>2x2−x−1</p><p>Por frações parciais obtemos:</p><p>f(x) = x+ 2</p><p>2x2 − x− 1 = x+ 2</p><p>(x− 1)(2x+ 1) = 1</p><p>(x− 1) −</p><p>1</p><p>2(x+ 1/2) (1.196)</p><p>Para resolvermos de forma ’simples’ nos valemos da série geométrica, onde sabemos</p><p>que:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>a(r)n = a</p><p>1− r (1.197)</p><p>Que converge se |r| < 1 e a é o termo inicial. Para 1</p><p>(x−1) queremos algo da forma</p><p>a</p><p>1−r , então, chamamos r de x, (a = 1), e trocamos o sinal de baixo, assim:</p><p>1</p><p>(x− 1) = − 1</p><p>1− x = −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x)n (1.198)</p><p>Assim, sabemos que a série geométrica converge se |r| < 1, logo nossa série de</p><p>potências converge se: |x| < 1. E o intervalo de convergência é: −1 < x < 1.</p><p>Para 1</p><p>2(x+1/2) queremos algo da forma a</p><p>1−r então chamamos r de (−x + 1/2),</p><p>(a = 1/2), assim:</p><p>1</p><p>2(x+ 1</p><p>2) = 1</p><p>2</p><p>1</p><p>[1− (−x+ 1</p><p>2)] =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(1</p><p>2 − x)n</p><p>2 (1.199)</p><p>Assim, sabemos que a série geométrica converge se |r| < 1, logo nossa série de</p><p>potências converge se: |1/2− x| < 1. E o intervalo de convergência é: −1</p><p>2 < x < 3</p><p>2 .</p><p>Então ’juntamos’ as duas expansões em séries de potências e obtemos:</p><p>f(x) = x+ 2</p><p>2x2 − x− 1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x)n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(1/2− x)n</p><p>2 (1.200)</p><p>Com a observação de que como é a ’união’ das duas séries de potências com</p><p>intervalos de convergência diferentes, temos que pegar a interseção para garantir que</p><p>ambas as séries vão convergir para nossa função. Assim o intervalo de convergência é: −1</p><p>2</p><p>< x < 1.</p><p>1.5 Questão 5</p><p>1.5.1 f(x) = (1− x)−2</p><p>Na série de Maclaurin temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x)n (1.201)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(0)</p><p>n! (1.202)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = (1− x)−2 = 1</p><p>(1− x)2 f 1(x) = 2</p><p>(1− x)3 (1.203)</p><p>f 2(x) = 3!</p><p>(1− x)4 f 3(x) = 4!</p><p>(1− x)5 f 4(x) = 5!</p><p>(1− x)6 (1.204)</p><p>Assim, observando o padrão temos:</p><p>fn(x) = (n+ 1)!</p><p>(1− x)n+2 , para todo n ≥ 0 (1.205)</p><p>Assim para acharmos an basta substituirmos as derivadas no ponto 0 e obteremos</p><p>uma aproximação por série de Maclaurin igual a:</p><p>an = f (n)(0)</p><p>n! = (n+ 1)!</p><p>(1)n+2</p><p>1</p><p>n! = (n+ 1) (1.206)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = (1− x)−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)(x)n (1.207)</p><p>1.5.2 f(x) = sen(πx)</p><p>Na série de Maclaurin temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x)n (1.208)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(0)</p><p>n! (1.209)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = sen(πx) f 1(x) = πcos(πx) f 2(x) = −(π)2sen(πx) (1.210)</p><p>f 3(x) = −(π)3cos(πx) f 4(x) = (π)4sen(πx) (1.211)</p><p>Assim, observando o padrão temos que para n ≥ 4 as derivadas se repetem, com</p><p>exceção do π do lado de ’fora’. Caso n par temos seno caso n ímpar temos cosseno, e além</p><p>do mais o que muda é o sinal, então dividimos em dois casos:</p><p>fk(x) = (−1)n(π)ksen(πx) , para k par, ou seja, k = 2n (1.212)</p><p>fk(x) = (−1)n(π)kcos(πx) , para k ímpar, ou seja, k = (2n+1) (1.213)</p><p>Assim para acharmos ak basta substituirmos as derivadas no ponto 0 e obteremos</p><p>uma aproximação por série de Maclaurin igual a:</p><p>ak = f (k)(0)</p><p>k! = (−1)n(π)2nsen(π0)</p><p>2n! = 0 , para k par, ou seja, k = 2n (1.214)</p><p>ak = f (k)(0)</p><p>k! = (−1)n(π)2n+1cos(π0)</p><p>(2n+ 1)! = (−1)n(π)2n+1</p><p>(2n+ 1)! , para k ímpar, ou seja, k = (2n+1)</p><p>(1.215)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = sen(πx) =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>ak(x)k</p><p>k! =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n(π)2n+1x2n+1</p><p>(2n+ 1)! (1.216)</p><p>1.5.3 f(x) = 2x</p><p>FALTA FAZER (mesmo raciocínio)</p><p>1.5.4 f(x) = senh(x)</p><p>Na série de Maclaurin temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x)n (1.217)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(0)</p><p>n! (1.218)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = senh(x) f 1(x) = cosh(x) (1.219)</p><p>f 2(x) = senh(x) f 3(x) = cosh(x) (1.220)</p><p>Assim, observando o padrão temos que para n ≥ 2 as derivadas se repetem. Caso</p><p>n par temos seno hiperbólico caso n ímpar temos cosseno hiperbólico, então dividimos em</p><p>dois casos:</p><p>fk(x) = senh(x) , para k par, ou seja, k = 2n (1.221)</p><p>fk(x) = cosh(x) , para k ímpar, ou seja, k = (2n+1) (1.222)</p><p>Assim para acharmos ak basta substituirmos as derivadas no ponto 0 e obteremos</p><p>uma aproximação por série de Maclaurin igual a:</p><p>ak = f (k)(0)</p><p>k! = senh(0)</p><p>2n! = 0 , para k par, ou seja, k = 2n (1.223)</p><p>ak = f (k)(0)</p><p>k! = cosh(0)</p><p>(2n+ 1)! = 1</p><p>(2n+ 1)! , para k ímpar, ou seja, k = (2n+1) (1.224)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = senh(x) =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>akx</p><p>k =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>x2n+1</p><p>(2n+ 1)! (1.225)</p><p>1.6 Questão 6</p><p>1.6.1 f(x) = x4 − 3x2 + 1 , a = 1</p><p>Na série de Taylor temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− a)n (1.226)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! (1.227)</p><p>Assim temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, como temos um</p><p>polinômio de grau 4, a partir da 5a derivada teremos todas elas dando 0. Nas outras</p><p>obteremos:</p><p>a0 = f 0(1)</p><p>0! = (1)4 − 3(1)2 + 1</p><p>0! = −1 (1.228)</p><p>a1 = f 1(1)</p><p>1! = 4(1)3 − 6(1)</p><p>1! = −2 (1.229)</p><p>a2 = f 2(1)</p><p>2! = 12(1)2 − 6</p><p>2! = 3 (1.230)</p><p>a3 = f 3(1)</p><p>3! = 24(1)</p><p>3! = 4 (1.231)</p><p>a4 = f 4(1)</p><p>4! = 24</p><p>4! = 1 (1.232)</p><p>an = 0 , para todo n > 4 (1.233)</p><p>Assim teremos uma aproximação por série de Taylor igual a:</p><p>f(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− a)n (1.234)</p><p>−1(x− 1)0 − 2(x− 1)1 + 3(x− 1)2 + 4(x− 1)3 + 1(x− 1)4 = x4 − 3x2 + 1 (1.235)</p><p>Assim podemos ver que a aproximação por série de Taylor para um polinômio é o</p><p>próprio polinômio!</p><p>1.6.2 f(x) = ln(x) , a = 2</p><p>Na série de Taylor temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− a)n (1.236)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! (1.237)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = ln(x) f 1(x) = 1</p><p>x</p><p>f 2(x) = −1</p><p>x2 (1.238)</p><p>f 3(x) = 2</p><p>x3 f 4(x) = −3!</p><p>x4 f 5(x) = 4!</p><p>x5 (1.239)</p><p>Assim, observando o padrão temos:</p><p>fn(x) = (−1)n+1(n− 1)!</p><p>xn</p><p>, para todo n > 0 (1.240)</p><p>Assim para acharmos an basta substituirmos as derivadas no ponto dado (x = 2) e</p><p>obtemos (para n > 0):</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! = (−1)n+1(n− 1)!</p><p>2n</p><p>1</p><p>n! = (−1)n+1(n− 1)!</p><p>2n.n! = (−1)n+1(n− 1)!</p><p>2n.n(n− 1)! (1.241)</p><p>an = (−1)n+1</p><p>2n.n (1.242)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = ln(x) = ln(2) +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1</p><p>2n.n (x− 2)n (1.243)</p><p>1.6.3 f(x) = e2x , a = 3</p><p>Na série de Taylor temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− a)n (1.244)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! (1.245)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = e2x f 1(x) = 2e2x f 2(x) = 4e2x (1.246)</p><p>Assim, observando o padrão temos:</p><p>fn(x) = 2ne2x (1.247)</p><p>Assim para acharmos an basta substituirmos as derivadas no ponto dado (x = 3) e</p><p>obtemos (para n ≥ 0):</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! = 2ne6</p><p>n! (1.248)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = e2x =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 3)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>2ne6</p><p>n! (x− 3)n (1.249)</p><p>1.6.4 f(x) = cos(x) , a = π</p><p>Na série de Taylor temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− a)n (1.250)</p><p>Onde:</p><p>an = f (n)(a)</p><p>n! (1.251)</p><p>Temos que f (n) representa a n-ésima derivada da função, vamos olhar para as</p><p>derivadas da função dada. Assim:</p><p>f 0(x) = cos(x) f 1(x) = −sen(x) f 2(x) = −cos(x) (1.252)</p><p>f 3(x) = sen(x) f 4(x) = cos(x) (1.253)</p><p>Assim, observando o padrão temos que para n ≥ 4 as derivadas se repetem. Caso</p><p>n par temos cosseno caso n ímpar temos seno, e além do mais o que muda é o sinal, então</p><p>dividimos em dois casos:</p><p>fk(x) = (−1)ncos(x) , para k par, ou seja, k = 2n (1.254)</p><p>fk(x) = (−1)nsen(x) , para k ímpar, ou seja, k = (2n-1) (1.255)</p><p>Assim para acharmos ak basta substituirmos as derivadas no ponto dado (x = π) e</p><p>obtemos:</p><p>ak = f (k)(a)</p><p>k! = (−1)ncos(π)</p><p>2n! = (−1)n+1</p><p>2n! , para k par, ou seja, k = 2n (1.256)</p><p>ak = f (k)(a)</p><p>k! = (−1)nsen(π)</p><p>(2n− 1)! = 0 , para k ímpar, ou seja, k = (2n-1) (1.257)</p><p>Assim obtemos:</p><p>f(x) = cos(x) =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>ak(x− π)k =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1(x− π)2n</p><p>2n! (1.258)</p><p>1.7 Questão 7</p><p>1.7.1 y′′ − y = 0 , x0 = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− x0)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.259)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.260)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.261)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.262)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − an]xn = 0 (1.263)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>[(n+ 2)(n+</p><p>1)an+2 − an] = 0 (1.264)</p><p>Substituindo n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 0:</p><p>(2.1)a2 − a0 = 0 ∴ 2!a2 = a0 ∴ a2 = a0</p><p>2! (1.265)</p><p>n = 1:</p><p>(3.2)a3 − a1 = 0 ∴ 3!a3 = a1 ∴ a3 = a1</p><p>3! (1.266)</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 − a2 = 0 ∴</p><p>4!</p><p>2!a4 = a2 ∴ a4 = a0</p><p>4! (1.267)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5 − a3 = 0 ∴</p><p>5!</p><p>3!a5 = a3 ∴ a5 = a1</p><p>5! (1.268)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>a2n = a0</p><p>2n! , ou seja, para números pares! (1.269)</p><p>a2n−1 = a1</p><p>(2n− 1)! , ou seja, para números ímpares! (1.270)</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>x2n</p><p>2n! + a1</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>x2n−1</p><p>(2n− 1)! t , onde a0 e a1 são constantes arbitrárias! (1.271)</p><p>Pelo Teste da Razão (ou pelo Teste da Raiz) podemos descobrir o raio de conver-</p><p>gência de nossa resposta!!</p><p>1.7.2 y′′ − xy′ − y = 0 , x0 = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− x0)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.272)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.273)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.274)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n − x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.275)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n+1 −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.276)</p><p>Queremos que todos os somatórios tenham o mesmo índice, entretanto o x do lado</p><p>de fora nos ’atrapalhou’, assim sendo tiramos termos dos somatórios que têm x a menos:</p><p>[</p><p>(2.1)a2 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n</p><p>]</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn −</p><p>[</p><p>a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>anx</p><p>n</p><p>]</p><p>= 0 (1.277)</p><p>2a2 − a0 +</p><p>[ ∞∑</p><p>n=1</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − an(n+ 1)]xn</p><p>]</p><p>= 0 (1.278)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>2a2 − a0 = 0 ∴ 2!a2 = a0 ∴ a2 = a0</p><p>2! (1.279)</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − an(n+ 1)] = 0 (1.280)</p><p>Substituindo n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 0:</p><p>(2.1)a2 − a0 = 0 ∴ 2!a2 = a0 t ∴ ta2 = a0</p><p>2! , já sabíamos disso! (1.281)</p><p>n = 1:</p><p>(3.2)a3 − 2a1 = 0 ∴ 3!a3 = 2!a1 t ∴ ta3 = a1</p><p>3 (1.282)</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 − 3a2 = 0 ∴</p><p>4!</p><p>2!a4 = 3a2 ∴ t</p><p>4!</p><p>2!a4 = 3</p><p>2!a0 t ∴ ta4 = a0</p><p>4.2 (1.283)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5 − 4a3 = 0 ∴</p><p>5!</p><p>3!a5 = 4a3 ∴</p><p>5!</p><p>3!a5 = 4a1</p><p>3 t ∴ a5 = a1</p><p>5.3 (1.284)</p><p>n = 4:</p><p>(6.5)a6 − 5a4 = 0 ∴</p><p>6!</p><p>4!a4 = 5a4 ∴</p><p>6!</p><p>4!a4 = 5a0</p><p>4.2 ∴ a4 = a0</p><p>6.4.2 (1.285)</p><p>n = 5:</p><p>(7.6)a7 − 6a5 = 0 ∴</p><p>7!</p><p>5!a7 = 6a5 ∴</p><p>7!</p><p>5!a7 = 6a1</p><p>5.3 ∴ a7 = a1</p><p>7.5.3 (1.286)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>a2n = a0</p><p>2.4.6...(2n) , ou seja, para números pares! (1.287)</p><p>a2n−1 = a1</p><p>1.3.5...(2n− 1) , ou seja, para números ímpares! (1.288)</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>x2n</p><p>2.4.6...(2n)+a1</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>x2n−1</p><p>1.3.5...(2n− 1) , onde a0 e a1 são constantes arbitrárias!</p><p>(1.289)</p><p>Pelo Teste da Razão (ou pelo Teste da Raiz) podemos descobrir o raio de conver-</p><p>gência de nossa resposta!!</p><p>1.7.3 y′′ − xy′ − y = 0 , x0 = 1</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− x0)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n (1.290)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)an(x− 1)n−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n (1.291)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)an(x− 1)n−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n (1.292)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n − x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n = 0 (1.293)</p><p>Fazemos que x = [1 + (x− 1)], assim:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>· · · − [1 + (x− 1)]</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>· · · = 0 (1.294)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>· · · −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n+1 −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>· · · = 0 (1.295)</p><p>Queremos que todos os somatórios tenham o mesmo índice, entretanto o x do lado</p><p>de fora nos ’atrapalhou’, assim sendo tiramos termos dos somatórios que têm (x− 1) a</p><p>menos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n = 2.1a2 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n (1.296)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n = a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an(x− 1)n (1.297)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n = a1 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n (1.298)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)an(x− 1)n (1.299)</p><p>Assim, depois de ajustes, obtemos:</p><p>2a2−a0−a1 +</p><p>[ ∞∑</p><p>n=1</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − (n+ 1)an+1 − (n+ 1)an] (x− 1)n</p><p>]</p><p>= 0 (1.300)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>2a2 − a0 − a1 = 0 ∴ 2!a2 = a0 + a1 ∴ a2 = a0</p><p>2! + a1</p><p>2! (1.301)</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − (n+ 1)an+1 − (n+ 1)an] = 0 (1.302)</p><p>Substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 1:</p><p>(3.2)a3−2a2−2a1 = 0 ∴ (3.2)a3 = 2 (a2 + a1) ∴ a3 = 1</p><p>3</p><p>(</p><p>a0</p><p>2 + a1</p><p>2 + a1</p><p>)</p><p>(1.303)</p><p>a3 = 1</p><p>3</p><p>(</p><p>a0</p><p>2 + 3a1</p><p>2</p><p>)</p><p>∴ a3 = a0</p><p>6 + a1</p><p>2 (1.304)</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 − 3a3 − 3a2 = 0 ∴ (4.3)a4 = 3 (a3 + a2) ∴ a4 = 1</p><p>4</p><p>(</p><p>a0</p><p>6 + a1</p><p>2 + a0</p><p>2 + a1</p><p>2</p><p>)</p><p>(1.305)</p><p>a4 = 1</p><p>4</p><p>(2a0</p><p>3 + a1</p><p>)</p><p>∴ a4 = a0</p><p>6 + a1</p><p>4 (1.306)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5 − 4a4 − 4a3 = 0 ∴ (5.4)a5 = 4 (a4 + a3) ∴ a5 = 1</p><p>5</p><p>(</p><p>a0</p><p>6 + a1</p><p>4 + a0</p><p>6 + a1</p><p>2</p><p>)</p><p>(1.307)</p><p>a5 = 1</p><p>5</p><p>(</p><p>a0</p><p>3 + 3a1</p><p>4</p><p>)</p><p>∴ a5 = a0</p><p>15 + 3a1</p><p>20 (1.308)</p><p>n = 4:</p><p>(6.5)a6 − 5a5 − 5a4 = 0 ∴ (6.5)a6 = 5 (a5 + a4) ∴ a6 = 1</p><p>6</p><p>(</p><p>a0</p><p>15 + 3a1</p><p>20 + a0</p><p>6 + a1</p><p>4</p><p>)</p><p>(1.309)</p><p>a6 = 1</p><p>6</p><p>(7a0</p><p>30 + 2a1</p><p>5</p><p>)</p><p>∴ a6 = 7a0</p><p>180 + a1</p><p>15 (1.310)</p><p>Não achei padrão!</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0 + a1(x− 1) +</p><p>(</p><p>a0</p><p>2 + a1</p><p>2</p><p>)</p><p>(x− 1)2 +</p><p>(</p><p>a0</p><p>6 + a1</p><p>2</p><p>)</p><p>(x− 1)3 +</p><p>(</p><p>a0</p><p>6 + a1</p><p>4</p><p>)</p><p>(x− 1)4 + · · ·</p><p>(1.311)</p><p>Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias!</p><p>1.7.4 (1− x)y′′ + y = 0 , x0 = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− x0)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.312)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.313)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.314)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(1− x)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.315)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n −</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.316)</p><p>Queremos que todos os somatórios tenham o mesmo índice, entretanto o x do lado</p><p>de fora nos ’atrapalhou’, assim sendo tiramos termos dos somatórios que têm x a menos:</p><p>[</p><p>(2.1)a2 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n</p><p>]</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+1)(n)an+1x</p><p>n+</p><p>[</p><p>a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>anx</p><p>n</p><p>]</p><p>= 0 (1.317)</p><p>2a2 + a0 +</p><p>[ ∞∑</p><p>n=1</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − (n+ 1)(n)an+1 + an]xn</p><p>]</p><p>= 0 (1.318)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, te-</p><p>mos:Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>2a2 + a0 = 0 ∴ 2!a2 = −a0 ∴ a2 = −a0</p><p>2! (1.319)</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − (n+ 1)(n)an+1 + an] = 0 (1.320)</p><p>Substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 1:</p><p>(3.2)a3 − 2a2 + a1 = 0 ∴ (3.2)a3 = 2a2 − a1 ∴ 3!a3 = −2a0 − a1 (1.321)</p><p>a3 = −a0</p><p>3 −</p><p>a1</p><p>3 (1.322)</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 − 3.2a3 + a2 = 0 ∴ (4.3)a4 = 3.2a3 − a2 ∴ (4.3)a4 = −3.2</p><p>(</p><p>a0</p><p>3 + a1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ a0</p><p>2</p><p>(1.323)</p><p>(4.3)a4 = −3a0</p><p>2 − 2a1 ∴ a4 = −a0</p><p>8 −</p><p>a1</p><p>6 (1.324)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5−4.3a4+a3 = 0 ∴ (5.4)a5 = 4.3a4−a3 ∴ (5.4)a5 = −4.3</p><p>(</p><p>a0</p><p>8 + a1</p><p>6</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>a0</p><p>3 + a1</p><p>3</p><p>)</p><p>(1.325)</p><p>(5.4)a5 = −3a0</p><p>2 −a1+a0</p><p>3 +a1</p><p>3 ∴ (5.4)a5 = −7a0</p><p>6 −</p><p>2a1</p><p>3 ∴ a5 = −7a0</p><p>120−</p><p>a1</p><p>30 (1.326)</p><p>n = 4:</p><p>(6.5)a6−(5.4)a5+a4 = 0 ∴ (6.5)a6 = (5.4)a5−a4 ∴ (6.5)a6 = −(5.4)</p><p>(7a0</p><p>120 + a1</p><p>30</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>a0</p><p>8 + a1</p><p>6</p><p>)</p><p>(1.327)</p><p>(6.5)a6 = −7a0</p><p>6 −</p><p>2a1</p><p>3 + a0</p><p>8 + a1</p><p>6 ∴ (6.5)a6 = −25a0</p><p>24 −</p><p>a1</p><p>2 ∴ a6 = −25a0</p><p>720 −</p><p>a1</p><p>60</p><p>(1.328)</p><p>Não achei padrão!</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0 +a1(x−1)−</p><p>(</p><p>a0</p><p>2</p><p>)</p><p>(x−1)2−</p><p>(</p><p>a0</p><p>3 + a1</p><p>3</p><p>)</p><p>(x−1)3−</p><p>(</p><p>a0</p><p>8 + a1</p><p>6</p><p>)</p><p>(x−1)4 + · · · (1.329)</p><p>Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias!</p><p>1.7.5 xy′′ + y′ + xy = 0 , x0 = 1</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− x0)n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n (1.330)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)an(x− 1)n−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n (1.331)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)an(x− 1)n−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n (1.332)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1(x− 1)n + x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n = 0 (1.333)</p><p>Fazemos que x = [1 + (x− 1)], assim:</p><p>[1 + (x− 1)]</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n + · · ·+ [1 + (x− 1)]</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n (1.334)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2(x−1)n+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2(x−1)n+1+· · ·+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x−1)n+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x−1)n+1</p><p>(1.335)</p><p>Queremos que todos os somatórios tenham o mesmo índice, entretanto o x do lado</p><p>de fora nos ’atrapalhou’, assim sendo tiramos termos dos somatórios que têm (x− 1) a</p><p>menos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n =</p><p>[</p><p>2a0</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n</p><p>]</p><p>(1.336)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2(x− 1)n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 1)(n)an+1(x− 1)n (1.337)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n =</p><p>[</p><p>a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an(x− 1)n</p><p>]</p><p>(1.338)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x− 1)n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an−1(x− 1)n (1.339)</p><p>Seguir o mesmo procedimento das outras!</p><p>1.8 Questão 8</p><p>1.8.1 y′′ + (x− 1)2y′ + (x2 − 1)y = 0</p><p>Fazendo (x− 1) = t, temos:</p><p>y′′ + (t)2y′ + t(t+ 2)y = 0 (1.340)</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências, assim sendo</p><p>temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n (1.341)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)antn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1t</p><p>n (1.342)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)antn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n (1.343)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n + t2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1t</p><p>n + t(t+ 2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n = 0 (1.344)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1t</p><p>n+2 + (t+ 2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+1 = 0 (1.345)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1t</p><p>n+2 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+2 + 2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+1 = 0 (1.346)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1t</p><p>n+2 =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)an−1t</p><p>n (1.347)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+2 =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>an−2t</p><p>n (1.348)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>ant</p><p>n+1 = ta0 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>an−1t</p><p>n (1.349)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n = 2a2 + 6ta3 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2t</p><p>n (1.350)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>2a2 + t6a3 + t2a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n− 1)an−1 + an−2 + 2an−1] tn = 0 (1.351)</p><p>2a2 + 2t(a0 + 3a3) +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n+ 1)an−1 + an−2] tn = 0 (1.352)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de t, temos:</p><p>a2 = 0 e a3 = −a0</p><p>3 (1.353)</p><p>E também:</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n+ 1)an−1 + an−2] = 0 (1.354)</p><p>Substituindo n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · (n tem que começar em 2, pois não existe an</p><p>para n < 0):</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 + 3a1 + a0 = 0 ∴ a4 = − a0</p><p>4.3 −</p><p>a1</p><p>4 (1.355)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5 + 4a2 + a1 = 0 ∴ a5 = − a1</p><p>5.4 (1.356)</p><p>n = 4:</p><p>(6.5)a6 + 5a3 + a2 = 0 ∴ a6 = −a3</p><p>6 = a0</p><p>6.3 (1.357)</p><p>n = 5:</p><p>(7.6)a7 + 6a4 + a3 = 0 ∴ a7 = −a4</p><p>7 −</p><p>a3</p><p>7.6 = −</p><p>(</p><p>a0</p><p>7.4.3 + a1</p><p>7.4</p><p>)</p><p>+ a0</p><p>7.6.3 (1.358)</p><p>a7 = − a0</p><p>7.6.3.2 −</p><p>a1</p><p>7.4 (1.359)</p><p>Não achei padrão!</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0 + a1t−</p><p>(</p><p>a0</p><p>3</p><p>)</p><p>t3 −</p><p>(</p><p>a0</p><p>4.3 + a1</p><p>4</p><p>)</p><p>t4 −</p><p>(</p><p>a1</p><p>5.4</p><p>)</p><p>t5 + · · · (1.360)</p><p>y = a0 + a1(x− 1)−</p><p>(</p><p>a0</p><p>3</p><p>)</p><p>(x− 1)3−</p><p>(</p><p>a0</p><p>4.3 + a1</p><p>4</p><p>)</p><p>(x− 1)4−</p><p>(</p><p>a1</p><p>5.4</p><p>)</p><p>(x− 1)5 + · · · (1.361)</p><p>Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias!</p><p>1.9 Questão 9</p><p>1.9.1 (a)</p><p>Seja:</p><p>y</p><p>′′ + xy′ + y = 0</p><p>y(0) = 1 e y′(0) = 0</p><p>(1.362)</p><p>Supondo que y = φ(x) pode ser escrito como uma série de potências temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.363)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.364)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.365)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n + x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.366)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.367)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn (1.368)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n = (2)(1)a2 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.369)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>anx</p><p>n (1.370)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>2a2 + a0 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n)an + an]xn = 0 (1.371)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>a2 = −a0</p><p>2 (1.372)</p><p>E também:</p><p>[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + an(n+ 1)] = 0 (1.373)</p><p>Substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · temos:</p><p>n = 1:</p><p>(3.2)a3 + 2a1 = 0 ∴ a3 = −2a1</p><p>3.2 (1.374)</p><p>n = 2:</p><p>(4.3)a4 + 3a2 = 0 ∴ a4 = −3a2</p><p>4.3 = 3a0</p><p>4.3.2 (1.375)</p><p>n = 3:</p><p>(5.4)a5 + 4a3 = 0 ∴ a5 = −4a3</p><p>5.4 = 4.2a1</p><p>5.4.3.2 (1.376)</p><p>n = 4:</p><p>(6.5)a6 + 5a4 = 0 ∴ a6 = −5a4</p><p>6.5 = − 5.3.a0</p><p>6.5.4.3.2 (1.377)</p><p>n = 5:</p><p>(7.6)a7 + 6a5 = 0 ∴ a7 = −6a5</p><p>7.6 = − 6.4.2a1</p><p>7.6.5.4.3.2 (1.378)</p><p>n = 6:</p><p>(8.7)a8 + 7a6 = 0 ∴ a8 = −7a6</p><p>8.7 = − 7.5.3a0</p><p>8.7.6.5.4.3.2 (1.379)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>a2n = (2n+ 1)(2n− 1)...3.1a0</p><p>2n! , ou seja, para números pares! (1.380)</p><p>a2n−1 = (2n)(2n− 2)...4.2a1</p><p>(2n− 1)! , ou seja, para números ímpares! (1.381)</p><p>Assim teremos:</p><p>φ(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n)(2n− 2)...4.2a1</p><p>(2n− 1)! x2n−1 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n+ 1)(2n− 1)...3.1a0</p><p>2n! x2n (1.382)</p><p>Pelas informações dadas (contorno) temos:</p><p>y(0) = 1 = a0(0)0+</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n)(2n− 2)...4.2a1</p><p>(2n− 1)! (0)2n−1+</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n+ 1)(2n− 1)...3.1a0</p><p>2n! (0)2n = a0</p><p>(1.383)</p><p>E:</p><p>y′(0) = 0 = 2a1(0)0+</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n−1)(2n)(2n− 2)...4.2a1</p><p>(2n− 1)! (0)2n−2+</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n)(2n+ 1)(2n− 1)...3.1a0</p><p>2n! (0)2n−1 = 2a1</p><p>(1.384)</p><p>Assim temos:</p><p>φ(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n+ 1)(2n− 1)...3.1</p><p>2n! x2n (1.385)</p><p>1.9.2 (b)</p><p>Seja:</p><p>y</p><p>′′ + sen(x)y′ + cos(x)y = 0</p><p>y(0) = 0 e y′(0) = 1</p><p>(1.386)</p><p>Supondo que y = φ(x) temos:</p><p>y′′(0) + sen(0)y′(0) + cos(0)y(0) = 0 ∴ y′′(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 ∴ y′′(0) = 0</p><p>(1.387)</p><p>E também derivando a Equação 1.386 temos:</p><p>y′′′ + cos(x)y′ + sen(x)y′′ − sen(x)y + cos(x)y′ = 0 (1.388)</p><p>Assim temos:</p><p>y′′′(0) + cos(0)y′(0) + sen(0)y′′(0)− sen(0)y(0) + cos(0)y′(0) = 0 (1.389)</p><p>y′′′(0) + (1)(1) + (0)(0)− (0)(0) + (1)(1) = 0 ∴ y′′′(0) = −2 (1.390)</p><p>E também derivando a Equação 1.388 temos:</p><p>y′′′′+cos(x)y′′−sen(x)y′+sen(x)y′′′+cos(x)y′′−sen(x)y′−cos(x)y+cos(x)y′′−sen(x)y′ = 0</p><p>(1.391)</p><p>Assim temos:</p><p>y′′′′(0)+cos(0)y′′(0)−sen(0)y′(0)+sen(0)y′′′(0)+cos(0)y′′(0)−sen(0)y′(0)−cos(0)y(0)+cos(0)y′′(0)−sen(0)y′(0) = 0</p><p>(1.392)</p><p>y′′′′(0) + (1)(0)− (0)(1) + (0)(−2) + (1)(0)− (0)(1)− (1)(0) + (1)(0)− (0)(1) = 0 (1.393)</p><p>y′′′′(0) = 0 (1.394)</p><p>1.10 Questão 10</p><p>Seja:</p><p>(1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0 (1.395)</p><p>1.10.1 (a)</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências (supondo x0 =</p><p>0), assim sendo temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.396)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.397)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.398)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(1− x2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n − x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n + α2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.399)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2x</p><p>n−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2x</p><p>n+2−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+1)an+1x</p><p>n+1 +α2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0</p><p>(1.400)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n+2 = −</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n)(n− 1)anxn (1.401)</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n+1 = −</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn = −a1x−</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n)anxn (1.402)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n = 2a2 + 6a3x+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.403)</p><p>α2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = α2a0 + α2a1x+ α2</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>anx</p><p>n (1.404)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>α2a0+2a2+x</p><p>[</p><p>a1(α2 − 1) + 6a3</p><p>]</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>[</p><p>−(n)(n− 1)an − nan + (n+ 2)(n+ 1)an+2 + α2an</p><p>]</p><p>xn = 0</p><p>(1.405)</p><p>α2a0+2a2+x</p><p>[</p><p>a1(α2 − 1) + 6a3</p><p>]</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>[</p><p>(α2 − n2)an + (n+ 2)(n+ 1)an+2</p><p>]</p><p>xn = 0 (1.406)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x, temos:</p><p>α2a0 + 2a2 = 0 ∴ a2 = −α</p><p>2a0</p><p>2 (1.407)</p><p>E também:</p><p>a1(α2 − 1) + 6a3 = 0 ∴ a3 = −a1(α2 − 1)</p><p>3.2 (1.408)</p><p>E também:</p><p>(α2 − n2)an + (n+ 2)(n+ 1)an+2 = 0 (1.409)</p><p>Substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 1:</p><p>(α2 − 1)a1 + (3.2)a3 = 0 , já sabíamos disso! (1.410)</p><p>n = 2:</p><p>(α2 − 4)a2 + (4.3)a4 = 0 ∴ a4 = −(α2 − 4)a2</p><p>4.3 = (α2 − 4)α2a0</p><p>4.3.2 (1.411)</p><p>n = 3:</p><p>(α2 − 9)a3 + (5.4)a5 = 0 ∴ a5 = −(α2 − 9)a3</p><p>5.4 = (α2 − 9)(α2 − 1)a1</p><p>5.4.3.2 (1.412)</p><p>n = 4:</p><p>(α2 − 16)a4 + (6.5)a6 = 0 ∴ a6 = −(α2 − 16)a4</p><p>6.5 = −(α2 − 16)(α2 − 4)α2a0</p><p>6.5.4.3.2 (1.413)</p><p>n = 5:</p><p>(α2 − 25)a5 + (7.6)a7 = 0 ∴ a7 = −(α2 − 25)a5</p><p>7.6 = −(α2 − 25)(α2 − 9)(α2 − 1)a1</p><p>7.6.5.4.3.2</p><p>(1.414)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>a2n = (−1)n+1 [α2 − (2n)2][α2 − (2n− 2)2]...[α2]a0</p><p>2n! , ou seja, para números pares!</p><p>(1.415)</p><p>a2n+1 = (−1)n+1 [α2 − (2n+ 1)2][α2 − (2n− 1)2]...[α2 − 1]a1</p><p>(2n+ 1)! , ou seja, para números ímpares!</p><p>(1.416)</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α2 − (2n)2][α2 − (2n− 2)2]...[α2]a0x</p><p>n</p><p>2n! + · · · (1.417)</p><p>· · ·+ a1</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α2 − (2n+ 1)2][α2 − (2n− 1)2]...[α2 − 1]a1x</p><p>n</p><p>(2n+ 1)! (1.418)</p><p>Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias! Pelo Teste da Razão (ou pelo Teste da</p><p>Raiz) podemos descobrir o raio de convergência de nossa resposta (deve dar 1)!!</p><p>1.10.2 (b)</p><p>Podemos ver que se α2 for um número natural teremos que:</p><p>α2 = m , para algum m ∈ N (1.419)</p><p>Assim vemos que para n ≥ m</p><p>2 ou n ≥</p><p>m−1</p><p>2 (a depender de m ser par ou ímpar)</p><p>teremos que:</p><p>y = a0</p><p>m</p><p>2∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α2 − (2n)2][α2 − (2n− 2)2]....[α2]a0x</p><p>n</p><p>2n! , se m for par!! (1.420)</p><p>y = a1</p><p>m−1</p><p>2∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α2 − (2n+ 1)2][α2 − (2n− 1)2]...[α2 − 1]a1x</p><p>n</p><p>(2n+ 1)! , se m for ímpar!!</p><p>(1.421)</p><p>Uma vez que para n = m</p><p>2 ou n = m−1</p><p>2 o numerador vai zerar (a depender de m</p><p>ser par ou ímpar), pois:</p><p>[α2 − (2n)2] = 0 , se m for par!! (1.422)</p><p>[α2 − (2n+ 1)2] = 0 , se m for ímpar!! (1.423)</p><p>Como as soluções em a0 e a1 são LI (Linearmente Independentes), logo ambas</p><p>satisfazem o problema (sozinhas ou em conjunto). Assim:</p><p>• Para m par escolhemos a solução em a0</p><p>• Para m ímpar escolhemos a solução em a1</p><p>E teremos uma solução (y = f(x)) sendo um polinômio de grau m.</p><p>1.10.3 (c)</p><p>Só substituir.</p><p>1.11 Questão 11</p><p>Seja:</p><p>(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0 , com α sendo uma constante (1.424)</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma série de potências (supondo x0 =</p><p>0), assim sendo temos:</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n (1.425)</p><p>y′ =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn−1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n (1.426)</p><p>y′′ =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n− 1)(n)anxn−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.427)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(1− x2)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n − 2x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n + α(α+ 1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0 (1.428)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2x</p><p>n−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+2)(n+1)an+2x</p><p>n+2−2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+1)an+1x</p><p>n+1 +α(α+1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0</p><p>(1.429)</p><p>Reajustando para obtermos os mesmo índices, temos:</p><p>−</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n+2 = −</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n)(n− 1)anxn (1.430)</p><p>−2</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 1)an+1x</p><p>n+1 = −2</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(n)anxn = −2a1x− 2</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n)anxn (1.431)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n = 2a2 + 6a3x+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n+ 2)(n+ 1)an+2x</p><p>n (1.432)</p><p>α(α + 1)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = α(α + 1)a0 + α(α + 1)a1x+ α(α + 1)</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>anx</p><p>n (1.433)</p><p>Juntando tudo e isolando os termos, teremos:</p><p>α(α+1)a0+2a2+x [a1[α(α + 1)− 2] + 6a3]+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>[−(n)(n− 1)an − 2nan + (n+ 2)(n+ 1)an+2 + α(α + 1)an]xn = 0</p><p>(1.434)</p><p>α(α+1)a0+2a2+x [a1[α(α + 1)− 2] + 6a3]+</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>[</p><p>[α(α + 1)− n− n2]an + (n+ 2)(n+ 1)an+2</p><p>]</p><p>xn = 0</p><p>(1.435)</p><p>Como queremos que a igualdade seja verdadeira, independentemente de x,</p><p>temos:</p><p>α(α + 1)a0 + 2a2 = 0 ∴ a2 = −α(α + 1)a0</p><p>2 (1.436)</p><p>E também:</p><p>a1[α(α + 1)− 2] + 6a3 = 0 ∴ a3 = −a1[α(α + 1)− 2]</p><p>3.2 (1.437)</p><p>E também:</p><p>[α(α + 1)− n− n2]an + (n+ 2)(n+ 1)an+2 = 0 (1.438)</p><p>Substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · :</p><p>n = 1:</p><p>[α(α + 1)− 1− 1]a1 + (3.2)a3 = 0 , já sabíamos disso! (1.439)</p><p>n = 2:</p><p>[α(α + 1)− 4− 2]a2 + (4.3)a4 = 0 ∴ a4 = − [α(α + 1)− 4− 2]a2</p><p>4.3 (1.440)</p><p>a4 = [α(α + 1)− 4− 2][α(α + 1)]a0</p><p>4.3.2 (1.441)</p><p>n = 3:</p><p>[α(α + 1)− 9− 3]a3 + (5.4)a5 = 0 ∴ a5 = − [α(α + 1)− 9− 3]a3</p><p>5.4 (1.442)</p><p>a5 = [α(α + 1)− 9− 3][α(α + 1)− 2]a1</p><p>5.4.3.2 (1.443)</p><p>n = 4:</p><p>[α(α + 1)− 16− 4]a4 + (6.5)a6 = 0 ∴ a6 = − [α(α + 1)− 16− 4]a4</p><p>6.5 (1.444)</p><p>a6 = − [α(α + 1)− 16− 4][α(α + 1)− 4− 2][α(α + 1)]a0</p><p>6.5.4.3.2 (1.445)</p><p>n = 5:</p><p>[α(α + 1)− 25− 5]a5 + (7.6)a7 = 0 ∴ a7 = − [α(α + 1)− 25− 5]a5</p><p>7.6 (1.446)</p><p>a7 = − [α(α + 1)− 25− 5][α(α + 1)− 9− 3][α(α + 1)− 1− 1]a1</p><p>7.6.5.4.3.2 (1.447)</p><p>Assim podemos intuir que:</p><p>a2n = (−1)n+1 [α(α + 1)− (2n)2 − (2n)]...[α(α + 1)]a0</p><p>2n! , ou seja, para números pares!</p><p>(1.448)</p><p>a2n+1 = (−1)n+1 [α(α + 1)− (2n+ 1)2 − (2n+ 1)]...[α(α + 1)− 2]a1</p><p>(2n+ 1)! , ou seja, para números ímpares!</p><p>(1.449)</p><p>Então obtemos que:</p><p>y = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α(α + 1)2 − (2n)2 − (2n)]...[α(α + 1)]a0x</p><p>2n</p><p>2n! + · · · (1.450)</p><p>· · ·+ a1</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1 [α(α + 1)− (2n+ 1)2 − (2n+ 1)]...[α(α + 1)− 2]a1x</p><p>2n+1</p><p>(2n+ 1)! (1.451)</p><p>Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias! Pelo Teste da Razão (ou pelo Teste da</p><p>Raiz) podemos descobrir o raio de convergência de nossa resposta (deve dar 1)!!</p><p>1.12 Questão 12</p><p>1.12.1 xy′′ + (1− x)y′ + xy = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = x e que x = 0 é ponto singular! (1.452)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = (1− x) e R(x) = x (1.453)</p><p>Queremos testar se existem os limites:</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x)(1− x)</p><p>x</p><p>= 1 (1.454)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x2)x</p><p>x</p><p>= 0 (1.455)</p><p>Logo x = 0 é um ponto singular regular!</p><p>1.12.2 x2(1− x)2y′′ + 2xy′ + 4y = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = x2(1− x)2 e que x = 0 e x = 1 são pontos singulares! (1.456)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = 2x e R(x) = 4 (1.457)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 0):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x) 2x</p><p>x2(1− x)2 = lim</p><p>x→0</p><p>2</p><p>(1− x)2 = 2 (1.458)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x2) 4</p><p>x2(1− x)2 = lim</p><p>x→0</p><p>4</p><p>(1− x)2 = 4 (1.459)</p><p>Logo, x = 0 é um ponto singular regular! Queremos testar se existem os limites</p><p>(para xsingular = 1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1) 2x</p><p>x2(1− x)2 = − lim</p><p>x→1</p><p>2</p><p>x(x− 1) = −”∞” (1.460)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2 4</p><p>x2(1− x)2 = lim</p><p>x→1</p><p>4</p><p>x2 = 4 (1.461)</p><p>Logo x = 1 é um ponto singular irregular!</p><p>1.12.3 x2(1− x)y′′ + (x− 2)y′ + 3xy = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = x2(1− x) e que x = 0 e x = 1 são pontos singulares! (1.462)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = x− 2 e R(x) = 3x (1.463)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 0):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x) (x− 2)</p><p>x2(1− x) = lim</p><p>x→0</p><p>x− 2</p><p>x(1− x) = −”∞” (1.464)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x)2 3x</p><p>x2(1− x) = lim</p><p>x→0</p><p>3x</p><p>(1− x) = 0 (1.465)</p><p>Logo x = 0 é um ponto singular irregular! Queremos testar se existem os limites</p><p>(para xsingular = 1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1) (x− 2)</p><p>x2(1− x) = lim</p><p>x→1</p><p>(2− x)</p><p>x2 = 1 (1.466)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2 3x</p><p>x2(1− x) = lim</p><p>x→1</p><p>3(1− x)</p><p>x</p><p>= 0 (1.467)</p><p>Logo x = 1 é um ponto singular regular!</p><p>1.12.4 x2(1− x2)y′′ + ( 2</p><p>x)y′ + 4y = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = x2(1− x2) e que x = 0, x = 1 e x = −1 são pontos singulares! (1.468)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = 2</p><p>x</p><p>e R(x) = 4 (1.469)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 0):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x) 2</p><p>x3(1− x2) = lim</p><p>x→0</p><p>2</p><p>x2(1− x2) = ”∞” (1.470)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→0</p><p>(x2) 4</p><p>x2(1− x2) = lim</p><p>x→0</p><p>4</p><p>(1− x2) = 4 (1.471)</p><p>Logo, x = 0 é um ponto singular irregular! Queremos testar se existem os limites</p><p>(para xsingular = 1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1) 2</p><p>x3(1− x2) = − lim</p><p>x→1</p><p>2</p><p>x3(1 + x) = −1 (1.472)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2 4</p><p>x2(1− x2) = − lim</p><p>x→1</p><p>4(x− 1)</p><p>x3(x+ 1) = 0 (1.473)</p><p>Logo, x = 1 é um ponto singular regular! Queremos testar se existem os limites</p><p>(para xsingular = −1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→−1</p><p>(x+ 1) 2</p><p>x3(1− x2) = lim</p><p>x→−1</p><p>2</p><p>x3(1− x) = 1 (1.474)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x− x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→−1</p><p>(x+ 1)2 4</p><p>x2(1− x2) = lim</p><p>x→−1</p><p>4(x+ 1)</p><p>x2(1− x) = 0 (1.475)</p><p>Logo, x = −1 é um ponto singular regular!</p><p>1.12.5 (1− x2)2y′′ + x(1− x)y′ + (1 + x)y = 0</p><p>Vemos que:</p><p>P (x) = (1− x2)2 e que x = 1 e x = −1 são pontos singulares! (1.476)</p><p>Sejam:</p><p>Q(x) = x(1− x) e R(x) = (1 + x) (1.477)</p><p>Queremos testar se existem os limites (para xsingular = 1):</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x−x0)</p><p>Q(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x−1) x(1− x)</p><p>(1− x2)2 = lim</p><p>x→1</p><p>− x(1− x)2</p><p>(1− x)2(1 + x)2 = lim</p><p>x→1</p><p>− x</p><p>(1 + x)2 = −1</p><p>4</p><p>(1.478)</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x−x0)2R(x)</p><p>P (x) ∴ lim</p><p>x→1</p><p>(x−1)2 (1 + x)</p><p>(1− x2)2 = − lim</p><p>x→1</p><p>(1− x)2(1 + x)</p><p>(1− x)2(1 + x)2 = − lim</p><p>x→1</p><p>1</p><p>(1 + x) = −1</p><p>2</p><p>(1.479)</p><p>Logo, x = 1 é um ponto singular regular!</p><p>Seguir o mesmo procedimento para x = −1!</p><p>1.13 Questão 13</p><p>1.13.1 (x+ 1)2y′′ + 3(x+ 1)y′ + (0.75)y = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma potência de (x+ 1), assim sendo</p><p>temos:</p><p>y = (x+ 1)r e y′ = r(x+ 1)r−1 e y′′ = r(r − 1)(x+ 1)r−2 (1.480)</p><p>Assim, aplicando y, y′ e y′′ na EDO, temos:</p><p>(x+1)2r(r−1)(x+1)r−2+3(x+1)r(x+1)r−1+(0.75)(x+1)r = 0 ∴ r(r−1)(x+1)r+3r(x+1)r+(0.75)(x+1)r = 0</p><p>(1.481)</p><p>(x+ 1)r [r(r − 1) + 3r + 0.75] = 0 (1.482)</p><p>Como é para qualquer x (não sendo x ponto singular) temos:</p><p>r(r − 1) + 3r + 0.75 = 0 ∴ r2 + 2r + 0.75 = 0 (1.483)</p><p>Aplicando Bhaskara temos:</p><p>r = −2±</p><p>√</p><p>4− 3</p><p>2 = −2±</p><p>√</p><p>1</p><p>2 = −1± 1</p><p>2 (1.484)</p><p>Assim temos que a solução geral é da forma:</p><p>y(x) = c1 |x+ 1|−</p><p>1</p><p>2 + c2 |x+ 1|−</p><p>3</p><p>2 (1.485)</p><p>1.13.2 x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0</p><p>Vamos supor que y pode ser escrito como uma potência de x, assim sendo temos:</p><p>y = xr e y′ = rxr−1 e y′′ = r(r − 1)xr−2 (1.486)</p><p>Assim, aplicando</p>