pergunta e resposta CCLII

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<p>**Explicação:** Podemos fatorar \( 50 \) como \( 25 \times 2 \), então \( \sqrt{50} =</p><p>\sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).</p><p>23. Se \( A \) é um evento com \( P(A) = 0.4 \) e \( B \) é um evento com \( P(B) = 0.6 \), qual é</p><p>\( P(A \cup B) \) se \( A \) e \( B \) são independentes?</p><p>A) 0.6</p><p>B) 0.76</p><p>C) 0.4</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** B) 0.76</p><p>**Explicação:** Usamos a fórmula \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). Como \( A</p><p>\) e \( B \) são independentes, \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24 \).</p><p>Assim, \( P(A \cup B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.76 \).</p><p>24. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) \( \infty \)</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** Usamos a decomposição em frações parciais: \( \frac{1}{n(n+1)} =</p><p>\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \). Isso forma uma série telescópica que converge para 1.</p><p>25. O que é \( \int e^{2x} \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>B) \( 2e^{2x} + C \)</p><p>C) \( e^{2x} + C \)</p><p>D) \( \frac{1}{e^{2x}} + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Aqui, \( k = 2 \), então</p><p>\( \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \).</p><p>26. Qual é a solução da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)?</p><p>A) \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)</p><p>B) \( x = 1 \) ou \( x = 6 \)</p><p>C) \( x = 0 \) ou \( x = 5 \)</p><p>D) \( x = -1 \) ou \( x = -6 \)</p><p>**Resposta:** A) \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)</p><p>**Explicação:** Fatoramos a equação como \( (x-2)(x-3) = 0 \), resultando nas raízes \( x</p><p>= 2 \) e \( x = 3 \).</p><p>27. Qual é o valor de \( \cos(60°) \)?</p><p>A) 0</p><p>B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>**Explicação:** O valor de \( \cos(60°) \) é conhecido e é \( \frac{1}{2} \).</p><p>28. Se \( x + y = 10 \) e \( xy = 21 \), qual é o valor de \( x^2 + y^2 \)?</p><p>A) 37</p><p>B) 39</p><p>C) 41</p><p>D) 43</p><p>**Resposta:** A) 37</p><p>**Explicação:** Usamos a identidade \( x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \). Substituindo, temos</p><p>\( x^2 + y^2 = 10^2 - 2(21) = 100 - 42 = 58 \).</p><p>29. O que é \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de \( \infty \), \( \frac{1}{x} \) se aproxima</p><p>de 0.</p><p>30. Qual é a solução da equação \( 3x - 2 = 7 \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>**Resposta:** C) 3</p><p>**Explicação:** Resolvendo a equação, temos \( 3x = 9 \), então \( x = 3 \).</p><p>31. O que é a soma dos primeiros 10 números inteiros?</p><p>A) 50</p><p>B) 45</p><p>C) 55</p><p>D) 60</p><p>**Resposta:** C) 55</p><p>**Explicação:** A soma dos primeiros \( n \) números inteiros é dada por \(</p><p>\frac{n(n+1)}{2} \). Para \( n = 10 \), temos \( \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \).</p><p>32. Se \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \), qual é o valor de \( f(-1) \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** B) 0</p><p>**Explicação:** Substituindo \( x = -1 \), temos \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \).</p><p>33. Qual é a derivada de \( \ln(x^2) \)?</p><p>A) \( \frac{2}{x} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>C) \( \frac{1}{x} \)</p><p>D) \( 2\ln(x) \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{2}{x} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot</p><p>\frac{du}{dx} \). Aqui, \( u = x^2 \), então \( \frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x =</p><p>\frac{2}{x} \).</p><p>34. O que é \( \frac{d}{dx} (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \)?</p><p>A) \( 3x^2 + 6x + 3 \)</p><p>B) \( 3x^2 + 3 \)</p><p>C) \( 3x^2 + 6x + 1 \)</p><p>D) \( 3x^2 + 3x + 1 \)</p><p>**Resposta:** A) \( 3x^2 + 6x + 3 \)</p><p>**Explicação:** Derivamos cada termo: \( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \), \( \frac{d}{dx}(3x^2)</p><p>= 6x \), \( \frac{d}{dx}(3x) = 3 \), e \( \frac{d}{dx}(1) = 0 \). Assim, a derivada total é \( 3x^2 +</p><p>6x + 3 \).</p><p>35. Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{4} \)</p><p>B) \( \frac{1}{5} \)</p><p>C) \( \frac{1}{6} \)</p><p>D) \( \frac{1}{8} \)</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( x^n \) é \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \). Assim, \( \int_0^1 x^3 \,</p><p>dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \).</p><p>36. Se \( A \) e \( B \) são eventos independentes, qual é a probabilidade de \( A \) ou \( B \)</p><p>ocorrerem?</p><p>A) \( P(A) + P(B) \)</p><p>B) \( P(A) + P(B) - P(A)P(B) \)</p><p>C) \( P(A)P(B) \)</p><p>D) \( P(A) + P(B) + P(A)P(B) \)</p><p>**Resposta:** B) \( P(A) + P(B) - P(A)P(B) \)</p><p>**Explicação:** Para eventos independentes, a probabilidade de \( A \) ou \( B \) é dada</p><p>pela fórmula \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).</p>