Função Quadrática: Conceitos e Gráficos

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FUNÇÃO QUADRÁTICA
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Matemática em Foco - Profº Mick Xavier
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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Forma geral da função quadrática: Toda função quadrática apresenta lei de 
formação no seguinte formato:
cbxaxxF ++= 2)( ; 
0;,, ≠∈ aRcba
Encontrando as raízes da função quadrática: Para descobrir as raízes 
de qualquer função devemos igualar sua expressão a zero, ou seja, resolver a 
equação F(x) = 0. Neste caso teremos uma equação do 2º grau para resolver, 
02 =++ cbxax .
Gráfico da função quadrática: Toda função quadrática possui um gráfico 
com forma de PARÁBOLA.
Esse gráfico poderá ter concavidade para baixo, ou para cima, de acordo com 
o valor do coeficiente a do termo x²:
 Se “a” for positivo a concavidade da parábola será para cima:
Este é o gráfico da função y = x2 – 5x + 6 construído no 
software Geogebra. Neste caso o coeficiente(a) do termo qua-
drático vale 1, ou seja, a = 1.
 Se “a” for negativo a concavidade da parábola será para baixo:
Este é o gráfico da função y = - x2 + 7x - 12 construído no 
software Geogebra. Neste caso o coeficiente(a) do termo qua-
drático vale -1, ou seja, a = - 1.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Existe uma relação entre 
a quantidade de raízes da função, valor do discriminante (∆= 
b2 – 4ac) da função e a quantidade de pontos que o gráfico da 
função vai “cortar” o eixo X. Vejamos abaixo:
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 A função possui duas raízes reais diferentes quando ∆> 0: Neste caso 
o gráfico (parábola) vai cortar o eixo X em dois pontos, conforme podemos ob-
servar nos gráficos das duas funções citadas acima. As raízes da função y = x2 – 
5x + 6 são x1 = 2 e x2 = 3, logo o gráfico da função corta o eixo X em dois pontos: 
(2,0) e (3,0). E as raízes da função y = - x2 + 7x - 12 são x1 = 3 e x2 = 4, logo o 
gráfico dessa função também corta o eixo X em dois pontos: (3,0) e (4,0). 
 
 A função possui duas raízes reais iguais quando ∆= 0: Neste caso, quan-
do a função possui duas raízes reais iguais é o mesmo que ter uma única raiz. Signi-
fica que o gráfico vai cortar o eixo X em um único ponto como no exemplo abaixo:
Este é o gráfico da função y = x2 - 2x + 1. Podemos observar 
que a parábola corta o eixo X em apenas um ponto de coordena-
das (1,0) já que a função possui duas raízes reais iguais (x = 1). 
Aluno, faça o cálculo do valor do discriminante e confirme que 
resulta em zero.
 A função não possui raiz real quando∆< 0: Neste caso o gráfico não vai 
cortar o eixo X como podemos no exemplo abaixo.
Este é o gráfico da função y = x2 - x + 9. Como o valor do 
discriminante é negativo, não possui raízes reais e portanto, a pa-
rábola não corta o eixo X.
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OBSERVAÇÃO: Note que todos os gráficos apresentados, cortam o eixo Y 
exatamente no valor do termo independente da função, que é o valor represen-
tado pela letra c. Na imagem acima, a parábola necessariamente corta o eixo Y no 
valor de 9 (pois c = 9), isto é, no ponto de coordenadas (0, 9).
Forma fatorada da função quadrática: Toda expressão de uma função qua-
drática pode ser fatorada da seguinte maneira: 
)).(.()( 21
2 xxxxacbxaxxF −−=++=
Sendo que x1 e x2 são as raízes da função.
Vértice da parábola: É o ponto onde a parábola apresenta mudança de cres-
cimento. Se ela está crescendo até o vértice, quando passa por ele começará a 
decrescer. E vice-versa. Por isso também é o ponto com imagem máxima, ou 
mínima, conforme os gráficos a seguir.
Quando a parábola possui concavidade para cima, o seu 
vértice é o ponto com imagem mínima, por isso é chamado de 
PONTO MÍNIMO. O vértice como qualquer outro par ordenado, 
possui as suas coordenadas nos eixos X e Y, representadas da 
seguinte maneira: (Xv, Yv). Esses valores podem ser encontra-
dos através de duas fórmulas que seguem abaixo:
a
y
a
bx
v
v
4
2
∆−
=
−
=
Ou seja, a parábola acima é representada pela função y = x2 - x + 9, então po-
demos facilmente encontrar o valor do Xv, pois sabemos que b = -1 e a = 1, então
2
1
1.2
)1(
2
=
−−
=
−
=
a
bxv
Sabendo o valor do Xv, podemos substituir esse valor na expressão da função 
para encontrar o valor do Yv. Sendo assim, temos: 
4
35
4
36219
2
1
4
19
2
1
2
1 2
=
+−
=+−=+−




=vy
Ou ainda poderíamos utilizar a fórmula do Yv para descobrir seu valor:
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( )[ ] ( )
4
35
4
35
1.4
9.1.41
4
2
=
−−
=
−−−
=
∆−
=
a
yv
O valor do Yv também pode ser utilizado para determinar o conjunto imagem 
da função através de um intervalo real, que neste caso, como a função tem conca-
vidade para cima, será dado por:
[ [



 +∞
+∞
;
4
35:Im
;:Im vy
Vejamos agora outro exemplo:
 Quando a parábola tem concavidade para baixo, utilizamos 
as mesmas fórmulas para encontrar as coordenadas do vértice. 
Porém, neste caso o vértice é o ponto que possui a maior ima-
gem da função, por isso é chamado de PONTO MÁXIMO.
Este gráfico representa a função y = - x2 + 7x – 12. Calcu-
lando as coordenadas do vértice obtemos:
( ) 2
7
1.2
7
2
=
−
−
=
−
=
a
bxv
( ) ( )( )[ ]
( ) 4
1
4
1
1.4
12.1.47
4
2
=
−
−
=
−
−−−−
=
∆−
=
a
yv
Neste caso, o conjunto imagem da função será dado pelo intervalo abaixo:
] ]






∞−
∞−
4
1;:Im
;:Im vy
Crescimento da função quadrática: O crescimento da função pode ser ob-
servado através do comportamento da parábola que se divide sempre em uma 
parte crescente e outra decrescente. Mas para fazer esse estudo, sempre preci-
saremos determinar primeiro o valor do Xv. Vejamos como ficam o crescimento e 
decrescimento em cada caso estudado anteriormente.
 Quando a parábola possui concavidade para cima, como no 
exemplo já visto da função y = x2 - x + 9, ela será crescente para 
qualquer valor do domínio maior que Xv, isto é, se x > 1/2. E 
portanto, será decrescente no intervalo em que x < 1/2.
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 Quando a parábola possui concavidade para baixo, 
como no exemplo já visto da função y = - x2 + 7x – 12, ela 
será crescente para qualquer valor do domínio menor que 
Xv, isto é, se x < 7/2. E portanto, será decrescente no inter-
valo em que x > 7/2.
Observe a animação a seguir onde apresentamos uma função quadrática de 
concavidade para baixo com domínio no intervalo [ ]21 , xx e os trechos onde a função 
é crescente e decrescente.
Eixo de simetria: Note que no exemplo acima existe uma reta vertical, para-
lela ao eixo Y, que passa pelo vértice da parábola. Esta reta é o eixo de simetria. 
A parábola é simétrica, portanto possui um eixo de simetria que contém o vértice 
da parábola. A simetria é uma propriedade geométrica que nos dá a noção de que 
a figura está dividida ao meio, e que, se fizermos uma dobra no eixo de simetria, 
e as duas metades forem sobrepostas, elas ficam exatamente encaixadas uma 
sobre a outra.
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INEQUAÇÃO QUADRÁTICA OU ESTUDO DO SINAL 
A inequação quadrática tem as mesmas características da inequação do 1º 
grau. A solução pode ser infinita e representada na forma de intervalo. O sinal de 
igual é trocado pelos sinais de desigualdade. 
Então a inequação quadrática pode ser nos seguintes formatos:
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
≠++
≥++
>++
≤++
<++
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
O mais importante é você entender o que a inequação significa, ou seja, o que 
ela está pedindo para você calcular(descobrir). 
A inequação quadrática também está relacionada com o estudo do sinal 
de uma função quadrática, ou seja, dada uma função 65)( 2 +−= xxxf queremos 
saber em quais intervalos do domínio ela é positiva, negativa, etc. Para descobrir, 
por exemplo, em quais intervalos do domínio ela é negativa, devemos resolver a 
inequação 0652 <+− xx .
Para resolver umainequação quadrática, ou estudar o sinal de uma fun-
ção quadrática, primeiro devemos calcular as raízes da função, ou seja, resolver 
0652 =+− xx . Neste caso as raízes são 2 e 3. Como neste caso se trata de uma 
parábola com concavidade para cima, façamos um esboço do gráfico.
Note que a figura acima apresenta o eixo X, um esboço do gráfico da função 
65)( 2 +−= xxxf e o intervalo do domínio onde a função é negativa, isto é, imagem ne-
gativa. Note que os valores das raízes não se incluem na solução, por isso, utilizamos 
as “bolas abertas” para ilustrar. Assim a solução da inequação ou do estudo do sinal é:
}32|{: <<∈ xRxS ou forma de intervalo )3,2(:S
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Vejamos a seguir o gráfico real da função 65)( 2 +−= xxxf construído no software 
Geogebra.
Caso a inequação fosse 0652 ≤+− xx a solução 
mudaria apenas para “bolas fechadas” o que resul-
taria em:
}32|{: ≤≤∈ xRxS ou na forma de intervalo
]3,2[:S
Vejamos outro exemplo. 
Qual intervalo do domínio da função 24)( 2 −+−= xxxf possui imagem não po-
sitiva ?
Para responder a pergunta acima devemos resolver a inequação quadrática 
0242 ≤−+− xx . Para isso precisamos primeiro encontrar as raízes da função, que 
são 22 − e 22 + . Façamos novamente o esboço do gráfico.
Note que no esboço acima utilizamos as “bolas fechadas” já que a inequação 
inclui a imagem zero (sinal menor ou igual a zero). O eixo X está hachurado na 
parte que possui imagem negativa, por isso a solução é:
}22;;22|{: +≥−≤∈ xouxRxS ou na forma de intervalo 
),22[]22,(: +∞+−−∞ S
Vejamos a seguir o gráfico real da função 24)( 2 −+−= xxxf construído no 
software Geogebra.
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EXERCÍCIOS
1- Considere a função quadrática 3)( 2 ++= bxaxxf tal que f(1) = 4 e f(-1) = 0. 
Nessas condições determine:
a) Os valores numéricos de a e b.
b) O valor numérico de f(-4).
2- Para quais valores de Rm∈ temos que a função polinomial do 2º grau 
mxxxf 32)( 2 +−= possua duas raízes reais e iguais?
3- Na função quadrática 36)( 2 ++= kxxxf , m e n são suas raízes. Assim, calcu-
le o valor numérico de k sabendo que 12
511
=+
nm .
4- As raízes da função quadrática cbxaxxf ++= 2)( são 2 e -1/3 . Determine o 
valor numérico das constantes a, b e c sabendo que o termo independente é 6.
5- (ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 
1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que 
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em 
que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de 
cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, en-
tão a expressão que relaciona V e x é
a) V = 10.000 + 50x – x2
b) V = 10.000 + 50x + x2
c) V = 15.000 – 50x – x2
d) V = 15.000 + 50x – x2
e) V = 15.000 – 50x + x2
6- (ENEM) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por 
um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com 
a expressão 400
4
)(
2
+−=
ttT , com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava 
do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.
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Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para 
que a porta possa ser aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
e) 39,0
7- (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = – x² + 12x + 20, tem 
um valor:
a) mínimo igual a -16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20
8- (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representa-
das as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. As coordenadas do ponto P são:
a) (6, 20) 
b) (7, 24) 
c) (7, 26) 
d) (6, 26)
9- (UFMG) Nessa figura está representada a parábola de vértice V, gráfico da 
função de segundo grau cuja expressão é:
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a) x2
5
xy
2
−= 
b) x10xy 2 −= 
c) x10xy 2 += 
d) x10
5
xy
2
−= 
e) x10
5
xy
2
+=
10- (UNEB-BA) Uma fábrica de equipamentos leves fez um estudo de sua 
produção e conseguiu uma fórmula, cuja expressão é C(n) = 0,6n2 – 120n + 10000, 
para obter o custo C, em reais, em função do número n de peças produzidas. Nes-
sas condições, o custo mínimo, em reais, de produção dessa fábrica é de
a) 3 500 
b) 4 000 
c) 4 500 
d) 5 000 
e) 5 500
11- Determine o conjunto solução da inequação quadrática 07103 2 ≥++x .
12- Determine o conjunto solução da inequação quadrática 12 2 +−− xx < 0.
13- Determine o conjunto solução da inequação quadrática 962 +− xx > 0.
GABARITO
1-) a) a = -1, b = 2.
 b) f(- 4) = - 21
2-) m = 1/3
3-) k = -15
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4-) a = -9, b = 15, c = 6.
 
5-) D
6-) D
7-) C
8-) B
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13
9-) A
10-) B
11-) 
3
7|{ −
≤∈= xRxS ou x ≥-1}
12.) 
),
2
1()1,(:
}
2
1;;1|{:
+∞−−∞
>−<∈
S
ou
xouxRxS
13-) }3|{ ≠∈= xRxS .
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