Prévia do material em texto

<p>Exercícios – Probabilidade e Estatística (Mat 2219)</p><p>Estatística Descritiva</p><p>(1) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de</p><p>televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão</p><p>representados no gráfico de barras:</p><p>(1.1) Qual o número de residências nesta pesquisa?</p><p>(1.2) Qual a percentagem de entrevistados que declararam assistir à TvB?</p><p>(1.3) Qual a percentagem de entrevistados que declararam assistir a TvC e TvD?</p><p>(1.4) Qual a percentagem de entrevistados que declararam não assistir nenhum canal?</p><p>(2)</p><p>(2.1) um veículo desloca-se durante uma hora a uma velocidade de 60 km/h, depois percorre por</p><p>mais uma hora a uma velocidade de 75 km/h, e finalmente mais uma hora com velocidade de 110</p><p>km/h. Qual a velocidade média?</p><p>(2.2) um veículo percorre d km a uma velocidade de 50 km/h, d km a uma velocidade de 65</p><p>km/h, d km a uma velocidade de 80 km/h. Qual a velocidade média?</p><p>(2.3) um veículo faz três quartos da distância de um trajeto a 90 km/h e o restante da distância a 50</p><p>km/h. Qual a velocidade média do trajeto?</p><p>(3) Sejam as seguintes amostras:</p><p>X: { 9; 4; x}</p><p>Y: {12; 8; 7}</p><p>Para quais valores de x as variâncias das amostras são iguais?</p><p>(4) Seja uma série dos índices de ações das indústrias automotivas. O arquivo de dados está em</p><p>arquivo xls em anexo. Para resolver o exercício use o EXCEL.</p><p>(4.1) Para as observações não agrupadas calcule mínimo, máximo, média aritmética, geométrica e</p><p>harmônica, mediana e moda, além de amplitude geral, variância, desvio padrão e coeficiente de</p><p>variação.</p><p>(4.2) Faça tabela de distribuição de frequências por intervalos, com 5 intervalos de amplitude 2,2</p><p>inciando em 14.</p><p>(4.3) Para a tabela obtida em (4.2) calcule média aritmética, mediana, moda , variância, desvio</p><p>padrão e coeficiente de variação.</p><p>(5) As velocidades de veículos que passaram por um radar foram registradas:</p><p>82 70 77 72 71 80 72 72 70 77 70 72 102</p><p>72 76 77 82 80 82 95 72 76 95 71 80 83</p><p>(5.1) Faça a tabela de distribuição de frequências por ponto</p><p>x Total</p><p>f</p><p>(5.2) Calcule média aritmética, mediana e moda</p><p>(5.3) Calcule variância, desvio padrão e coeficiente de variação</p><p>(5.4) Obtenha o intervalo [X− −S ; X</p><p>−</p><p>+S ] e calcule a proporção de valores que estão dentro dele.</p><p>Fundamentos de Probabilidade</p><p>(6) Em uma linha de produção de certa fábrica, determinada peça é produzida em três máquinas</p><p>A, B, C. A máquina A, por ser mais nova, é responsável por 0,60 da produção, a B por 0,20 e a C o</p><p>restante. Observou-se que a proporção de itens com defeito produzidos por A é de 0,005, por B é</p><p>0,03 e por C é 0,07.</p><p>(6.1) Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica?</p><p>(6.2) Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido</p><p>produzida pela máquina: A? B? C ?</p><p>(7) Uma urna contém 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas. Extraindo-se, sem reposição 3</p><p>bolas, calcule a probabilidade:</p><p>(7.1) nenhuma seja branca</p><p>(7.2) exatamente uma seja vermelha</p><p>(7.3) todas da mesma cor</p><p>(7.4) uma de cada cor</p><p>(8) Calcule as probabilidades nos jogos de loterias com apostas simples (aposta mínima).</p><p>QUINA: são 80 dezenas, onde são sorteadas 5. O apostador pode marcar de 5 a 15 dezenas</p><p>(8.1) quadra (8.2) quina</p><p>LOTO MANIA: são 100 dezenas, onde são sorteadas 20. O apostador marca 50 dezenas.</p><p>(8.3) 15 dezenas (8.4) 20 dezenas</p><p>MEGA SENA: são 60 dezenas, onde são sorteadas 6. O apostador pode marcar de 6 a 15 dezenas</p><p>(8.5) quina (8.6) sena</p><p>DUPLA SENA: são 50 dezenas, onde são sorteadas 6. O apostador pode marcar de 6 a 15 dezenas</p><p>(8.7) quina (8.8) sena</p><p>(9) Jogo dos cilindros: são cinco cilindros verticais que giram em torno de um eixo. Cada</p><p>cilindro tem seis fotos de personagens famosos. Cada cilindro gira de maneira independente um do</p><p>outro. Quando o cilindro parar, a foto de apenas uma pessoa ficará visível para o público. Exemplo</p><p>desse jogo foi exibido em um canal de TV aberta no Brasil.</p><p>Cada cilindro tem 6 fotos distintas dos personagens A, B, C, D, E e F. Calcule as probabilidades:</p><p>(9.1) Todos personagens diferentes</p><p>(9.2) Dois cilindros com (A)</p><p>(9.3) uma terna com (F)</p><p>(9.4) Uma terna e uma dupla</p><p>(9.5) Todos personagens iguais</p><p>(10) Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade</p><p>deste ponto estar dentro do:</p><p>(10.1) triângulo regular inscrito nesta circunferência</p><p>(10.2) quadrado regular inscrito nesta circunferência</p><p>(10.3) pentágono regular inscrito nesta circunferência</p><p>(10.4) hexágono regular inscrito nesta circunferência</p><p>Variáveis Aleatórias Discretas</p><p>(11) Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso,</p><p>ele retira uma amostra de tamanho n=20 do lote, e conta o número X de defeituosos. Qual</p><p>a probabilidade de aceitar um lote quando:</p><p>(11.1) p=0 ,20 e a regra é aceitar o lote se X≤1</p><p>(11.2) p=0 ,10 e a regra é aceitar o lote se X≤2</p><p>(11.3) p=0 ,05 e a regra é aceitar o lote se X≤4</p><p>(12) Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 50 unidades. É uma característica da</p><p>fabricação produzir uma proporção de 0,08 defeituosos. O fabricante decide adotar o seguinte</p><p>esquema de vendas: o comprador escolhe aleatoriamente, sem reposição, 5 unidades. Se a amostra</p><p>tiver nenhum defeituoso, ele paga 20,00; 1 ou 2 defeituosos ele paga 10,00, 3 ou mais ele paga</p><p>8,00. Qual o valor médio do preço de venda?</p><p>(13) A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas</p><p>por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4</p><p>avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina.</p><p>(13.1) Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas máquinas avaria-</p><p>das?</p><p>(13.2) Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (inclu-</p><p>so) e 5 (incluso)</p><p>(13.3) Quantas vagas deve haver na oficina para que atenda todas as máquinas avariadas em 0,90</p><p>dos dias?</p><p>(14) Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente 8 horas para pegar o ônibus. Devido</p><p>ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre 1 e 20 minutos. Admita que o relógio</p><p>“pule” de minuto em minuto. Qual a probabilidade:</p><p>(14.1) ter que esperar mais de 10 minutos</p><p>(14.2) ter que esperar entre 5 (incluso) a 10 (incluso) minutos</p><p>(14.3) a espera ser menor que 5 minutos</p><p>(14.4) se um amigo chegar 10 min atrasado, e vai pegar o mesmo ônibus ( que ainda não chegou),</p><p>qual a probabilidade deste amigo esperar até 3 minutos?</p><p>(15) Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar</p><p>defeito é de 0,05. Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção</p><p>(contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar:</p><p>(15.1) Nenhum componente defeituoso</p><p>(15.2) Um componente defeituoso</p><p>(15.3) No máximo 2 dois defeituosos</p><p>(15.4) No mínimo 4 defeituosos</p><p>(15.5) Entre 3 (incluso) e 7 (incluso) defeituosos</p><p>Variáveis Aleatórias Contínuas</p><p>(16) Se a variável aleatória K for uniformemente distribuída sobre o intervalo (0, 5), qual será a</p><p>probabilidade de que as raízes da equação 4 x2+4 xK+K+2=0 sejam reais?</p><p>(17) Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição</p><p>exponencial de média 1500 h.</p><p>(17.1) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 h?</p><p>(17.2) Se três lâmpadas foram instaladas, qual a probabilidade de que após 1200 h seja necessário</p><p>substituir 2 delas?</p><p>(17.3) Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira</p><p>que após 1200 h a</p><p>probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90?</p><p>(18) Seja o gráfico da função densidade de uma v.a. contínua:</p><p>(18.1) Obtenha o valor da constante C</p><p>(18.2) Obtenha esperança, mediana e moda</p><p>(18.3) P(X≤3,4)</p><p>(18.4) P(1≤X≤2,7 )</p><p>(18.5) P(X≥2,8|1,4≤X≤4,5)</p><p>(19) Seja X com distribuição normal. Sabe-se que P(X20)=0,70 .</p><p>(19.1) Qual é a esperança de X?</p><p>(19.2) Qual é o desvio padrão de X?</p><p>(20) Para X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha:</p><p>(20.1) P(X 80)</p><p>(20.3) P( | X – E(X) | 0,5 , onde θ representa a</p><p>proporção de pessoas favoráveis a certa proposta governamental, uma amostra aleatória de 100</p><p>pessoas foi coletada. Desses entrevistados, 60 afirmaram serem a favor.</p><p>(25.1) Calcule a estatística do teste</p><p>(25.2) Para α=0,01 qual o valor tabelado?</p><p>(25.3) Qual a decisão? Justifique a resposta.</p><p>(26) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, μ litros por</p><p>100 quilômetros, com desvio padrão σ =1,2 . Uma revista desconfia que o consumo é maior e</p><p>resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo</p><p>médio de 10,2 .</p><p>(26.1) Enuncie H 0 e H 1</p><p>(26.2) Para α=0,10 , qual o valor de μ 0 tal que leve à rejeição de H 0 ?</p><p>(26.3) Para μ 0=9,8 , qual o valor de α tal que leve à aceitação de H 0 ?</p><p>(27) O nível de colesterol no sangue é uma variável aleatória. Assuma que . Para uma amostra de</p><p>16 pacientes, X̄=237 mg/10ml e S=4 mg/10ml. Teste H 0:μ=235 contra</p><p>H 0:μ>235 .</p><p>(27.1) Calcule a estatística do teste</p><p>(27.2) Obtenha α e o respectivo valor tabelado que leve à aceitação de H 0</p><p>(27.3) Obtenha α e o respectivo valor tabelado que leve à rejeição de H 0</p><p>(28) Suponha que se deseje estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma</p><p>região. Selecionou-se uma amostra de 160 pessoas, constatando-se que 40 eram portadores. Um</p><p>médico acredita que a proporção possa ser maior que 0,30.</p><p>(28.1) Enuncie H 0 e H 1</p><p>(28.2) Calcule a estatística do teste</p><p>(28.3) Para α=0,05 qual o valor tabelado?</p><p>(28.4) Qual a decisão? Justifique a resposta,</p><p>(29) Suspeita-se que o barulho afeta a memória de curto prazo. Para verificar essa suspeita, um</p><p>experimento foi conduzido da seguinte forma: pessoas foram aleatoriamente distribuídas em dois</p><p>grupos. Cada grupo recebeu uma lista de 20 palavras para memorizar em 2 minutos. Os</p><p>participantes na condição barulho tentaram memorizar a lista de 20 palavras, enquanto escutavam,</p><p>com fones de ouvido, um barulho pré-gravado. Os outros participantes também utilizaram fones de</p><p>ouvido, mas sem o barulho, enquanto memorizavam as palavras no mesmo período de tempo. O</p><p>número de palavras memorizadas por pessoa foi registrado na tabela a seguir:</p><p>Com barulho Sem barulho</p><p>5</p><p>10</p><p>6</p><p>6</p><p>7</p><p>3</p><p>6</p><p>9</p><p>5</p><p>10</p><p>11</p><p>9</p><p>6</p><p>7</p><p>15</p><p>9</p><p>16</p><p>15</p><p>16</p><p>18</p><p>17</p><p>13</p><p>11</p><p>12</p><p>13</p><p>11</p><p>Teste se a média do grupo não exposto a barulhos é significativamente maior.</p><p>(29.1) Enuncie H 0 e H 1</p><p>(29.2) calcule a estatística do teste</p><p>(29.3) Para α=0,01 qual o valor tabelado?</p><p>(29.4) Qual a decisão? Justifique a resposta.</p><p>Correlação e Regressão</p><p>(30) O custo mensal de manutenção de determinado automóvel é analisado em função da idade do</p><p>veículo.</p><p>Idade do veículo (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Custo mensal (Y) 8 10 18 29 24 26 29 32 37 42</p><p>(30.1) Faça o diagrama de dispersão</p><p>(30.2) Calcule o coeficiente de correlação</p><p>(30.3) Ajuste uma reta de Y em função de X</p><p>(30.4) Qual o valor esperado para Y quando X=40?</p>