aprendendo e fazendo1202

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a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( -\frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 
 Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 Explicação: A primeira derivada é \( \frac{1}{x} \) e a segunda é \( -\frac{1}{x^2} \). 
 
4. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 
 Resposta: a) 1 
 Explicação: É um limite fundamental que é igual a 1. 
 
5. Qual é a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( -2 \) 
 
 Resposta: a) \( 0 \) 
 Explicação: A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \), e \( \sin(\pi) - \sin(0) = 0 \). 
 
6. Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 b) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 c) \( -\frac{x}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 
 Resposta: a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia e a regra do quociente. 
 
7. Qual é o valor de \( \int e^{2x} \, dx \)? 
 a) \( \frac{e^{2x}}{2} \) 
 b) \( e^{2x} \) 
 c) \( \frac{e^{2x}}{4} \) 
 d) \( 2e^{2x} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{e^{2x}}{2} \) 
 Explicação: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{e^{kx}}{k} \). 
 
8. Determine a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \) 
 b) \( \arctan\left(x\right) \) 
 c) \( \frac{1}{2} \arctan(x) \) 
 d) \( \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \) 
 Explicação: Usando a substituição \( x = 2\tan(u) \). 
 
9. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia. 
 
10. Encontre a integral de \( \int x \cos(x) \, dx \). 
 a) \( x \sin(x) + \cos(x) \) 
 b) \( x \sin(x) - \cos(x) \) 
 c) \( -x \sin(x) + \cos(x) \) 
 d) \( -x \sin(x) - \cos(x) \) 
 
 Resposta: c) \( -x \sin(x) + \cos(x) \) 
 Explicação: Usando integração por partes. 
 
11. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)? 
 a) \( \infty \) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 
 Resposta: a) \( \infty \) 
 Explicação: O exponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinômio. 
 
12. Qual é a integral de \( \int x^3 e^x \, dx \)? 
 a) \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x \) 
 b) \( (x^3 + 3x^2 + 6x + 6)e^x \) 
 c) \( (x^3 - 3x^2 + 6x)e^x \) 
 d) \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x \) 
 
 Resposta: a) \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x \) 
 Explicação: Usando integração por partes sucessivamente. 
 
13. Encontre a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \). 
 a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 b) \( \frac{x}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 Explicação: Derivada da função arco-tangente. 
 
14. Qual é a integral de \( \int \sin^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \) 
 b) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} \) 
 c) \( \frac{x}{2} - \frac{\cos(2x)}{4} \) 
 d) \( \frac{x}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \) 
 Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). 
 
15. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \) 
 b) \( \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \) 
 c) \( \frac{2x}{x^2 + 2x + 1} \) 
 d) \( \frac{2x + 1}{2x + 1} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. 
 
16. Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 Explicação: A integral é \( \arctan(x) \) avaliada de 0 a 1.