Para resolver a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \), podemos fazer uma substituição trigonométrica. Neste caso, a substituição \( x = 2\tan(\theta) \) é a mais apropriada. Realizando a substituição, temos: \( dx = 2\sec^2(\theta) \, d\theta \) e \( x^2 + 4 = 4\tan^2(\theta) + 4 = 4(\tan^2(\theta) + 1) = 4\sec^2(\theta) \). Substituindo na integral, obtemos: \( \int \frac{1}{4\sec^2(\theta)} \cdot 2\sec^2(\theta) \, d\theta = \int \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{1}{2}\theta + C \). Agora, precisamos voltar para a variável original \( x \). Como \( x = 2\tan(\theta) \), podemos usar a relação trigonométrica \( \tan(\theta) = \frac{x}{2} \) para encontrar \( \theta \). Sabemos que \( \arctan(\frac{x}{2}) = \theta \). Portanto, a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \) é \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \). Assim, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \).